Level 3
Levi-Civita-Tensor: Kreuzprodukt & Spatprodukt in Indexnotation
Neben dem Kronecker-Delta \(\delta_{ij}\) ist der Levi-Civita-Tensor \(\varepsilon_{ijk}\) ein sehr häufig auftretender Tensor in der theoretischen Physik und zwar in allen Teilgebieten der Physik, angefangen bei der klassischen Mechanik bis hin zur Quantenfeldtheorie. Deshalb ist es wichtig zu verstehen, wie dieser Tensor funktioniert.
Mit dem Levi-Civita-Tensor, der manchmal auch Epsilon-Tensor genannt wird, kannst du beispielsweise...
- Komplizierte Vektorgleichungen, wie mehrfach auftretende Kreuzprodukte, leicht umformen und vereinfachen
- Gleichungen kompakter darstellen
Grundsätzlich wollen wir mithilfe des Levi-Civita-Tensors, Vektorgleichungen in Indexnotation schreiben, um sie leichter verarzten zu können.
Levi-Civita-Tensor wird mit einem kleinen griechischen Epsilon \(\varepsilon\) notiert, der drei Indizes \(i\), \(j\) und \(k\) trägt: \[ \varepsilon_{ijk} \]Wie du die Indizes nennst, bleibt natürlich dir überlassen. Die Indizes nehmen unterschiedliche Werte an, je nach betrachteter Dimension. Wenn du mit dreidimensionalen Vektoren arbeitest, dann brauchst du einen Levi-Civita-Tensor, dessen Indizes \(i\), \(j\) und \(k\) die Werte von 1 bis 3 annehmen: \[ i, j, k ~\in~ \{1,2,3\} \]
Der Levi-Civita-Tensor \(\varepsilon_{ijk}\) kann drei verschiedene Werte annehmen: +1, 0 oder -1. Der Tensor nimmt nur diese drei Werte an - keine anderen! Wann nimmt er welchen Wert an? Das hängt davon ab, wie die Indizes \(ijk\), in Bezug auf die ursprüngliche Reihenfolge, angeordnet sind. Du hast also den Tensor \(\varepsilon_{ijk}\) und nun kannst du die Indizes untereinander permutieren (vertauschen).
Gerade und ungerade Permutationen
Bevor du die Definition des Levi-Civita-Tensors verstehen kannst, musst du zuerst diese beiden Permutationen verstehen. Schauen wir uns sie deshalb kurz mal an.
Wir unterscheiden zwei Arten der Permutation
- eine gerade Permutation
- eine ungerade Permutation
- Eine gerade Permutation von (\(i,j,k\)) im Uhrzeigersinn ergibt (\(k,i,j\)). Siehst du, wie hier die Indizes rotiert wurden?
- Eine gerade Permutation von (\(k,i,j\)) im Uhrzeigersinn ergibt (\(j,k,i\)).
- Eine gerade Permutation von (\(j,k,i\)) würde wieder (\(i,j,k\)) ergeben. Denk dran, dass auch eine Drehung der Indizes gegen den Uhrzeigersinn eine gerade Permutation ist.
- Eine ungerade Vertauschung von (\(i,j,k\)) ist (\(j,i,k\)). Hier wurden \(i\) und \(j\) miteinander vertauscht, während \(k\) an der gleichen Stelle geblieben ist.
- Eine weitere ungerade Permutation von (\(i,j,k\)) ist (\(k,j,i\)). Hier wurden \(i\) und \(k\) vertauscht, während \(j\) an der gleichen Stelle geblieben ist.
- Und die letzte mögliche ungerade Permutation von (\(i,j,k\)) ist (\(i,k,j\)). Hier wurde \(i\) stehen gelassen, während \(k\) und \(j\) miteinander vertauscht wurden.
Definition und Beispiele
Mit diesem Wissen bist du in der Lage die Definition des Levi-Civita-Tensors zu verstehen. Die Permutationen beziehen sich auf eine Startposition der Indizes. Hier nehmen wir \((ijk) = (123) \) als Startposition an. Dann verhält sich Levi-Civita-Tensor folgendermaßen:
- Werden die drei unterschiedlichen Indizes \(i\), \(j\) und \(k\), in Bezug auf die Startposition \((123) \), gerade permutiert, so ist das resultierende Epsilon gleich 1.
- Werden die drei unterschiedlichen Indizes \(i\), \(j\) und \(k\), in Bezug auf die Startposition \((123)\), ungerade permutiert, so ist das resultierende Epsilon gleich -1.
- Sobald mindestens zwei der Indizes gleich sind, so ist das resultierende Epsilon gleich 0.
- \(\varepsilon_{112} ~=~ 0\), da die ersten beiden Indizes gleich sind.
- \(\varepsilon_{313} ~=~ 0\), da der erste und dritte Index gleich sind.
- \(\varepsilon_{222} ~=~ 0\), da alle drei Indizes gleich sind.
- \(\varepsilon_{123} + \varepsilon_{213} ~=~ 1 + (-1) ~=~ 0\), da beim ersten Epsilon die Indizes in der Startposition sind und die Indizes des zweiten Epsilons eine ungerade Permutation davon sind.
- \(\varepsilon_{123} \, \varepsilon_{231} ~=~ 1 \cdot 1 ~=~ 1\), da beim ersten Epsilon die Indizes in der Startposition sind und die Indizes des zweiten Epsilons gegen den Uhrzeigersinn gerade permutiert wurden.
Kreuzprodukt in Indexnotation
Du könntest dich nun fragen, warum diese Definition überhaupt sinnvoll ist. Nun, der Vorteil der Definition 1
des Levi-Civita-Tensors ist, dass wir damit das Kreuzprodukt zweier Vektoren \(\boldsymbol{a}\) und \(\boldsymbol{b}\) in Indexnotation schreiben können, weil das Epsilon genau die Eigenschaften des Kreuzprodukts repräsentiert!
Betrachte das Kreuzprodukt \( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \) zweier Vektoren \( \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)\) und \( \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3) \): 2\[ \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} ~=~ \begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix} \]
Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein neuer Vektor, der senkrecht auf \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b} \) steht. Diese Eigenschaft des Kreuzprodukts ist sehr nützlich, zum Beispiel bei der Beschreibung der Lorentzkraft, wo das Kreuzprodukt \(\boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B}\) zwischen der Geschwindigkeit \( \boldsymbol{v} \) der Ladung und des externen Magnetfelds \( \boldsymbol{B} \) relevant ist.
Wir können das Kreuzprodukt 2
auch in einer beliebigen Basis darstellen. Wählen wir zum Beispiel die übliche orthogonale Basis, mit den normierten und zueinander senkrecht stehenden Basisvektoren \( \boldsymbol{\hat{e}}_1 \), \( \boldsymbol{\hat{e}}_2 \) und \( \boldsymbol{\hat{e}}_3 \), die den dreidimensionalen Raum aufspannen:3\begin{align}
\boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} &~=~ (a_2b_3-a_3b_2) \, \boldsymbol{\hat e}_1 \\\\
&~+~ (a_3b_1-a_1b_3) \, \boldsymbol{\hat e}_2 \\\\
&~+~ (a_1b_2-a_2b_1) \, \boldsymbol{\hat e}_3
\end{align}
Das Kreuzprodukt 3
, dargestellt in der orthogonalen Basis, können wir in Indexnotation folgendermaßen schreiben:
Schau dir mal die Indizes genau an. Alle drei Indizes \(i\), \(j\) und \(k\) kommen doppelt vor. Nach der Einstein-Summenkonvention musst du also über alle drei Indizes summieren. Nach der Einstein-Summenvkonvention lassen wir jedoch die drei Summenzeichen \(\boxed{+}\) weg, um die Gleichungen kompakt zu halten:5\[ \underset{i=1}{\overset{3}{\boxed{+}}} \, \underset{j=1}{\overset{3}{\boxed{+}}} \, \underset{k=1}{\overset{3}{\boxed{+}}} \, \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, a_j \, b_k ~\rightarrow~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, a_j \, b_k \]
In 4
haben wir alle drei Komponenten des Kreuzprodukts in einer kompakten Gleichung notiert. Doch das Entscheidende ist hier nicht die Kompaktheit, sondern die durch die Indexnotation entstandene Kommutativität. Du darfst nun die drei Faktoren in 4
untereinander vertauschen, wie du möchtest. Bei der Darstellung 3
kannst du das, wegen den ganzen Minus- und Pluszeichen, natürlich nicht. Anders gesagt: Wir haben mithilfe des Epsilon-Tensors alle Additionen und Subtraktionen der Ausdrücke in 3
eliminiert und haben jetzt nur noch Multiplikation der Ausdrücke. Und Multiplikation ist kommutativ!
Wir können auch die Komponenten 2
des Kreuzprodukts in Indexnotation schreiben, ohne irgendeine Basis miteinzubeziehen.
In der Komponentenschreibweise betrachten wir eine Komponente des Kreuzprodukts, die so allgemein notiert ist, dass sie stellvertretend für alle drei Komponenten steht. Dazu versehen wir das Kreuzprodukt mit einem Index \( i \), also etwa so: \( \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_i \). Damit ist gemeint: Du betrachtest die \( i \)-te Komponente des Kreuzprodukts - also die erste, zweite oder dritte Komponente. Der Index \( i \) steht stellvertretend für 1, 2 oder 3.
Denk dran, dass die Komponente \( \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_i \) eines Vektors, eine reine Zahl ist, bei der der Basisvektor \( \boldsymbol{\hat{e}}_i \) nicht auftaucht. In Indexnotation lautet eine Komponente des Kreuzprodukts folgendermaßen:
Ob Du mit dem vollständigen Kreuzprodukt oder mit nur einer Komponente arbeiten möchtest, bleibt Dir überlassen!
Dazu schreibst Du statt dem allgemein gehaltenen Index \( i \) die Zahl 1, die die 1. Komponente des Kreuzprodukts repräsentiert:7\[ \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_1 ~=~ \varepsilon_{1jk} \, a_j \, b_k \]
Du hast also jetzt die Komponente, die Du ausrechnen möchtest festgelegt. Jetzt musst Du über \( j \) und \( k \) summieren. Um alle Fälle durchzugehen, habe ich \( j = 1 \) gesetzt und alle Fälle für \( k =1,2,3 \) durchgegangen. Dann habe ich \( j = 2 \) gesetzt und alle Fälle für \( k =1,2,3 \) durchgegangen und analog für \( j = 3 \). Insgesamt müssen 3*3 = 9 Summanden herauskommen: 7.1\begin{align} \varepsilon_{1jk} \, a_j \, b_k &~=~ \varepsilon_{111} \, a_1 \, b_1 ~+~ \varepsilon_{112} \, a_1 \, b_2 ~+~ \varepsilon_{113} \, a_1 \, b_3 \\\\ &~+~ v_1 \, \varepsilon_{121} \, a_2 \, b_1 ~+~ \varepsilon_{122} \, a_2 \, b_2 ~+~ \varepsilon_{123} \, a_2 \, b_3 \\\\ &~+~ \varepsilon_{131} \, a_3 \, b_1 ~+~ \varepsilon_{132} \, a_3 \, b_2 ~+~ \varepsilon_{133} \, a_3 \, b_3 \end{align}
Nach Definition des Levi-Civita-Tensors, sind von neun Termen nur zwei ungleich Null und zwar die mit unterschiedlichen Indizes:7.2\[ \varepsilon_{1jk} \, a_j \, b_k ~=~ \varepsilon_{123} \, a_2 \, b_3 ~+~ \varepsilon_{132} \, a_3 \, b_2 \]
Dabei ist \( \varepsilon_{123} ~= 1 \), weil es eine gerade Permutation ist. Und \( \varepsilon_{132} ~= -1 \), weil es eine ungerade Permutation ist. Einsetzen ergibt: 7.3\[ \varepsilon_{1jk} \, a_j \, b_k ~=~ a_2 \, b_3 ~-~ \, a_3 \, b_2 \]
Analog gehtst Du mit der 2. und 3. Komponenten vor und erhälst so alle drei Komponenten des Ergebnisvektors des Kreuzprodukts.
Spatprodukt in Indexnotation
Mit dem Levi-Civita-Tensor lässt sich bei Spatprodukt zeigen, dass: 8 \[ \boldsymbol{a} \cdot \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) ~=~ \boldsymbol{c} \cdot \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right) ~=~ \boldsymbol{b} \cdot \left( \boldsymbol{c} ~\times~ \boldsymbol{a} \right) \] Dabei muss Dir die zyklische Permutation der drei Vektoren auffallen!
Wie kannst Du das Spatprodukt in Indexnotation beweisen?
Starte mit dem linken Seite der Gleichung. Da es sich um ein Skalarprodukt zwischen \( \boldsymbol{a} \) und \( \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) \) handelt, versiehst Du sowohl das Kreuzprodukt als auch den Vektor \( \boldsymbol{a} \) mit einem - gleichen - Index, z.B. \( i \), über den - nach der Einsteinschen Summenkonvention - summiert wird: 9 \[ a_i \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_i \]
Jetzt hast Du ein gewöhnliches Produkt von zwei Zahlen: \( a_i \) und \( \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_i \), weshalb das Skalarprodukt-Punkt weg ist.
Du hast außerdem vorher gelernt, dass die \( i \)-te Komponente des Kreuzprodukts sich mit Hilfe des Levi-Civita-Tensors umschreiben lässt. Benutze also die Definition obige: 10 \[ a_i \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_i ~=~ a_i \, \varepsilon_{ijk} \, b_j \, c_k \]
Jetzt sind es alles reine Zahlen und es gelten übliche Rechengesetze, unter anderem das Kommutativgesetzt. Vertausche die Faktoren soviel Du willst! Packe beispielsweise den Levi-Civita-Tensor an den Anfang: 11 \[ a_i \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_i ~=~ \varepsilon_{ijk} \, a_i \, b_j \, c_k \]
Um die obige Idenität des Spatprodukts zu zeigen, nutze die Eigenschaft des Levi-Civita-Tensors aus, dass bei gerader Permutation sich nichts verändert. Das heißt: eine gerade Vertauschung der Indizes ändert nichts an der Gleichheit! Bei ungerader Permutation dagegen würde sich das Vorzeichen verändern.
Für die erste gerade Permutation 'rotierst' Du Indizes einmal im Kreis: \( ijk ~\rightarrow~ kij \). Da sich am Ergebnis nichts ändert, sind die permutierte und nicht-permutierte Versionen gleich: 12 \[ \varepsilon_{ijk} \, a_i \, b_j \, c_k ~=~ \varepsilon_{kij} \, a_i \, b_j \, c_k \]
Nächste gerade Permutation (d.h. nochmal rotieren) der Indizes \( kij ~\rightarrow~ jki \), ergibt einen weiteren Term, der den anderen gleicht: 13 \[ \varepsilon_{ijk} \, a_i \, b_j \, c_k ~=~ \varepsilon_{kij} \, a_i \, b_j \, c_k ~=~ \varepsilon_{jki} \, a_i \, b_j \, c_k \]
Würdest Du die Indizes ein drittes Mal rotieren, dann kommst Du zum Anfangszustand \( jki ~\rightarrow~ ijk \)! Es bringt also nichts, noch ein weiteres Mal eine gerade Vertauschung durchzuführen. Schreibe am besten das Ganze in der "passenderen" Reihenfolge auf (Du kannst ja jetzt alle Faktoren vertauschen wie Du willst): 14 \[ \varepsilon_{ijk} \, a_i \, b_j \, c_k ~=~ \varepsilon_{kij} \, c_k \, a_i \, b_j ~=~ \varepsilon_{jki} \, b_j \, c_k \, a_i \]
Schreibst Du die drei Seiten wieder als Kreuzprodukt - mithilfe der Levi-Civita-Tensor-Definition - auf, dann bekommst Du: 15 \[ a_i \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_i ~=~ c_k \, \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_k ~=~ b_j \, \left( \boldsymbol{c} ~\times~ \boldsymbol{a} \right)_j \]