Levi-Civita-Symbol: Kreuzprodukt & Spatprodukt in Indexnotation

Gerade und ungerade Permutationen

Bevor du die Definition des Levi-Civita-Symbols verstehen kannst, musst du zuerst diese beiden Permutationen verstehen. Schauen wir uns sie deshalb kurz mal an.

Wir unterscheiden zwei Arten der Permutation

• eine gerade Permutation
• eine ungerade Permutation

Definition und Beispiele

Mit diesem Wissen bist du in der Lage die Definition des Levi-Civita-Tensors zu verstehen. Die Permutationen beziehen sich auf eine Startposition der Indizes. Hier nehmen wir \((\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}) = (123) \) als Startposition an. Dann verhält sich Levi-Civita-Tensor folgendermaßen:

• Werden die drei unterschiedlichen Indizes \(\class{blue}{i}\), \(\class{red}{j}\) und \(\class{green}{k}\), in Bezug auf die Startposition \((123) \), gerade permutiert, so ist das resultierende Epsilon gleich 1.
• Werden die drei unterschiedlichen Indizes \(\class{blue}{i}\), \(\class{red}{j}\) und \(\class{green}{k}\), in Bezug auf die Startposition \((123)\), ungerade permutiert, so ist das resultierende Epsilon gleich -1.
• Sobald mindestens zwei der Indizes gleich sind, so ist das resultierende Epsilon gleich 0.

Kreuzprodukt in Indexnotation

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Du könntest dich nun fragen, warum diese Definition überhaupt sinnvoll ist. Nun, der Vorteil der Definition 1 des Levi-Civita-Symbols ist, dass wir damit das Kreuzprodukt zweier Vektoren \(\boldsymbol{a}\) und \(\boldsymbol{b}\) in Indexnotation schreiben können, weil das Epsilon genau die Eigenschaften des Kreuzprodukts repräsentiert!

Betrachte das Kreuzprodukt \( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \) zweier Vektoren \( \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)\) und \( \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3) \): 2\[ \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} ~=~ \begin{bmatrix} a_2\,b_3-a_3\,b_2 \\ a_3\,b_1-a_1\,b_3 \\ a_1\,b_2-a_2\,b_1 \end{bmatrix} \]

Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein neuer Vektor, der senkrecht auf \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b} \) steht. Diese Eigenschaft des Kreuzprodukts ist sehr nützlich, zum Beispiel bei der Beschreibung der Lorentzkraft, wo das Kreuzprodukt \(\boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B}\) zwischen der Geschwindigkeit \( \boldsymbol{v} \) der Ladung und des externen Magnetfelds \( \boldsymbol{B} \) relevant ist.

Wir können das Kreuzprodukt 2 auch in einer beliebigen Basis darstellen. Wählen wir zum Beispiel die übliche orthogonale Basis, mit den normierten und zueinander senkrecht stehenden Basisvektoren \( \boldsymbol{\hat{e}}_1 \), \( \boldsymbol{\hat{e}}_2 \) und \( \boldsymbol{\hat{e}}_3 \), die den dreidimensionalen Raum aufspannen:3\begin{align} \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} &~=~ (a_2\,b_3-a_3\,b_2) \, \boldsymbol{\hat e}_1 \\\\ &~+~ (a_3\,b_1-a_1\,b_3) \, \boldsymbol{\hat e}_2 \\\\ &~+~ (a_1\,b_2-a_2\,b_1) \, \boldsymbol{\hat e}_3 \end{align}

Das Kreuzprodukt 3, dargestellt in der orthogonalen Basis, können wir in Indexnotation folgendermaßen schreiben:

Schau dir mal die Indizes genau an. Alle drei Indizes \(\class{blue}{i}\), \(\class{red}{j}\) und \(\class{green}{k}\) kommen doppelt vor. Nach der Einstein-Summenkonvention musst du also über alle drei Indizes summieren. Nach der Einstein-Summenkonvention lassen wir jedoch die drei Summenzeichen \(\boxed{+}\) weg, um die Gleichungen kompakt zu halten:5\[ \underset{\class{blue}{i}~=~1}{\overset{3}{\boxed{+}}} \, \underset{\class{red}{j}~=~1}{\overset{3}{\boxed{+}}} \, \underset{\class{green}{k}~=~1}{\overset{3}{\boxed{+}}} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} \, \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}} ~\rightarrow~ \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} \, \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}} \]

In 4 haben wir alle drei Komponenten des Kreuzprodukts in einer kompakten Gleichung notiert. Doch das Entscheidende ist hier nicht die Kompaktheit, sondern die durch die Indexnotation entstandene Kommutativität. Du darfst nun die drei Faktoren in 4 untereinander vertauschen, wie du möchtest. Bei der Darstellung 3 kannst du das, wegen den ganzen Minus- und Pluszeichen, natürlich nicht. Anders gesagt: Wir haben mithilfe des Epsilon-Tensors alle Additionen und Subtraktionen der Ausdrücke in 3 eliminiert und haben jetzt nur noch Multiplikation der Ausdrücke. Und Multiplikation ist kommutativ!

Wir können auch die Komponenten 2 des Kreuzprodukts in Indexnotation schreiben, ohne irgendeine Basis miteinzubeziehen.

In der Komponentenschreibweise betrachten wir eine Komponente des Kreuzprodukts, die so allgemein notiert ist, dass sie stellvertretend für alle drei Komponenten steht. Dazu versehen wir das Kreuzprodukt mit einem Index \( \class{blue}{i} \), also etwa so: \( \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{blue}{i}} \). Damit ist gemeint: Du betrachtest die \( \class{blue}{i} \)-te Komponente des Kreuzprodukts - also die erste, zweite oder dritte Komponente. Der Index \( \class{blue}{i} \) steht stellvertretend für 1, 2 oder 3.

Denk dran, dass die Komponente \( \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{blue}{i}} \) eines Vektors, eine reine Zahl ist, bei der der Basisvektor \( \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} \) nicht auftaucht. In Indexnotation lautet eine Komponente des Kreuzprodukts folgendermaßen:

Ob Du mit dem vollständigen Kreuzprodukt oder mit nur einer Komponente arbeiten möchtest, bleibt Dir überlassen!

Spatprodukt in Indexnotation

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Mit dem Levi-Civita-Symbol lässt sich bei Spatprodukt zeigen, dass die folgenden Gleichungen gelten: 8\begin{align} \boldsymbol{a} \cdot \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) &~=~ \boldsymbol{c} \cdot \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right) \\\\ &~=~ \boldsymbol{b} \cdot \left( \boldsymbol{c} ~\times~ \boldsymbol{a} \right) \end{align} Dabei muss Dir die zyklische Permutation der drei Vektoren auffallen!

Wie kannst du die Spatprodukt-Gleichheiten in Indexnotation beweisen?
Starte mit dem linken Seite der Gleichung. Da es sich um ein Skalarprodukt zwischen \( \boldsymbol{a} \) und \( \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) \) handelt, versiehst Du sowohl das Kreuzprodukt als auch den Vektor \( \boldsymbol{a} \) mit einem gleichen Index, zum Beispiel mit dem Index \( \class{blue}{i} \). Über diesen Index wird dann nach der Einsteinschen Summenkonvention summiert: 9 \[ a_{\class{blue}{i}} \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} \]

Jetzt hast Du ein gewöhnliches Produkt von zwei Zahlen: \( a_{\class{blue}{i}} \) und \( \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} \), weshalb das Skalarprodukt-Punkt weg ist.

Du hast außerdem vorher gelernt, dass die \( \class{blue}{i} \)-te Komponente des Kreuzprodukts sich mit Hilfe des Levi-Civita-Symbols umschreiben lässt. Benutze also die obige Definition 6: 10 \[ a_{\class{blue}{i}} \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} ~=~ a_{\class{blue}{i}} \, \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \]

Jetzt sind es alles reine Zahlen und es gelten übliche Rechengesetze, unter anderem das Kommutativgesetzt. Vertausche die Faktoren soviel Du willst! Packe beispielsweise das Levi-Civita-Symbol an den Anfang: 11 \[ a_{\class{blue}{i}} \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} ~=~ \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \]

Um die obige Idenität des Spatprodukts zu zeigen, nutze die Eigenschaft des Levi-Civita-Symbols aus, dass bei gerader Permutation sich nichts verändert. Das heißt: eine gerade Vertauschung der Indizes ändert nichts an der Gleichheit! Bei ungerader Permutation dagegen würde sich das Vorzeichen verändern.

Für die erste gerade Permutation 'rotierst' du Indizes einmal im Kreis: \( \class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k} ~\rightarrow~ \class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j} \). Da sich am Ergebnis nichts ändert, ist die permutierte und die nicht-permutierte Version gleich: 12 \[ \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} ~=~ \varepsilon_{\class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \]

Nächste gerade Permutation (d.h. nochmal rotieren) der Indizes \( \class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j} ~\rightarrow~ \class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i} \), ergibt einen weiteren Term, der den anderen gleicht: 13 \[ \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} ~=~ \varepsilon_{\class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} ~=~ \varepsilon_{\class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \]

Würdest Du die Indizes ein drittes Mal rotieren, dann kommst Du zum Anfangszustand \( \class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i} ~\rightarrow~ \class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k} \)! Es bringt also nichts, noch ein weiteres Mal eine gerade Vertauschung durchzuführen. Schreibe am besten das Ganze in der "passenderen" Reihenfolge auf (Du kannst ja jetzt alle Faktoren vertauschen wie Du willst): 14 \[ \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} ~=~ \varepsilon_{\class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} ~=~ \varepsilon_{\class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \]

Schreibst Du die drei Seiten, mithilfe von 6, wieder als Kreuzprodukt, dann bekommst du: 15 \[ a_{\class{blue}{i}} \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} ~=~ c_{\class{green}{k}} \, \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{green}{k}} ~=~ b_{\class{red}{j}} \, \left( \boldsymbol{c} ~\times~ \boldsymbol{a} \right)_{\class{red}{j}} \]

Auf jeder Seite der Gleichung wird über ein Index summiert. Das Ergebnis auf jeder Seite ist eine reine Zahl, nämlich das Spatprodukt.