Trennung der Variablen (TdV) und wie Du damit homogene DGL 1. Ordnung löst
Video - Homogene DGL 1. Ordnung lösen mit Trennung der Variablen (+ Beispiel)
Video herunterladen EntsperrenDie Methode der Trennung der Variablen (TdV) ist geignet für:
gewöhnliche DGL 1. Ordnung,
die linear
und homogen sind.
Denk dran, dass, wenn eine DGL homogen ist, ist sie auch linear. Dieser Typ der DGL hat die Form:
Hierbei muss der Koeffizient \(K\) nicht unbedingt konstant sein, sondern kann auch von \(x\) abhängen! Beachte außerdem, dass vor der ersten Ableitung \(y'\) der Koeffizient gleich 1 sein muss. Wenn das bei dir nicht der Fall ist, dann musst einfach die ganze Gleichung durch den Koeffizienten teilen, der vor \(y'\) steht. Dann hast du die passende Form.
Bei dieser Lösungsmethode werden \(y\) und \(x\) als zwei Variablen aufgefasst und voneinander getrennt, indem \(y\) auf die eine Seite und \(x\) auf die andere Seite der Gleichung gebracht wird. Hierzu eignet sich die Leibniz-Notation der DGL am besten:
Bringe \(K(x)\,y\) auf die rechte Seite:
Multipliziere die Gleichung mit \( \text{d}x \) und dann teile die Gleichung durch \(y\). Auf diese Weise hast du auf der linken Seite nur \(y\)-Abhängigkeit stehen und auf der rechten Seiten nur die \(x\)-Abhängigkeit:
Jetzt kannst du auf der linken Seite über \(y\) integrieren und auf der rechten Seite über \(x\):
Die Integration von \( 1 / y \) ergibt den natürlichen Logarithmus von \(y\). Das musst du am besten auswendig wissen, weil du so einem Integral oft begegnen wirst. Vergiss auch nicht die Integrationskonstante! Nennen wir sie zum Beispiel \(A\):
Jetzt musst du nur noch nach der gesuchten Funktion \(y\) umstellen. Benutze dazu auf beiden Seiten die Exponentialfunktion \(\mathrm{e}^{...}\):
Die Summe im Exponentialterm auf der linken Seite kannst du in ein Produkt aufspalten, wobei \(\mathrm{e}^{\ln(y)}\) einfach \(y\) ist:
Bringe nur noch die Konstante \(\mathrm{e}^{A}\) auf die rechte Seite:
Benenne \( \frac{1}{\mathrm{e}^{A}} \) in eine neue Konstante \(C\) um. Als Ergebnis bekommst du eine allgemeine Lösungsformel, die du immer benutzen kannst, um homogene lineare Differentialgleichungen zu lösen. Du musst nicht unbedingt die Trennung der Variablen immer wieder anwenden, sondern kannst direkt die Lösungsformel benutzen:
Beispiel: Zerfallsgesetz-DGL mit der TdV-Methode lösen
Schauen wir uns die DGL für das Zerfallsgesetz an:
Die gesuchte Funktion \(y\) ist in diesem Fall die Anzahl noch nicht zerfallener Atomkerne \(N\) und die Variable \(x\) ist in diesem Fall die Zeit \(t\). Und der Koeffizient \(K\) ist in diesem Fall eine Zerfallskonstante \(\lambda\). Es sind lediglich nur andere Buchstaben. Der Typ der DGL ist derselbe! Nach der Lösungsformel musst du den Koeffizienten, also die Zerfallskonstante über \(t\) integrieren. Eine Konstante zu integrieren ergibt einfach nur \(t\). Und schon hast du die allgemeine Lösung für das Zerfallsgesetz:
Damit kennst du jetzt nur das qualitative Verhalten, nämlich, dass Atomkerne exponentiell Zerfallen. Du kannst aber noch nicht konkret sagen, wie viele Kerne nach so und so viel Zeit schon zerfallen sind. Das liegt daran, dass du die Konstante \(C\) noch nicht kennst. Sie gibt schließlich beim Zerfallsgesetz die Anzahl der Atomkerne an, die am Anfang, bevor der Zerfall anfing, da waren. Du brauchst also eine Anfangsbedingung als zusätzliche Information zur DGL. Sie könnte beispielsweise so lauten: \( N(0) = 1000 \). Das heißt, zum Zeitpunkt \(t = 0 \) gab es 1000 Atomkerne. Einsetzen ergibt:
Also muss \( C = 1000 \) sein:
Jetzt kannst du beliebige Zeit einsetzen und herausfinden, wie viele nicht zerfallene Atomkerne noch da sind.
Nun weißt du, wie einfache homogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung gelöst werden können. In der nächsten Lektion schauen wir uns an, wie inhomogene DGL mit der "Variation der Konstanten" geknackt werden können.