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Trennung der Variablen (TdV) und wie Du damit homogene DGL 1. Ordnung löst

DGL Typen: Gewöhnlich, erster Ordnung, homogen
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

Video - Homogene DGL 1. Ordnung lösen mit Trennung der Variablen (+ Beispiel)

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DGL Typen: Gewöhnlich, erster Ordnung, homogen
Trennung der Variablen ist geeignet für gewöhnliche DGL 1. Ordnung, die homogen sind.

Die Methode der Trennung der Variablen (TdV) ist geignet für:

  • gewöhnliche DGL 1. Ordnung,

  • die linear

  • und homogen sind.

Denk dran, dass, wenn eine DGL homogen ist, ist sie auch linear. Dieser Typ der DGL hat die Form:

Form einer homogenen lineare Differentialgleichung
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Hierbei muss der Koeffizient \(K\) nicht unbedingt konstant sein, sondern kann auch von \(x\) abhängen! Beachte außerdem, dass vor der ersten Ableitung \(y'\) der Koeffizient gleich 1 sein muss. Wenn das bei dir nicht der Fall ist, dann musst einfach die ganze Gleichung durch den Koeffizienten teilen, der vor \(y'\) steht. Dann hast du die passende Form.

Bei dieser Lösungsmethode werden \(y\) und \(x\) als zwei Variablen aufgefasst und voneinander getrennt, indem \(y\) auf die eine Seite und \(x\) auf die andere Seite der Gleichung gebracht wird. Hierzu eignet sich die Leibniz-Notation der DGL am besten:

Form einer homogenen lineare DGL in Leibniz-Notation
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Bringe \(K(x)\,y\) auf die rechte Seite:

Homogenen lineare DGL umgeformt
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Multipliziere die Gleichung mit \( \text{d}x \) und dann teile die Gleichung durch \(y\). Auf diese Weise hast du auf der linken Seite nur \(y\)-Abhängigkeit stehen und auf der rechten Seiten nur die \(x\)-Abhängigkeit:

Trenne die Variablen y und x in der DGL
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Jetzt kannst du auf der linken Seite über \(y\) integrieren und auf der rechten Seite über \(x\):

Auf beiden Seiten der DGL Integration anwenden
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Die Integration von \( 1 / y \) ergibt den natürlichen Logarithmus von \(y\). Das musst du am besten auswendig wissen, weil du so einem Integral oft begegnen wirst. Vergiss auch nicht die Integrationskonstante! Nennen wir sie zum Beispiel \(A\):

Integral auf der linken Seite der DGL berechnen
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Jetzt musst du nur noch nach der gesuchten Funktion \(y\) umstellen. Benutze dazu auf beiden Seiten die Exponentialfunktion \(\mathrm{e}^{...}\):

Integrierte DGL etwas umstellen
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Die Summe im Exponentialterm auf der linken Seite kannst du in ein Produkt aufspalten, wobei \(\mathrm{e}^{\ln(y)}\) einfach \(y\) ist:

Integrierte DGL weiter umstellen
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Bringe nur noch die Konstante \(\mathrm{e}^{A}\) auf die rechte Seite:

Konstante auf die andere Seite bringen
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Benenne \( \frac{1}{\mathrm{e}^{A}} \) in eine neue Konstante \(C\) um. Als Ergebnis bekommst du eine allgemeine Lösungsformel, die du immer benutzen kannst, um homogene lineare Differentialgleichungen zu lösen. Du musst nicht unbedingt die Trennung der Variablen immer wieder anwenden, sondern kannst direkt die Lösungsformel benutzen:

Lösungsformel für gewöhnliche homogene DGL 1. Ordnung
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Beispiel: Zerfallsgesetz-DGL mit der TdV-Methode lösen

Schauen wir uns die DGL für das Zerfallsgesetz an:

Homogene DGL erster Ordnung für das Zerfallsgesetz
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Die gesuchte Funktion \(y\) ist in diesem Fall die Anzahl noch nicht zerfallener Atomkerne \(N\) und die Variable \(x\) ist in diesem Fall die Zeit \(t\). Und der Koeffizient \(K\) ist in diesem Fall eine Zerfallskonstante \(\lambda\). Es sind lediglich nur andere Buchstaben. Der Typ der DGL ist derselbe! Nach der Lösungsformel musst du den Koeffizienten, also die Zerfallskonstante über \(t\) integrieren. Eine Konstante zu integrieren ergibt einfach nur \(t\). Und schon hast du die allgemeine Lösung für das Zerfallsgesetz:

Allgemeine Lösung der DGL für das Zerfallsgesetz
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Zerfallsgesetz (N-t-Diagramm)
Exponentieller Abfall der Anzahl der Atomkerne beim Zerfallsgesetz.

Damit kennst du jetzt nur das qualitative Verhalten, nämlich, dass Atomkerne exponentiell Zerfallen. Du kannst aber noch nicht konkret sagen, wie viele Kerne nach so und so viel Zeit schon zerfallen sind. Das liegt daran, dass du die Konstante \(C\) noch nicht kennst. Sie gibt schließlich beim Zerfallsgesetz die Anzahl der Atomkerne an, die am Anfang, bevor der Zerfall anfing, da waren. Du brauchst also eine Anfangsbedingung als zusätzliche Information zur DGL. Sie könnte beispielsweise so lauten: \( N(0) = 1000 \). Das heißt, zum Zeitpunkt \(t = 0 \) gab es 1000 Atomkerne. Einsetzen ergibt:

Anfangsbedingung in die allgemeine Lösung einsetzen
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Also muss \( C = 1000 \) sein:

Spezielle Lösung der Zerfallsgesetz-DGL
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Jetzt kannst du beliebige Zeit einsetzen und herausfinden, wie viele nicht zerfallene Atomkerne noch da sind.

Nun weißt du, wie einfache homogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung gelöst werden können. In der nächsten Lektion schauen wir uns an, wie inhomogene DGL mit der "Variation der Konstanten" geknackt werden können.