Level 3
Kronecker-Delta: 4 Rechenregeln & Skalarprodukt in Indexnotation
Das Kronecker-Delta ist in der theoretischen Physik nicht mehr wegzudenken. Du wirst diesem relativ einfachen, dennoch mächtigen Tensor praktisch in allen Teilgebieten der theoretischen Physik begegnen. Es wird beispielsweise eingesetzt, um
- Lange Ausdrücke kompakter zu notieren.
- Komplizierte Ausdrücke zu vereinfachen.
In Kombination mit dem Levi-Civita-Tensor sind die beiden Tensoren sehr mächtig! Deswegen lohnt es sich zu verstehen, wie es funktioniert.
Definition und Beispiele
Kronecker-Delta \(\delta_{ij}\) ist ein kleines griechisches Delta, das entweder 1 oder 0 ist, je nach dem, welchen Wert die beiden Indizes \(i\) und \(j\) haben. Der maximale Wert, den ein Index annehmen kann, entspricht der betrachteten Dimension. Zum Beispiel im dreidimensionalen Raum nehmen die Indizes \(i\) und \(j\) die Werte von 1 bis 3 an.
Kronecker-Delta ist gleich 1, wenn \(i\) und \(j\) gleich sind. Und Kronecker-Delta ist gleich 0, wenn \(i\) und \(j\) ungleich sind.
- \( \delta_{11} ~=~ 1 \) - da beide Indizes gleichen sind.
- \( \delta_{23} ~=~ 0 \) - da beide Indizes unterschiedlich sind.
- \( a \,\delta_{33} ~=~ a \cdot 1 ~=~ a \)
- \( \delta_{23} \, \delta_{22} ~=~ 1 \cdot 0 ~=~ 0 \)
Einstein-Summenkonvention
Damit wir einen Ausdruck wie2 \[ \underset{j=1}{\overset{3}{\boxed{+}}} ~ \delta_{ij} \, \delta_{jk} ~=~ \delta_{i1} \, \delta_{1k} ~+~ \delta_{i2} \, \delta_{2k} ~+~ \delta_{i3} \, \delta_{3k} \]oder einen Ausdruck wie2.1 \[ \underset{i=1}{\overset{3}{\boxed{+}}} ~ a_i \, b_i ~=~ a_1\,b_1 ~+~ a_2\,b_2 ~+~ a_3\,b_3 \]kompakt darstellen können, vereinbaren wir folgende Regel:
Nach der Summenkonvention lassen wir das Summenzeichen weg und denken im Hinterkopf, dass über \(i\) summiert wird:2.3 \[ a_i \, b_i ~=~ a_1\,b_1 ~+~ a_2\,b_2 ~+~ a_3\,b_3 \]
Ein weiterer Vorteil der Summenkonvention (neben Kompaktheit) ist die formale Kommutativität. Zum Beispiel darfst du den Ausdruck \( \varepsilon_{ijk} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{i} \, s_j \, \delta_{km} \) nach deinem Wunsch in einer anderen Reihenfolge aufschreiben, zum Beispiel so: \( \varepsilon_{ijk} \, \delta_{km} \, \, s_j \, \boldsymbol{\hat{e}}_{i} \). Dadurch könntest du besser sehen, was gekürzt oder weiter zusammengefasst werden kann.
Aber Achtung! Es gibt jedoch Ausnahmen. Zum Beispiel beim Differentialoperator \( \partial_j \). Du darfst nicht \(f_j\) vor \(\partial_j\) ziehen, weil \(\partial_j\) auf \(f_j\) wirkt:\[ f_j \, \partial_j ~\neq~ \partial_j \, f_j \]Du darfst nicht einfach etwas vor die Ableitung ziehen, was abgeleitet werden soll. Bei Operatoren in Indexnotation solltest du also aufpassen.
4 Rechenregeln für Kronecker-Delta
Lass uns vier nützliche Rechenregeln mit Kronecker-Delta anschauen, die du immer dann einsetzen kannst, wenn über doppelte Indizes summiert wird.
Begründung: Nach der Definition des Kronecker-Delta, wenn die beiden Indizes \(i\) and \(j\) gleich sind, ist sowohl \( \delta_{ij} = 1 \) als auch \(\delta_{ji} = 1 \), unabhängig davon, wie die Indizes angeordnet sind. Das gilt auch für den Fall, wenn die Indizes ungleich sind. Dann tragen sowohl \( \delta_{ij} \) als auch \(\delta_{ji} \) den Wert 0. Kronecker-Delta ist also symmetrisch!
Begründung: Schauen wir uns beispielhaft einen möglichen Fall an. Nehmen wir mal an, die Indizes \( i \) und \( j \) sind gleich: \( i = j \) und die Indizes \( j \) und \( k \) sind ungleich: \( j \neq k \). Dann folgt aus dieser Gleichung und Ungleichung, dass auch \( i \) und \( k \) ungleich sein müssen: \( i \neq k \). Nach Definition 1
folgt dann für das Produkt zweier Deltas mit diesen Indizes: \( \delta_{ij} \, \delta_{jk} ~=~ 1 * 0 ~=~ 0 \). Du kannst aber genauso diese Gleichung kompakter schreiben: \( \delta_{ik} ~=~ 0 \), weil sie ja wegen \( i \neq k \) genauso Null ergibt. Wir sagen: Der Index \(j\) wird kontrahiert.
1. möglicher Weg: Nach der ersten Regel weißt du, dass Kronecker-Delta symmetrisch ist. Also kannst du \(k\) und \(j\) in \(\delta_{kj}\) vertauschen und den Summationsindex \(j\) kontrahieren. Dann bekommst du: \(\delta_{ik} \, \delta_{in}\). Anschließend kontrahierst du den Index \(i\). Der Ausdruck vereinfacht sich damit zu: \( \delta_{kn} \).
2. möglicher Weg: Vertausche am besten zuerst das erste Delta mit dem zweiten Delta: \( \delta_{kj} \, \delta_{ij} \, \delta_{in} \). Kontrahiere den Summationsindex \(i\), dann bekommst du: \( \delta_{kj} \, \delta_{jn} \). Kontrahiere anschließend den Index \(j\) und du bekommst: \( \delta_{kn} \).
Wie du siehst: Die Reihenfolge der Kontraktion spielt keine Rolle. In beiden Fällen bekommst du das gleiche Ergebnis!
Begründung: Das Produkt 5
ist nur dann nicht Null, wenn \( j = k \) ist. Diese Regel ist im Grunde ein weiterer Fall der Index-Kontraktion. Diese Regel sagt dir nur, dass du Summationsindizes kontrahieren kannst, die nicht unbedingt von einem Kronecker-Delta getragen werden müssen. Du kannst also auch Summationsindizes kontrahieren, die in beliebigen Ausdrücken vorkommen.
Begründung: Hier tritt der Index \(j\) doppelt auf, das heißt, es wird nach der Summenkonvention über \(j\) summiert. \(\delta_{11}\) + \(\delta_{22}\) + \(\delta_{33}\) und so weiter, bis \(\delta_{nn}\). Da in jedem Kronecker-Delta die Indizes-Werte gleich sind, ergibt jedes Kronecker-Delta nach seiner Definition eine Eins: 6.1\begin{align} \delta_{jj} &~=~ \delta_{11} ~+~ \delta_{22} ~+~...~+~ \delta_{nn} \\\\ &~=~ 1 ~+~ 1 ~+~...~+~ 1 \\\\ & ~=~ n \end{align}
Die 3 häufigsten Fehler, die du vermeiden solltest
Wenn Du Summenkonvention und die obigen Rechenregeln benutzt, musst Du außerdem auf die richtige Notation achten: Summiert wird dann, wenn ein Index genau doppelt auftritt und zwar auf einer Seite der Gleichung.
- Fehler #1 7\[ v_i ~=~ b_i \, c_i \]Warum? Auf der rechten Seite der Gleichung
7
wird zwar über \( i \) summiert, auf der linken Seite steht aber auch der Summationsindex \(i\) - das ergibt keinen Sinn... Ein Summationsindex \(i\) darf nur auf einer Seite der Gleichung auftauchen! Um7
zu korrigieren, kannst du den Summationsindex zu \( j \) umbenennen.Der nachfolgende Fehler ist zwar nicht falsch, aber sehr fehleranfällig:
- Fehler #2 8\[ \delta_{jk} \, v_k ~=~ \delta_{mk} \, r_k \]Warum? Weil der Summationsindex \( k \) auf beiden Seiten der Gleichung erscheint. Es wird also auf beiden Seiten über \(k\) summiert. Etwas sauberer wäre es einen Summationsindex auf einer Seite der Gleichung zu umbennen.
- Fehler #39\[ \delta_{i1} \, \delta_{1k} ~=~ \delta_{ik} \]Warum? Weil hier nicht über einen Index summiert wird, sondern es wird versucht über eine gewöhnliche Zahl zu summieren, als wäre diese Zahl ein Summationsindex. Zahl "1" tritt zwar doppelt auf, ist aber kein variabler Index, über den du summieren kannst. Deshalb gilt hier die Summenkonvention nicht.
Skalarprodukt in Indexnotation
Lass uns jetzt das Skalarprodukt in Indexnotation mit dem Kronecker-Delta ausdrücken. Diese Darstellung wird dir in Zukunft helfen, komplizierte Vektorgleichungen leichter umzuformen und zu vereinfachen.
Betrachten wir einen dreidimensionalen Vektor mit den Komponenten \(x\), \(y\) und \(z\): 10 \[ \boldsymbol{v} ~=~ \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix} \]
Du kannst diesen Vektor \( \boldsymbol{v} \) in einer Orthonormalbasis folgendermaßen darstellen: 11 \[ \boldsymbol{v} ~=~ x \, \boldsymbol{\hat{e}}_x ~+~ y \, \boldsymbol{\hat{e}}_y ~+~ z \, \boldsymbol{\hat{e}}_z \] hierbei sind \(\boldsymbol{\hat{e}}_x\), \(\boldsymbol{\hat{e}}_y\) und \(\boldsymbol{\hat{e}}_z\) drei Basisvektoren, die orthogonal zueinander sind und normiert sind. In diesem Fall spannen sie ein orthogonales dreidimensionales Koordinatensystem auf.
Das Kronecker-Delta braucht Vektoren, die in Indexnotation geschrieben sind. Deshalb schreiben wir den Vektor \( \boldsymbol{v} \) in Indexnotation auf. Hierbei bezeichnen wir die Vektorkomponenten nicht mit unterschiedlichen Buchstaben \(x,y,z\), sondern wir wählen einen Buchstaben aus (hier eignet sich der Buchstabe \( v \)) und nummerieren dann die Vektorkomponenten und die Basisvektoren durch. Der Vektor sieht dann folgendermaßen aus: 12 \[ \begin{align} \boldsymbol{v} &~=~ \left( v_1,v_2,v_3\right) \\\\ &~=~ v_1 \, \boldsymbol{\hat{e}}_1 ~+~ v_2 \, \boldsymbol{\hat{e}}_2 ~+~ v_3 \, \boldsymbol{\hat{e}}_3 \end{align} \]
Einer der Vorteile dieser Durchnummerierung ist, dass dir auf diese Weise die Buchstaben für die Vektorkomponenten niemals ausgehen werden. Stell dir einfach einen fünfzigdimensionalen Vektor vor. So viele Buchstaben gibt es nicht mal, um jeder Vektorkomponente einen einzigartigen Buchstaben zuzuweisen.
Ein weiterer Vorteil ist, dass du das Summenzeichen einsetzen kannst, um die Basisdarstellung 12
kompakter darzustellen. Noch kompakter wird es, wenn wir nach der Summenkonvention das dicke Summanzeichen weglassen. Schau mal, wie kompakt der Vektor \(\boldsymbol{v}\) in einer Basis dargestellt werden kann, wenn wir die Komponenten durchnummerieren und Summenkonvention benutzen:
Da du nun jetzt weißt, wie ein Vektor in Indexnotation dargestellt wird, können wir auf analoge Weise das \textbf{Skalarprodukt} \( \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} \) zweier Vektoren \( \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3) \) und \( \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)\) in Indexnotation schreiben. Dazu benutzen wir die eben kennengelernte Indexnotation 13
eines Vektors: 14 \[ \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} ~=~ a_i \, \boldsymbol{\hat{e}}_i ~\cdot~ b_j \, \boldsymbol{\hat{e}}_j \]
Wie du bereits weißt, darfst du die Faktoren in 14
wie du möchtest sortieren. In Indexnotation treten nur Multiplikationen auf, deshalb gilt das Kommutativgesetz. Das nutzen wir mal aus und setzen Klammern um die Basisvektoren herum, um ihre Wichtigkeit bei der Einführen des Kronecker-Deltas zu betonen: 15 \[ \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} ~=~ a_i \, b_j \, \left( \boldsymbol{\hat{e}}_i ~\cdot~ \boldsymbol{\hat{e}}_j \right) \]
Die Basisvektoren \(\boldsymbol{\hat{e}}_i\) und \(\boldsymbol{\hat{e}}_j\) sind orthonormal (also paarweise orthogonal und normiert). Erinnere dich mal daran, was die Eigenschaft orthonormiert zu sein, für zwei Vektoren bedeutet. Ihr Skalarprodukt \( \boldsymbol{\hat{e}}_{i} ~\cdot~ \boldsymbol{\hat{e}}_{j} \) ergibt 1, wenn \(i\) und \(j\) gleich sind. In diesem Fall handelt es sich um denselben Vektor. Oder das Skalarprodukt ergibt 0, wenn \(i\) und \(j\) ungleich sind. In diesem Fall sind es zwei verschiedene Basisvektoren und sie liegen orthogonal zueinander:15.1\[ \delta_{ij} ~=~ \begin{cases} 1 &\mbox{wenn } i=j \\ 0 &\mbox{wenn } i \neq j \end{cases} \]
Kommt dir diese Eigenschaft nicht bekannt vor? Das Skalarprodukt von zwei orthonormierten Vektoren verhält sich genau wie die Definition von Kronecker-Delta! Deshalb darfst du das Skalarprodukt zwischen zwei Basisvektoren mit dem Kronecker-Delta ersetzen:
Damit können wir das Skalarprodukt 15
mittels Kronecker-Delta schreiben:
Wenn du dich an die dritte Kontraktionsregel 5
erinnerst, kannst du hier einen der der Summationsindizes \(i\) oder \(j\) eliminieren. Lass uns zum Beispiel das \(j\) eliminieren:18\[ \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} ~=~ a_i \, b_i \]
Und das ist genau die Definition des Skalarprodukts, bei dem die Vektorkomponenten komponentenweise summiert werden:18\[ \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} ~=~ a_1 \, b_1 ~+~ a_2 \, b_2 ~+~ a_3 \, b_3 \]
Lass uns zur Übung die Doppelsumme im Skalarprodukt 17
ausschreiben, um besser zu verinnerlichen, was hinter diesem Ausdruck steckt. Hier wird über \(i\) und \(j\) summiert. Anders gesagt, wir müssen alle möglichen Kombinationen der Indizes bilden und die Ausdrücke aufsummieren. Am einfachsten geht es, wenn du als erstes \(i = 1\) setzt und den Index \(j\) von 1 bis 3 durchgehst. Dann setzt du \(i = 2\) und gehst genauso vor. Und dann machst du das gleiche nochmal für \(i=3\):19\begin{align}
a_i \, b_j \, \delta_{ij} &~=~ a_1 \, b_1 \, \delta_{11} ~+~ a_1 \, b_2 \, \delta_{12} ~+~ a_1 \, b_3 \, \delta_{13} \\\\
&~+~ a_2 \, b_1 \, \delta_{21} ~+~ a_2 \, b_2 \, \delta_{22} ~+~ a_2 \, b_3 \, \delta_{23} \\\\
& ~+~ a_3 \, b_1 \, \delta_{31} ~+~ a_3 \, b_2 \, \delta_{32} ~+~ a_3 \, b_3 \, \delta_{33}
\end{align}
Am Ende bekommst du 9 Summanden. Aus diesen 9 Summanden sind nur 3 ungleich Null, weil hier die Indizes beim Kronecker-Delta gleich sind. Bei den übrigen 6 Summanden sind die Indizes beim Kronecker-Delta ungleich, deshalb fallen diese Summanden weg: 19.1 \[ a_i \, b_i ~=~ a_1 \, b_1 \, \delta_{11} ~+~ a_2 \, b_2 \, \delta_{22} ~+~ a_3 \, b_3 \, \delta_{33} \]
Dabei sind \( \delta_{11} \) \( \delta_{22} \) und \( \delta_{33} \) gleich 1. Und das Ergebnis ist genau die Definition des Skalarprodukts, bei dem du die Vektorkomponenten miteinander multiplizierst und zusammenaddierst: 19.2 \[ a_i \, b_i ~=~ a_1 \, b_1 ~+~ a_2 \, b_2 ~+~ a_3 \, b_3 \]
Diese vier Gleichungen können mit dem Kronecker-Delta \(\delta_{ij}\) zu einer einzigen Gleichung zusammengefasst werden:\[ \langle i | j \rangle ~=~ \delta_{ij} \]