Kronecker-Delta: 4 Rechenregeln & Skalarprodukt in Indexnotation

Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Aktualisiert von Alexander Fufaev am 16.02.2022

Inhaltsverzeichnis

Definition und Beispiele Mathematische Definition des Kronecker-Delta mit einigen Beispielen.
Einstein-Summenkonvention Hier lernst du, die Einstein-Summenkonvention kennen, bei der du die Summenzeichen weglassen darfst und damit formale Kommutativität und Kompaktheit bekommst.
4 Rechenregeln für Kronecker-Delta Hier lernst du vier wichtige Rechenregeln beim Umgang mit dem Kronecker-Delta.
Die 3 häufigsten Fehler, die du vermeiden solltest Hier lernst du die üblichen Fehler, die beim Rechnen mit dem Kronecker-Delta gemacht werden.
Skalarprodukt in Indexnotation Hier lernst du, wie man mithilfe des Kronecker-Delta, das Skalarprodukt in Indexnotation aufschreiben kann.

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Das Kronecker-Delta ist in der theoretischen Physik nicht mehr wegzudenken. Du wirst diesem relativ einfachen, dennoch mächtigen Tensor praktisch in allen Teilgebieten der theoretischen Physik begegnen. Es wird beispielsweise eingesetzt, um...

lange Ausdrücke kompakter zu notieren.
komplizierte Ausdrücke zu vereinfachen.

In Kombination mit dem Levi-Civita-Tensor sind die beiden Tensoren sehr mächtig! Deswegen lohnt es sich zu verstehen, wie es funktioniert.

Definition und Beispiele

Kronecker-Delta $\delta_{ \class{blue}{i} \class{red}{j} }$ ist ein kleines griechisches Delta, das entweder 1 oder 0 ist, je nach dem, welchen Wert die beiden Indizes $\class{blue}{i} $ und $\class{red}{j}$ haben. Der maximale Wert, den ein Index annehmen kann, entspricht der betrachteten Dimension. Zum Beispiel im dreidimensionalen Raum nehmen die Indizes $\class{blue}{i}$ und $\class{red}{j}$ die Werte von 1 bis 3 an.

Kronecker-Delta ist gleich 1, wenn $ \class{blue}{i} $ und $\class{red}{j}$ gleich sind. Und Kronecker-Delta ist gleich 0, wenn $\class{blue}{i} $ und $\class{red}{j}$ ungleich sind.

Definition: Kronecker-Delta

$$ \begin{align} \delta_{ \class{blue}{i} \class{red}{j} } ~=~ \begin{cases} 1, &\mbox{} \class{blue}{i}=\class{red}{j} \\
0, &\mbox{} \class{blue}{i} \neq \class{red}{j} \end{cases} \end{align} $$

Beispiele

$ \delta_{11} ~=~ 1 $ - da beide Indizes gleichen sind.
$ \delta_{23} ~=~ 0 $ - da beide Indizes unterschiedlich sind.
$ a \,\delta_{33} ~=~ a \cdot 1 ~=~ a $
$ \delta_{23} \, \delta_{22} ~=~ 0 \cdot 1 ~=~ 0 $

Einstein-Summenkonvention

Damit wir einen Ausdruck wie

$$ \begin{align} \underset{\class{red}{j}~=~1}{\overset{3}{\boxed{+}}} ~ \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, \delta_{\class{red}{j}\class{green}{k}} ~=~ \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{1}} \, \delta_{\class{red}{1}\class{green}{k}} ~+~ \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{2}} \, \delta_{\class{red}{2}\class{green}{k}} ~+~ \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{3}} \, \delta_{\class{red}{3}\class{green}{k}}
\end{align} $$

oder einen Ausdruck wie

$$ \begin{align} \underset{\class{blue}{i}~=~1}{\overset{3}{\boxed{+}}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{blue}{i}} ~=~ a_{\class{blue}{1}}\,b_{\class{blue}{1}} ~+~ a_{\class{blue}{2}}\,b_{\class{blue}{2}} ~+~ a_{\class{blue}{3}}\,b_{\class{blue}{3}} \end{align} $$

kompakt darstellen können, vereinbaren wir folgende Regel:

Einstein-Summenkonvention

Wir lassen das Summenzeichen weg und denken aber dran: Wenn in einem Ausdruck zwei gleiche Indizes auftauchen, dann wird über diesen Index summiert.

Beispiel

Im folgenden Skalarprodukt wird über $\class{blue}{i}$ summiert:

Nach der Summenkonvention lassen wir das Summenzeichen weg und denken im Hinterkopf, dass über $\class{blue}{i}$ summiert wird:

$$ \begin{align} a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{blue}{i}} ~=~ a_{\class{blue}{1}}\,b_{\class{blue}{1}} ~+~ a_{\class{blue}{2}}\,b_{\class{blue}{2}} ~+~ a_{\class{blue}{3}}\,b_{\class{blue}{3}}
\end{align} $$

Ein weiterer Vorteil der Summenkonvention (neben Kompaktheit) ist die formale Kommutativität. Zum Beispiel darfst du den Ausdruck $ \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} \, s_{\class{red}{j}} \, \delta_{\class{green}{k}\class{violet}{m}} $ nach deinem Wunsch in einer anderen Reihenfolge aufschreiben, zum Beispiel so: $ \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, \delta_{\class{green}{k}\class{violet}{m}} \, \, s_{\class{red}{j}} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} $. Dadurch könntest du besser sehen, was gekürzt oder weiter zusammengefasst werden kann.

Aber Achtung! Es gibt jedoch Ausnahmen. Zum Beispiel beim Differentialoperator $ \partial_{\class{red}{j}} $. Du darfst nicht $f_{\class{red}{j}}$ vor $\partial_{\class{red}{j}}$ ziehen, weil $\partial_{\class{red}{j}}$ auf $f_{\class{red}{j}}$ wirkt:

$$ \begin{align} f_{\class{red}{j}} \, \partial_{\class{red}{j}} ~\neq~ \partial_{\class{red}{j}} \, f_{\class{red}{j}}
\end{align} $$

Du darfst nicht einfach etwas vor die Ableitung ziehen, was abgeleitet werden soll. Bei Operatoren in Indexnotation solltest du also aufpassen.

4 Rechenregeln für Kronecker-Delta

Lass uns vier nützliche Rechenregeln mit Kronecker-Delta anschauen, die du immer dann einsetzen kannst, wenn über doppelte Indizes summiert wird.

Rechenregel #1

Indizes $ \class{blue}{i} $ und $ \class{red}{j} $ dürfen vertauscht werden:

$$ \begin{align} \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}} ~=~ \delta_{\class{red}{j}\class{blue}{i}}

\end{align} $$

Begründung: Nach der Definition des Kronecker-Delta, wenn die beiden Indizes $\class{blue}{i}$ and $\class{red}{j}$ gleich sind, ist sowohl $ \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}} = 1 $ als auch $\delta_{\class{red}{j}\class{blue}{i}} = 1 $, unabhängig davon, wie die Indizes angeordnet sind. Das gilt auch für den Fall, wenn die Indizes ungleich sind. Dann tragen sowohl $ \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}} $ als auch $\delta_{\class{red}{j}\class{blue}{i}} $ den Wert 0. Kronecker-Delta ist also symmetrisch!

Rechenregel #2

Enthält das Produkt zweier oder mehrerer Kronecker-Deltas einen Summationsindex $ \class{red}{j} $, dann lässt sich das Produkt zusammenfassen, wobei der Index $ \class{red}{j} $ verschwindet:

$$ \begin{align} \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, \delta_{\class{red}{j}\class{green}{k}} ~=~ \delta_{\class{blue}{i}\class{green}{k}}
\end{align} $$

Begründung: Schauen wir uns beispielhaft einen möglichen Fall an. Nehmen wir mal an, die Indizes $ \class{blue}{i} $ und $ \class{red}{j} $ sind gleich: $ \class{blue}{i} = \class{red}{j} $ und die Indizes $ \class{red}{j} $ und $ \class{green}{k} $ sind ungleich: $ \class{red}{j} \neq \class{green}{k} $. Dann folgt aus dieser Gleichung und Ungleichung, dass auch $ \class{blue}{i} $ und $ \class{green}{k} $ ungleich sein müssen: $ \class{blue}{i} \neq \class{green}{k} $. Nach Definition 1 folgt dann für das Produkt zweier Deltas mit diesen Indizes: $ \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, \delta_{\class{red}{j}\class{green}{k}} ~=~ 1 * 0 ~=~ 0 $. Du kannst aber genauso diese Gleichung kompakter schreiben: $ \delta_{\class{blue}{i}\class{green}{k}} ~=~ 0 $, weil sie ja wegen $ \class{blue}{i} \neq \class{green}{k} $ genauso Null ergibt. Wir sagen: Der Index $\class{red}{j}$ wird kontrahiert.

Beispiel: Rechenregel #2 anwenden

$$ \begin{align} \delta_{\class{green}{k}\class{violet}{m}} \, \delta_{\class{violet}{m}n} ~=~ \delta_{\class{green}{k}n} \end{align} $$

Kontrahiere hier den Summationsindex $\class{violet}{m}$.

Ist die Reihenfolge der Kontraktion wichtig?

$$ \begin{align} \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, \delta_{\class{green}{k}\class{red}{j}} \, \delta_{\class{blue}{i}n} ~=~ \delta_{\class{green}{k}n} \end{align} $$

Hier hast du zwei Summationsindizes $i$ und $\class{red}{j}$. Du kannst hier also zwei mal die Kontraktionsregel anwenden.

1. möglicher Weg: Nach der ersten Regel weißt du, dass Kronecker-Delta symmetrisch ist. Also kannst du $\class{green}{k}$ und $\class{red}{j}$ in $\delta_{\class{green}{k}\class{red}{j}}$ vertauschen und den Summationsindex $\class{red}{j}$ kontrahieren. Dann bekommst du: $\delta_{\class{blue}{i}\class{green}{k}} \, \delta_{\class{blue}{i}n}$. Anschließend kontrahierst du den Index $\class{blue}{i}$. Der Ausdruck vereinfacht sich damit zu: $ \delta_{\class{green}{k}n} $.

2. möglicher Weg: Vertausche am besten zuerst das erste Delta mit dem zweiten Delta: $ \delta_{\class{green}{k}\class{red}{j}} \, \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, \delta_{\class{blue}{i}n} $. Kontrahiere den Summationsindex $\class{blue}{i}$, dann bekommst du: $ \delta_{\class{green}{k}\class{red}{j}} \, \delta_{\class{red}{j}n} $. Kontrahiere anschließend den Index $\class{red}{j}$ und du bekommst: $ \delta_{\class{green}{k}n} $.

Wie du siehst: Die Reihenfolge der Kontraktion spielt keine Rolle. In beiden Fällen bekommst du das gleiche Ergebnis!

Rechenregel #3

Kommt der Index in $ a_{\class{red}{j}} $ auch in Kronecker-Delta $ \delta_{\class{red}{j}\class{green}{k}} $ vor, dann verschwindet das Kronecker-Delta und der Faktor $ a_{\class{green}{k}} $ bekommt den anderen Index $\class{green}{k}$:

$$ \begin{align} a_{\class{red}{j}} \, \delta_{\class{red}{j}\class{green}{k}} ~=~ a_{\class{green}{k}} \end{align} $$

Begründung: Das Produkt 11 ist nur dann nicht Null, wenn $ \class{red}{j} = \class{green}{k} $ ist. Diese Regel ist im Grunde ein weiterer Fall der Index-Kontraktion. Diese Regel sagt dir nur, dass du Summationsindizes kontrahieren kannst, die nicht unbedingt von einem Kronecker-Delta getragen werden müssen. Du kannst also auch Summationsindizes kontrahieren, die in beliebigen Ausdrücken vorkommen.

Beispiel: Rechenregel #3 anwenden

$$ \begin{align} \Gamma_{\class{red}{j}\class{violet}{m}\class{green}{k}} \, \delta_{n\class{green}{k}} ~=~ \Gamma_{\class{red}{j}\class{violet}{m}n}

\end{align} $$

Rechenregel #4

Wenn $ \class{red}{j} $ die Werte von 1 bis $n$ annimmt, dann gilt:

$$ \begin{align} \delta_{\class{red}{j}\class{red}{j}} ~=~ n \end{align} $$

Begründung: Hier tritt der Index $\class{red}{j}$ doppelt auf, das heißt, es wird nach der Summenkonvention über $\class{red}{j}$ summiert. $\delta_{\class{red}{11}}$ + $\delta_{\class{red}{22}}$ + $\delta_{\class{red}{33}}$ und so weiter, bis $\delta_{\class{red}{nn}}$. Da in jedem Kronecker-Delta die Indizes-Werte gleich sind, ergibt jedes Kronecker-Delta nach seiner Definition eine Eins:

$$ \begin{align} \delta_{\class{red}{j}\class{red}{j}} &~=~ \delta_{\class{red}{11}} ~+~ \delta_{\class{red}{22}} ~+~...~+~ \delta_{\class{red}{nn}} \\\\
&~=~ 1 ~+~ 1 ~+~...~+~ 1 \\\\
& ~=~ n \end{align} $$

Beispiel in 3d: Rechenregel #4 anwenden

Wenn $ \class{red}{j} $ die Werte von 1 bis $3$ annimt, dann gilt:

$$ \begin{align} \delta_{\class{red}{j}\class{red}{j}} &~=~ \delta_{\class{red}{11}} ~+~ \delta_{\class{red}{22}} ~+~ \delta_{\class{red}{33}} \\\\
&~=~ 1 ~+~ 1 ~+~ 1 \\\\
& ~=~ 3 \end{align} $$

Die 3 häufigsten Fehler, die du vermeiden solltest

Wenn Du Summenkonvention und die obigen Rechenregeln benutzt, musst Du außerdem auf die richtige Notation achten: Summiert wird dann, wenn ein Index genau doppelt auftritt und zwar auf einer Seite der Gleichung.

Fehler #1
Anker zu dieser Formel $$ \begin{align} v_{\class{blue}{i}} ~=~ b_{\class{blue}{i}} \, c_{\class{blue}{i}} \end{align} $$
Warum? Auf der rechten Seite der Gleichung 16 wird zwar über $ \class{blue}{i} $ summiert, auf der linken Seite steht aber auch der Summationsindex $\class{blue}{i}$ - das ergibt keinen Sinn... Ein Summationsindex $\class{blue}{i}$ darf nur auf einer Seite der Gleichung auftauchen! Um 16 zu korrigieren, kannst du den Summationsindex zu $ \class{red}{j} $ umbenennen.
Der nachfolgende Fehler ist zwar nicht falsch, aber sehr fehleranfällig:
Fehler #2
Anker zu dieser Formel $$ \begin{align} \delta_{\class{red}{j}\class{green}{k}} \, v_{\class{green}{k}} ~=~ \delta_{\class{violet}{m}\class{green}{k}} \, r_{\class{green}{k}}
\end{align} $$
Warum? Weil der Summationsindex $ \class{green}{k} $ auf beiden Seiten der Gleichung erscheint. Es wird also auf beiden Seiten über $\class{green}{k}$ summiert. Etwas sauberer wäre es einen Summationsindex auf einer Seite der Gleichung umzubennen.
Fehler #3
Anker zu dieser Formel $$ \begin{align} \delta_{\class{blue}{i}1} \, \delta_{1\class{green}{k}} ~=~ \delta_{\class{blue}{i}\class{green}{k}}
\end{align} $$
Warum? Weil hier nicht über einen Index summiert wird, sondern es wird versucht über eine gewöhnliche Zahl zu summieren, als wäre diese Zahl ein Summationsindex. Zahl "1" tritt zwar doppelt auf, ist aber kein variabler Index, über den du summieren kannst. Deshalb gilt hier die Summenkonvention nicht.

Skalarprodukt in Indexnotation

Lass uns jetzt das Skalarprodukt in Indexnotation mit dem Kronecker-Delta ausdrücken. Diese Darstellung wird dir in Zukunft helfen, komplizierte Vektorgleichungen leichter umzuformen und zu vereinfachen. Betrachten wir einen dreidimensionalen Vektor mit den Komponenten $x$, $y$ und $z$:

$$ \begin{align} \boldsymbol{v} ~=~ \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix} \end{align} $$

Du kannst diesen Vektor $ \boldsymbol{v} $ in einer Orthonormalbasis folgendermaßen darstellen:

$$ \begin{align} \boldsymbol{v} ~=~ x \, \boldsymbol{\hat{e}}_x ~+~ y \, \boldsymbol{\hat{e}}_y ~+~ z \, \boldsymbol{\hat{e}}_z

\end{align} $$

Illustration bekommen

Drei Basisvektoren spannen ein orthogonales Koordinatensystem auf.

Hierbei sind $\boldsymbol{\hat{e}}_x$, $\boldsymbol{\hat{e}}_y$ und $\boldsymbol{\hat{e}}_z$ drei Basisvektoren, die orthogonal zueinander sind und normiert sind. In diesem Fall spannen sie ein orthogonales dreidimensionales Koordinatensystem auf.

Das Kronecker-Delta braucht Vektoren, die in Indexnotation geschrieben sind. Deshalb schreiben wir den Vektor $ \boldsymbol{v} $ in Indexnotation auf. Hierbei bezeichnen wir die Vektorkomponenten nicht mit unterschiedlichen Buchstaben $x,y,z$, sondern wir wählen einen Buchstaben aus (hier eignet sich der Buchstabe $ v $) und nummerieren dann die Vektorkomponenten und die Basisvektoren durch. Der Vektor sieht dann folgendermaßen aus:

$$ \begin{align} \boldsymbol{v} &~=~ \left( v_1,v_2,v_3\right) \\\\
&~=~ v_1 \, \boldsymbol{\hat{e}}_1 ~+~ v_2 \, \boldsymbol{\hat{e}}_2 ~+~ v_3 \, \boldsymbol{\hat{e}}_3 \end{align} $$

Einer der Vorteile dieser Durchnummerierung ist, dass dir auf diese Weise die Buchstaben für die Vektorkomponenten niemals ausgehen werden. Stell dir einfach einen fünfzigdimensionalen Vektor vor. So viele Buchstaben gibt es nicht mal, um jeder Vektorkomponente einen einzigartigen Buchstaben zuzuweisen.

Ein weiterer Vorteil ist, dass du das Summenzeichen einsetzen kannst, um die Basisdarstellung 20 kompakter darzustellen. Noch kompakter wird es, wenn wir nach der Summenkonvention das dicke Summanzeichen weglassen. Schau mal, wie kompakt der Vektor $\boldsymbol{v}$ in einer Basis dargestellt werden kann, wenn wir die Komponenten durchnummerieren und Summenkonvention benutzen:

Vektor in Indexnotation

$$ \begin{align} \boldsymbol{v} ~=~ v_{\class{red}{j}} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{red}{j}} \end{align} $$

Hierbei wird, wie du weißt, über Index $\class{red}{j}$ summiert. Ob du den Index mit $\class{red}{j}$, $\class{blue}{i}$, $\class{green}{k}$ oder mit irgendeinem anderen Buchstaben bezeichnest, bleibt natürlich dir überlassen.

Da du nun jetzt weißt, wie ein Vektor in Indexnotation dargestellt wird, können wir auf analoge Weise das Skalarprodukt $ \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} $ zweier Vektoren $ \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3) $ und $ \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)$ in Indexnotation schreiben. Dazu benutzen wir die eben kennengelernte Indexnotation 22 eines Vektors:

$$ \begin{align} \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} ~=~ a_{\class{blue}{i}} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} ~\cdot~ b_{\class{red}{j}} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{red}{j}} \end{align} $$

Wie du bereits weißt, darfst du die Faktoren in 23 wie du möchtest sortieren. In Indexnotation treten nur Multiplikationen auf, deshalb gilt das Kommutativgesetz. Das nutzen wir mal aus und setzen Klammern um die Basisvektoren herum, um ihre Wichtigkeit bei der Einführung des Kronecker-Deltas zu betonen:

$$ \begin{align} \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} ~=~ a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, \left( \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} ~\cdot~ \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{red}{j}} \right) \end{align} $$

Die Basisvektoren $\boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}}$ und $\boldsymbol{\hat{e}}_{\class{red}{j}}$ sind orthonormal (also paarweise orthogonal und normiert). Erinnere dich mal daran, was die Eigenschaft orthonormiert zu sein, für zwei Vektoren bedeutet. Ihr Skalarprodukt $ \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} ~\cdot~ \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{red}{j}} $ ergibt 1, wenn $\class{blue}{i}$ und $\class{red}{j}$ gleich sind. In diesem Fall handelt es sich um denselben Vektor. Oder das Skalarprodukt ergibt 0, wenn $\class{blue}{i}$ und $\class{red}{j}$ ungleich sind. In diesem Fall sind es zwei verschiedene Basisvektoren und sie liegen orthogonal zueinander:

$$ \begin{align} \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} ~\cdot~ \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{red}{j}} ~=~ \begin{cases} 1, &\mbox{} \class{blue}{i}=\class{red}{j} \\
0, &\mbox{} \class{blue}{i} \neq \class{red}{j} \end{cases} \end{align} $$

Kommt dir diese Eigenschaft nicht bekannt vor? Das Skalarprodukt von zwei orthonormierten Vektoren verhält sich genau wie die Definition von Kronecker-Delta!

$$ \begin{align} \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}} ~=~ \begin{cases} 1, &\mbox{} \class{blue}{i}=\class{red}{j} \\
0, &\mbox{} \class{blue}{i} \neq \class{red}{j} \end{cases} \end{align} $$

Deshalb darfst du das Skalarprodukt zwischen zwei Basisvektoren mit dem Kronecker-Delta ersetzen:

$$ \begin{align} \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} ~\cdot~ \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{red}{j}} ~=~ \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}} \end{align} $$

Damit können wir das Skalarprodukt 27 mittels Kronecker-Delta schreiben:

Skalarprodukt mittels Kronecker-Delta

$$ \begin{align} \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} ~=~ a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}}

\end{align} $$

Wenn du dich an die dritte Kontraktionsregel 11 erinnerst, kannst du hier einen der der Summationsindizes $\class{blue}{i}$ oder $\class{red}{j}$ eliminieren. Lass uns zum Beispiel das $j$ eliminieren:

$$ \begin{align} \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} ~=~ a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{blue}{i}} \end{align} $$

Und das ist genau die Definition des Skalarprodukts, bei dem die Vektorkomponenten komponentenweise summiert werden:

$$ \begin{align} \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} ~=~ a_{\class{blue}{1}} \, b_{\class{blue}{1}} ~+~ a_{\class{blue}{2}} \, b_{\class{blue}{2}} ~+~ a_{\class{blue}{3}} \, b_{\class{blue}{3}}
\end{align} $$

Check: Summe ausschreiben

Lass uns zur Übung die Doppelsumme im Skalarprodukt 28 ausschreiben, um besser zu verinnerlichen, was hinter diesem Ausdruck steckt. Hier wird über $\class{blue}{i}$ und $\class{red}{j}$ summiert. Anders gesagt, wir müssen alle möglichen Kombinationen der Indizes bilden und die Ausdrücke aufsummieren. Am einfachsten geht es, wenn du als erstes $\class{blue}{i} = 1$ setzt und den Index $\class{red}{j}$ von 1 bis 3 durchgehst. Dann setzt du $\class{blue}{i} = 2$ und gehst genauso vor. Und dann machst du das gleiche nochmal für $\class{blue}{i}=3$:

$$ \begin{align} a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}} &~=~ a_1 \, b_1 \, \delta_{11} ~+~ a_1 \, b_2 \, \delta_{12} ~+~ a_1 \, b_3 \, \delta_{13} \\\\
&~+~ a_2 \, b_1 \, \delta_{21} ~+~ a_2 \, b_2 \, \delta_{22} ~+~ a_2 \, b_3 \, \delta_{23} \\\\
& ~+~ a_3 \, b_1 \, \delta_{31} ~+~ a_3 \, b_2 \, \delta_{32} ~+~ a_3 \, b_3 \, \delta_{33} \end{align} $$

Am Ende bekommst du 9 Summanden. Aus diesen 9 Summanden sind nur 3 ungleich Null, weil hier die Indizes beim Kronecker-Delta gleich sind. Bei den übrigen 6 Summanden sind die Indizes beim Kronecker-Delta ungleich, deshalb fallen diese Summanden weg:

$$ \begin{align} a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{blue}{i}} ~=~ a_1 \, b_1 \, \delta_{11} ~+~ a_2 \, b_2 \, \delta_{22} ~+~ a_3 \, b_3 \, \delta_{33} \end{align} $$

Dabei sind $ \delta_{11} $ $ \delta_{22} $ und $ \delta_{33} $ gleich 1. Und das Ergebnis ist genau die Definition des Skalarprodukts, bei dem du die Vektorkomponenten miteinander multiplizierst und zusammenaddierst:

$$ \begin{align} a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{blue}{i}} ~=~ a_1 \, b_1 ~+~ a_2 \, b_2 ~+~ a_3 \, b_3 \end{align} $$

Beispiel: Kronecker-Delta in der Quantenmechanik

Um ein Beispiel aus der Quantenmechanik zu nehmen, wo du dem Kronecker-Delta begegnen wirst. Die Spinzustände $|1\rangle$ (spin up) und $|2\rangle$ (spin down) sind orthonormal zueinander, das heißt sie erfüllen folgende Bedingungen:

$$ \begin{align} \langle 1 | 2\rangle ~=~ 0, ~~~ \langle 2 | 1 \rangle ~=~ 0
\end{align} $$

$$ \begin{align} \langle 1 | 1 \rangle ~=~ 1, ~~~ \langle 2 | 2 \rangle ~=~ 1 \end{align} $$

Diese vier Gleichungen können mit dem Kronecker-Delta $\delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}}$ zu einer einzigen Gleichung zusammengefasst werden:

$$ \begin{align} \langle \class{blue}{i} | \class{red}{j} \rangle ~=~ \delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}} \end{align} $$

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