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Fourier-Reihe und was hinter ihrer Haube steckt

Sägezahnfunktion angenähert durch zwei verschiedene Fourier-Reihen
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Wozu Fourier-Reihen?
  2. Das Konzept von Fourier-Reihen Hier lernst du, wie die Fourier-Reihe von periodischen Funktionen aussieht und wie sie zustande kommt.
  3. Fourier-Koeffizienten Hier lernst du, wie Fourier-Koeffizienten berechnet werden und wie die Berechnungsformel zustande kommt.
  4. Fourier-Basis Hier schauen wir uns komplexe Exponentialfunktionen als eine typische Basis für die Fourier-Entwicklung an.
  5. Beispiel: Fourier-Reihe für die Sägezahnfunktion Hier berechnen wir die Fourier-Koeffizienten für eine konkrete Funktion und stellen ihre Fourier-Reihe auf.

Video - Fourier-Reihe. Eine intuitive Erklärung.

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Wozu Fourier-Reihen?

Du kennst sicherlich die Taylor-Entwicklung, mit der wir eine Funktion \(f(x)\) an einem Punkt \(x = x_0\) durch eine einfachere Taylor-Reihe annähern können. Je mehr Terme wir in der Taylor-Reihe nehmen, desto besser wird die Näherung \( f_{\text{taylor}} \) in der Umgebung des gewählten Entwicklungspunkts \(x_0\).

Wie du in der Illustration 1 siehst, ist die Taylor-Reihe, repräsentiert durch \( f_{\text{taylor}} \), eine gute Näherung der Funktion \(f\) in der unmittelbaren Umgebung von \(x_0\). Entfernen wir uns jedoch weiter weg von dem Punkt, dann sehen wir, dass die Taylor-Reihe dort keine gute Näherung ist. Die Taylor-Entwicklung ist also eine Methode, mit der wir eine Funktion nur lokal annähern können.

Wenn es uns aber wichtig ist, eine Funktion auf einem ganzen Intervall anzunähern, dann brauchen wir eine Fourier-Reihe der Funktion. Wie wir sehen werden, ist die Fourier-Reihe eine Linearkombination von simplen periodischen Basisfunktionen wie Cosinus und Sinus oder komplexe Exponentialfunktionen, die in der Summe die Funktion \(f\) in einem Intervall annähern können. Im Folgenden gehen wir von einem Intervall der Länge \(L\) aus.

Taylor-Näherung und Fourier-Näherung für eine Funktion
Näherung einer Funktion mit der Fourier-Methode und Taylor-Methode im Vergleich.

Das Konzept von Fourier-Reihen

Wir können einen Vektor \( \boldsymbol{v} \), der in einem \(n\)-dimensionalen Vektorraum lebt, als eine Linearkombination von Basisvektoren \( \boldsymbol{e}_k \) darstellen, die den Vektorraum aufspannen:

Endlicher Vektor als Linearkombination
Anker zu dieser Formel

Das solltest du aus der linearen Algebra kennen! Das Symbol \(\boxed{+}\) wird übrigens auf dieser Website als eine moderne, viel bessere Alternative für das Summenzeichen \(\Sigma\) verwendet.

Mithilfe einer Basis \({ \boldsymbol{e}_k }\) können wir jeden möglichen Vektor \( \boldsymbol{v} \) in diesem Vektorraum darstellen. Hierbei sind \(v_k\) die Komponenten des Vektors in der gewählten Basis. Die Basis ist ja nicht eindeutig. Durch die Wahl einer anderen Basis hat der Vektor andere Komponenten \(v_k\).

Wir können dieses Konzept der Linearkombination auch auf unendlich-dimensionale Vektoren anwenden. Eine Funktion \(f(x)\) lässt sich als ein unendlich-dimensionaler Vektor interpretieren, den wir als Linearkombination darstellen können. Die Komponenten \(v_k\) eines endlichen Vektors werden zu Fourier-Koeffizienten \(\widetilde{f}_k\), wenn wir eine Funktion und nicht einen endlichen Vektor als Linearkombination darstellen:

Fourier-Reihe von \(f\)
Anker zu dieser Formel

Stellen wir eine Funktion \(f\) als eine Linearkombination 2 von Basisfunktionen dar, dann bezeichnen wir die Summe 2 als Fourier-Reihe von \(f\).

Bei einer Linearkombination für eine Funktion, werden die Basisvektoren \(\boldsymbol{e}_k\) als Basisfunktionen bezeichnet. In der Optik werden die Basisfunktionen auch gern als Fourier-Moden genannt.

Die Funktionswerte \(f(x_0)\), \(f(x_1)\), \(f(x_2)\) und so weiter, bis \(f(x_0 + L)\) stellen wir uns als Komponenten von \(f\) vor. Hier haben wir ein bisschen geschummelt, weil das Argument \(x\) reell ist und es theoretisch unendlich viele Werte beispielsweise zwischen \(x_0\) und \(x_1\) gibt. Aber so kannst du dir zumindest eine Funktion als einen Vektor mit unendlich vielen Komponenten vorstellen:

Funktion als unendlicher Vektor
Anker zu dieser Formel

Fourier-Koeffizienten

Die Fourier-Koeffizienten kannst du analog wie in der linearen Algebra bestimmen. Wie geht das nochmal in der linearen Algebra? Um die \(k\)-te Komponente eines endlich-dimensionalen Vektors \(\boldsymbol{v}\) zu bekommen, müssen wir das Skalarprodukt zwischen dem \(k\)-ten Basisvektor \(\boldsymbol{e}_k\) und dem Vektor \(\boldsymbol{v}\) bilden:

k-te Vektorkomponente als Projektion
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Das Skalarprodukt haben wir im letzten Schritt mit einem Summenzeichen etwas kompakter notiert. Hierbei wird über den Index \(j\) summiert.

Wenn wir nicht mit endlich-dimensionalen Vektoren, sondern mit Funktionen arbeiten, dann müssen wir das Skalarprodukt zwischen der \(k\)-ten Basisfunktion und der Funktion \(f\) bilden, um den \(k\)-ten Fourier-Koeffizienten von \(f\) zu erhalten:

k-ter Fourier-Koeffizient als inneres Produkt des k-ten Basisvektors mit der Funktion
Anker zu dieser Formel

Um anzudeuten, dass wir hier mit möglicherweise einem unendlich dimensionalen Vektorraum arbeiten, nennen wir die Operation 4 nicht Skalarprodukt, sondern inneres Produkt und notieren es in der Bra-Ket-Notation (als Physiker).

Schreiben wir erstmal analog wie beim endlich-dimensionalen Fall 4 das innere Produkt aus. Mit dem einzigen Unterschied, dass wir die Komponenten 3 der Funktion als Funktionswerte interpretieren: \(f(x_0)\), \(f(x_1)\), \(f(x_2)\) und so weiter. Auch die Komponenten der Basisfunktionen sehen wir als Funktionswerte an:

Inneres Produkt als Summe der Produkte der Funktionswerte
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Hier summieren wir bis zur Stelle \(x=x_0+L\), weil wir wie gesagt bei einer Fourier-Reihe nur mit Funktionen in einem gewählten Intervall arbeiten können. Nimm diese Summation aber mathematisch nicht zu ernst, weil wir erstmal nur die Formel für das innere Produkt für Funktionen motivieren wollen.

Die Summation über das Funktionsargument können wir mit einem Summenzeichen kompakt notieren:

Inneres Produkt als Summe der Produkte der Funktionswerte kompakt notiert
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Und hier haben wir ein Problem: Wie soll die Summation in 7 überhaupt für eine Funktion funktionieren? Der Summationsindex \(x\) ist im Fall von Funktionen eine kontinuierliche Variable! Das heißt: Selbst zwischen den Punkten \(x_0\) und \(x_1\) gibt es theoretisch unendlich viele andere Funktionswerte, die wir hier einfach ausgelassen haben. Wir können das Problem leicht beseitigen. Weil wir hier mit einer kontinuierlichen Summation zu tun haben, müssen wir das Summenzeichen einfach mit einem Integral ersetzen:

Formel für den k-ten Fourier-Koeffizient
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Wir haben das erste Argument im inneren Produkt (hier: Basisfunktion) im Integral komplex-konjugiert. Das ist notwendig, wenn wir auch komplex-wertige Funktionen \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \) zulassen. Wenn wir das nicht tun würden, wäre das Integral im Fall von komplex-wertigen Funktionen kein inneres Produkt, weil es die mathematischen Eigenschaften eines inneren Produkts nicht erfüllen würde.

So, jetzt verstehst du hoffentlich, wie du die Fourier-Koeffizienten bestimmen kannst und wie die Formel 8 überhaupt zustande kommt. Du musst einfach das innere Produkt der Funktion \(f\) mit den Basisfunktionen bilden. Sprich: Du musst das Integral 8 berechnen.

Fourier-Basis

Gehen wir zu den Basisfunktionen über. Welche Basisfunktionen können wir für die Fourier-Reihe 2 benutzen? Alle, die die Eigenschaften einer Basis erfüllen! Damit wir eine Menge von Vektoren, oder wie in unserem Fall, eine Menge von Funktionen als Basis bezeichnen können, müssen sie zwei Bedingungen erfüllen:

  1. Wenn wir zwei Basisfunktionen nehmen, dann müssen sie orthonormal zueinander sein, also orthogonal und normiert.

  2. Die Menge der Basisfunktionen muss vollständig sein. Anders gesagt, sie müssen den Raum, in dem die Funktionen \(f\) leben, aufspannen. Erst dann sind wir in der Lage jede Funktion \(f\) als Linearkombination dieser Basisfunktionen darzustellen.

Eine typische Basis, die in der Physik benutzt wird, sind die komplexen Exponentialfunktionen:

Komplexe Exponentialfunktionen als Basis für die Fourier-Reihe
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Der Faktor \(\frac{1}{\sqrt{L}}\) stellt sicher, dass die Basisfunktion normiert ist.

Für jede verschiedene Wellenzahl \(k\) bekommst du einen anderen Basisvektor. Vielleicht hast du eine andere Basis für die Fourier-Reihe gesehen, wie Cosinus und Sinus. Wie gesagt es steht uns frei, eine Basis zu wählen. Hier wählen wir eben komplexe Exponentialfunktionen als Basis, weil sie vor allem zum Erklären der Fourier-Reihe schön kompakt geschrieben werden können.

Die Fourier-Reihe 2 in dieser Exponentialbasis würde dann folgendermaßen aussehen:

Fourier-Reihe in der Exponentialbasis
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Eigenschaft #1: Fourier-Basis ist orthonormal

Schauen wir uns die erste Eigenschaft von Basisfunktionen an: Orthonormalität. Die Orthonormalität können wir prüfen, indem wir zwei verschiedene Basisfunktionen nehmen, \(\boldsymbol{e}_k\) und \(\boldsymbol{e}_{k'}\), und das innere Produkt, wie in 8 bilden.

Inneres Produkt zwischen zwei Basisfunktionen
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  • Damit die beiden Funktionen orthonormal sind, muss ihr inneres Produkt \(\langle \boldsymbol{e}_k | \boldsymbol{e}_{k'} \rangle = 1\) ergeben, wenn \(k = k'\) ist (wenn wir also das innere Produkt einer Funktion mit sich selbst nehmen).

  • Und das innere Produkt \(\langle \boldsymbol{e}_k | \boldsymbol{e}_{k'} \rangle = 0\) muss Null ergeben, wenn \(k\neq k'\) ist (wenn wir also das innere Produkt einer Funktion NICHT mit sich selbst nehmen).

Die beiden Fälle können wir zu einer Gleichung zusammenfassen, wenn wir ein Kronecker-Delta benutzen:

Orthonormalität zweier Fourier-Basisfunktionen
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Wir können leicht zeigen, dass die Exponentialfunktionen 9 orthonormal sind:

Inneres Produkt zweier Exponentialbasisfunktionen
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Hierbei haben wir die beiden Normierungsfaktoren zu \(\frac{1}{L}\) zusammengefasst und die erste Exponentialfunktion komplex-konjugiert (daher das Minuszeichen im Exponenten).

Die beiden Exponentialfunktionen lassen sich weiter zusammenfassen:

Inneres Produkt zweier Basisfunktionen zusammengefasst
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Betrachten wir als erstes den Fall \(k = k'\). Dann ist die Exponentialfunktion gleich 1 und das Einsetzen der Integrationsgrenzen ergibt:

Inneres Produkt zweier gleicher Basisfunktionen ist Eins
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Hier siehst du auch, warum der Faktor \( \frac{1}{\sqrt{L}} \) bei den Basisfunktionen notwendig ist: Damit wir beim inneren Produkt 15 eine 1 herausbekommen, so wie sich das für orthonormierte Vektoren oder Funktionen gehört.

Für den Fall \(k \neq k'\), also für zwei verschiedene Basisfunktionen, muss das Integral 14 Null ergeben. Die Integration der Exponentialfunktion ergibt die Exponentialfunktion zurück, und einen Faktor davor:

Inneres Produkt zweier verschiedener Basisfunktionen
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Damit die beiden Exponentialfunktionen in der Klammer gleich sind, müssen wir periodische Randbedingungen annehmen. Das heißt die Exponentialfunktion an der Stelle \(x_0\) muss gleich der Exponentialfunktion an der Stelle \(x_0 + L\) sein. Unter dieser Bedingung heben sich die beiden Terme in der Klammer weg und das Integral ergibt Null.

Wie du siehst, die gewählten Basisfunktionen 9, zusammen mit periodischen Randbedingungen sind orthonormal.

Diskrete \(k\)-Werte bei periodischen Randbedingungen

Damit die Exponentialfunktion orthonormal sind, haben wir angenommen, dass sie \(L\)-periodisch sein müssen. Das heißt, dass \( \text{e}^{\mathrm{i}\,x_0 \, (k'-k)} \) gleich der Exponentialfunktion \( \text{e}^{\mathrm{i}\,(x_0+L) \, (k'-k)} \) ist, weil die zweite Exponentialfunktion ja nur um die Periodenlänge \(L\) verschoben ist. Aus der Periodizität \( \text{e}^{\mathrm{i}\,k\, L} \stackrel{!}{=} 1 \) können wir eine Bedingung für die Werte von \(k\) herausfinden:

Diskrete Wellenzahl bei periodischen Randbedingungen
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Hierbei ist \(n = ... -2, -1, 0, 1, 2... \) eine ganze Zahl.

Eigenschaft #2: Fourier-Basis ist vollständig

Die zweite Eigenschaft, die die Menge der Funktionen erfüllen muss, damit sie eine Basis ist, ist die Vollständigkeitsrelation. Mit dieser Relation stellen wir sicher, dass wir jede Funktion \(f(x)\), mithilfe der gewählten Basisfunktionen \( { e_k(x) } \) darstellen können.

Setze dazu die Formel für die Fourier-Koeffizienten 8 in die Fourier-Reihe 2 ein:

Herleitung der Vollständigkeitsrelation für die Fourier-Basis
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Die Summe über die beiden Basisfunktionen zusammen mit \(f(x')\) im Integral, pickt den Wert der Funktion \(f(x)\). Dieses Verhalten zeigt die Delta-Funktion \(\delta(x-x')\).

Vollständigkeitsrelation für die Fourier-Basis
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Beispiel: Fourier-Reihe für die Sägezahnfunktion

Jetzt solltest du ein solides, intuitives Verständnis für eine Fourier-Reihe haben und wie du sie für eine Funktion theoretisch berechnen kannst. Machen wir mal ein konkretes Beispiel, wie wir eine Fourier-Reihe für eine Funktion konkret angeben können.

Schauen wir uns eine Sägezahnfunktion zwischen \(x=0\) und \(x=1\) an. Sie ist folgendermaßen definiert:

Definition der Sägezahnfunktion
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Die gesamte Intervalllänge ist \(L=1\). Damit ist der Normierungsfaktor bei den Exponentialbasisfunktionen auch 1:

Basisufunktionen für die Sägezahnfunktion
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Bei der Bestimmung von Fourier-Reihen müssen wir stets zwei Dinge tun:

  1. Eine Basis wählen (haben wir bereits getan) und in die Fourier-Reihe 2 einsetzen:

    Fourier-Reihe für die Sägezahnfunktion mit unbekannten Koeffizienten
    Anker zu dieser Formel
  2. Die Fourier-Koeffizienten \(\widetilde{f}_k\) mit 8 ausrechnen und in die Fourier-Reihe 22 einsetzen.

Den \(k\)-ten Fourier-Koeffizienten bestimmst du mit dem inneren Produkt zwischen der \(k\)-ten Basisfunktion und der Sägezahnfunktion, wie in Gl. 8 gezeigt:

Fourier-Koeffizienten - Integral für die Sägezahnfunktion
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Da die Sägezahnfunktion stückweise definiert ist, teilen wir das Integral auf:

Fourier-Koeffizienten - zu berechnendes Integral-Beispiel
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Mit partieller Integration oder mit einem Integrationsrechner kannst du die beiden Integrale ausrechnen. Als Ergebnis bekommst du:

Fourier-Koeffizienten für die Sägezahnfunktion
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Da wir für \(k\) keinen konkreten Wert eingesetzt haben, haben wir damit alle Fourier-Koeffizienten bestimmt. Für einen unterschiedlichen \(k\)-Wert bekommen wir einen anderen Fourier-Koeffizienten. Setzen wir nur noch die Fourier-Koeffizienten in die Fourier-Reihe ein und fassen die beiden Exponentialfunktionen zusammen:

Fourier-Reihe für die Sägezahnfunktion
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Im letzten Schritt haben wir \( k = \frac{2\pi}{L} \, n \), mit \( L = 1 \) eingesetzt. Beachte, dass wir hier über negative und positive \( n \) summieren!

Sägezahnfunktion angenähert durch zwei verschiedene Fourier-Reihen
Sägezahnfunktion wird durch die Fourier-Reihe angenähert (zwei verschiedene Näherungen).

Mit dieser Fourier-Reihe für die Sägezahnfunktion haben wir im Grunde zwei Dinge gewonnen.

  1. Wir können die Reihe nun bis zu einem bestimmten maximalen \(n\)-Wert summieren und so eine beliebig gute Näherung für die Sägezahnfunktion erhalten.

  2. Da wir die Fourier-Koeffizienten bestimmt haben, wissen wir, welche \(n\)-Werte in der Sägezahnfunktion enthalten sind (\(n=0\) ist zum Beispiel nicht enthalten) . Wir wissen also aus welchen Bausteinen (Basisfunktionen) die Sägezahnfunktion zusammengesetzt ist. Dieses "Aufdröseln der Funktion in einzelne Bestandteile" wird als Fourier-Analyse bezeichnet.

In den nächsten Lektionen schauen wir uns an, wie wir die Fourier-Reihe dazu benutzen können, um Fourier-Analyse von komplizierten Funktionen konkret zu machen. Eine weitere Sache, die wir kennenlernen werden, ist wie wir mit einer sogenannten Fourier-Transformierten eine Funktion \(f\) nicht nur in einem Intervall, sondern im gesamten Raum (\(L \rightarrow \infty \)), global, annähern können.