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Levi-Civita-Symbol und wie Du damit Kreuzprodukt & Spatprodukt schreibst

Zyklische (gerade) Permutation der Indizes beim Levi-Civita-Symbol
Level 3 (bis zum Physik B. Sc.)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Gerade und ungerade Permutationen der Indizes Hier lernst du zwei mögliche Vertauschungen von Indizes, die notwendig sind, um das Levi-Civita-Symbol zu verstehen.
  2. Definition und Beispiele Hier lernst du die Definition des Levi-Civita-Symbols, die mit einigen Beispielen klar gemacht wird.
  3. Kreuzprodukt in Indexnotation Hier lernst du, wie mithilfe des Levi-Civita-Symbols das Kreuzprodukt in Indexnotation geschrieben werden kann.
  4. Spatprodukt in Indexnotation mit Levi-Civita-Symbol Hier lernst du, wie das Levi-Civita-Symbol das Beweisen von Gleichungen, die ein Kreuzprodukt enthalten, vereinfachen kann.

Neben dem Kronecker-Delta \(\delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}}\) ist das Levi-Civita-Symbol ein sehr häufig auftretendes Symbol in der theoretischen Physik und zwar in allen Teilgebieten der Physik, angefangen bei der klassischen Mechanik bis hin zur Quantenfeldtheorie. Deshalb ist es wichtig zu verstehen, wie dieses Symbol funktioniert.

Mit dem Levi-Civita-Symbol, der manchmal auch Epsilon-Tensor genannt wird, kannst du beispielsweise...

  • Komplizierte Vektorgleichungen, wie mehrfach auftretende Kreuzprodukte, leicht umformen und vereinfachen

  • Gleichungen kompakter darstellen

Grundsätzlich wollen wir mithilfe des Levi-Civita-Symbols, Vektorgleichungen in Indexnotation schreiben, um sie leichter verarzten zu können.

Levi-Civita-Symbol wird mit einem kleinen griechischen Epsilon \(\varepsilon\) notiert, der drei Indizes \(\class{blue}{i}\), \(\class{red}{j}\) und \(\class{green}{k}\) trägt:

Levi-Civita-Symbol

Wie du die Indizes nennst, bleibt natürlich dir überlassen. Die Indizes nehmen unterschiedliche Werte an, je nach betrachteter Dimension. Wenn du mit dreidimensionalen Vektoren arbeitest, dann brauchst du ein Levi-Civita-Symbol, dessen Indizes \(\class{blue}{i}\), \(\class{red}{j}\) und \(\class{green}{k}\) die Werte von 1 bis 3 annehmen:

Indizes des Levi-Civita-Symbols

Das Levi-Civita-Symbol \(\varepsilon_{ \class{blue}{i} \class{red}{j} \class{green}{k} }\) kann drei verschiedene Werte annehmen: +1, 0 oder -1. Das Symbol nimmt nur diese drei Werte an - keine anderen! Wann nimmt es welchen Wert an? Das hängt davon ab, wie die Indizes \(\class{blue}{i} \class{red}{j} \class{green}{k}\), in Bezug auf die ursprüngliche Reihenfolge, angeordnet sind. Du hast also das Symbol \(\varepsilon_{ \class{blue}{i} \class{red}{j} \class{green}{k} }\) und kannst die Indizes untereinander permutieren (vertauschen). Schauen wir uns das etwas genauer an.

Gerade und ungerade Permutationen der Indizes

Bevor du die Definition des Levi-Civita-Symbols verstehen kannst, musst du zuerst gerade und ungerade Permutationen seiner Indizes verstehen.

Was ist eine gerade Permutation?

Bei einer geraden (zyklischen) Permutation werden alle Indizes im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Bei dieser Permutation wechseln alle Indizes ihre Position.

Zyklische (gerade) Permutation der Indizes beim Levi-Civita-Symbol
Visier das Bild an! Illustration bekommen
Illustration : Gerade Permutation der Indizes als Rotation der Indizes im Uhrzeigersinn.
Beispiele für gerade Permutationen
  • Eine gerade Permutation von (\(\class{blue}{i},\class{red}{j},\class{green}{k}\)) im Uhrzeigersinn ergibt (\(\class{green}{k},\class{blue}{i},\class{red}{j}\)). Siehst du, wie hier die Indizes rotiert wurden?

  • Eine gerade Permutation von (\(\class{green}{k},\class{blue}{i},\class{red}{j}\)) im Uhrzeigersinn ergibt (\(\class{red}{j},\class{green}{k},\class{blue}{i}\)).

  • Eine gerade Permutation von (\(\class{red}{j},\class{green}{k},\class{blue}{i}\)) würde wieder (\(\class{blue}{i},\class{red}{j},\class{green}{k}\)) ergeben. Denk dran, dass auch eine Drehung der Indizes gegen den Uhrzeigersinn eine gerade Permutation ist.

Was ist eine ungerade Permutation?

Bei einer ungeraden Permutation werden zwei Indizes untereinander vertauscht. Bei dieser Permutation wechseln nur zwei der drei Indizes ihre Position.

Beispiele für ungerade Permutationen
  • Eine ungerade Vertauschung von (\(\class{blue}{i},\class{red}{j},\class{green}{k}\)) ist (\(\class{red}{j},\class{blue}{i},\class{green}{k}\)). Hier wurden \(\class{blue}{i}\) und \(\class{red}{j}\) miteinander vertauscht, während \(\class{green}{k}\) an der gleichen Stelle geblieben ist.

  • Eine weitere ungerade Permutation von (\(\class{blue}{i},\class{red}{j},\class{green}{k}\)) ist (\(\class{green}{k},\class{red}{j},\class{blue}{i}\)). Hier wurden \(\class{blue}{i}\) und \(\class{green}{k}\) vertauscht, während \(\class{red}{j}\) an der gleichen Stelle geblieben ist.

  • Und die letzte mögliche ungerade Permutation von (\(\class{blue}{i},\class{red}{j},\class{green}{k}\)) ist (\(\class{blue}{i},\class{green}{k},\class{red}{j}\)). Hier wurde \(\class{blue}{i}\) stehen gelassen, während \(\class{green}{k}\) und \(\class{red}{j}\) miteinander vertauscht wurden.

Definition und Beispiele

Mit diesem Wissen bist du in der Lage die Definition des Levi-Civita-Symbols zu verstehen. Die Permutationen beziehen sich auf eine Startposition der Indizes. Hier nehmen wir \((\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}) = (123) \) als Startposition an. Dann verhält sich das Levi-Civita-Symbol folgendermaßen:

  • Werden die drei unterschiedlichen Indizes \(\class{blue}{i}\), \(\class{red}{j}\) und \(\class{green}{k}\), in Bezug auf die Startposition \((123) \), gerade permutiert, so ist das resultierende Epsilon gleich 1.

  • Werden die drei unterschiedlichen Indizes \(\class{blue}{i}\), \(\class{red}{j}\) und \(\class{green}{k}\), in Bezug auf die Startposition \((123)\), ungerade permutiert, so ist das resultierende Epsilon gleich -1.

  • Sobald mindestens zwei der Indizes gleich sind, so ist das resultierende Epsilon gleich 0.

Definition des Levi-Civita-Symbols
Anker zu dieser Formel
Beispiele
  • \(\varepsilon_{112} ~=~ 0\), da die ersten beiden Indizes gleich sind.

  • \(\varepsilon_{313} ~=~ 0\), da der erste und dritte Index gleich sind.

  • \(\varepsilon_{222} ~=~ 0\), da alle drei Indizes gleich sind.

  • \(\varepsilon_{123} + \varepsilon_{213} ~=~ 1 + (-1) ~=~ 0\), da beim ersten Epsilon die Indizes in der Startposition sind und die Indizes des zweiten Epsilons eine ungerade Permutation davon sind.

  • \(\varepsilon_{123} \, \varepsilon_{231} ~=~ 1 \cdot 1 ~=~ 1\), da beim ersten Epsilon die Indizes in der Startposition sind und die Indizes des zweiten Epsilons gegen den Uhrzeigersinn gerade permutiert wurden.

Kreuzprodukt in Indexnotation

Illustration : Kreuzprodukt von zwei Vektoren.

Einer der Vorteile der Definition 1 des Levi-Civita-Symbols ist, dass wir damit das Kreuzprodukt zweier Vektoren \(\boldsymbol{a}\) und \(\boldsymbol{b}\) in Indexnotation schreiben können, weil das Epsilon genau die Eigenschaften des Kreuzprodukts repräsentiert!

Betrachte das Kreuzprodukt \( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \) zweier Vektoren \( \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)\) und \( \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3) \):

Kreuzprodukt zweier Vektoren in Vektorschreibweise
Anker zu dieser Formel

Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein neuer Vektor, der senkrecht auf \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b} \) steht. Diese Eigenschaft des Kreuzprodukts ist sehr nützlich, zum Beispiel bei der Beschreibung der Lorentzkraft, wo das Kreuzprodukt \(\boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B}\) zwischen der Geschwindigkeit \( \boldsymbol{v} \) der Ladung und des externen Magnetfelds \( \boldsymbol{B} \) relevant ist.

Wir können das Kreuzprodukt 2 auch in einer beliebigen Basis darstellen. Wählen wir zum Beispiel die übliche orthogonale Basis, mit den normierten und zueinander senkrecht stehenden Basisvektoren \( \boldsymbol{\hat{e}}_1 \), \( \boldsymbol{\hat{e}}_2 \) und \( \boldsymbol{\hat{e}}_3 \), die den dreidimensionalen Raum aufspannen:

Kreuzprodukt als Linearkombination der Basisvektoren
Anker zu dieser Formel

Das Kreuzprodukt 3, dargestellt in der orthogonalen Basis, können wir in Indexnotation folgendermaßen schreiben:

Kreuzprodukt in Indexnotation mittels Levi-Civita-Symbol
Anker zu dieser Formel

Schau dir mal die Indizes genau an. Alle drei Indizes \(\class{blue}{i}\), \(\class{red}{j}\) und \(\class{green}{k}\) kommen doppelt vor. Wir benutzen in 4 die Einstein-Summenkonvention, daher wird über doppelt auftretende Indizes summiert.

In 4 haben wir alle drei Komponenten des Kreuzprodukts in einer kompakten Gleichung notiert. Doch das Entscheidende ist hier nicht die Kompaktheit, sondern die durch die Indexnotation entstandene Kommutativität der einzelnen Faktoren. Das bedeutet: Du darfst die drei Faktoren in 4 untereinander vertauschen, wie du möchtest. Bei der Darstellung 3 kannst du das, wegen den ganzen Minus- und Pluszeichen, natürlich nicht. Anders gesagt: Wir haben mithilfe des Levi-Civita-Symbols alle Additionen und Subtraktionen der Ausdrücke in 3 geschickt versteckt, sodass wir jetzt nur noch kommutative Multiplikation haben.

Wir können auch die Komponenten 2 des Kreuzprodukts in Indexnotation schreiben, ohne die Basisvektoren konkret einzubeziehen. Das ist die sogenannte Komponentenschreibweise.

In der Komponentenschreibweise betrachten wir eine Komponente des Kreuzprodukts, die so allgemein notiert ist, dass sie stellvertretend für alle drei Komponenten steht. Dazu versehen wir das Kreuzprodukt mit einem Index \( \class{blue}{i} \), also etwa so: \( \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{blue}{i}} \). Damit ist gemeint: Du betrachtest die \( \class{blue}{i} \)-te Komponente des Kreuzprodukts - also die erste, zweite oder dritte Komponente. Der Index \( \class{blue}{i} \) steht stellvertretend für 1, 2 oder 3.

Denk dran, dass die Komponente \( \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{blue}{i}} \) eines Vektors, eine reine Zahl ist, bei der der Basisvektor \( \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} \) nicht explizit auftaucht. In Komponentenschreibweise lautet das Kreuzprodukt folgendermaßen:

\(\class{blue}{i}\)-te Komponente des Kreuzprodukts in Indexnotation
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Ob Du mit dem vollständigen Kreuzprodukt 4 oder mit nur einer Komponente 5 des Kreuzprodukts arbeiten möchtest, bleibt Dir überlassen!

Beispiel: Erste Komponente komplett ausschreiben

Lass uns mal überprüfen, ob die Indexnotation des Kreuzprodukts 5 überhaupt das richtige Ergebnis liefert. Dazu schreiben wir statt dem allgemein gehaltenen Index \( \class{blue}{i} \) die Zahl 1, die die 1. Komponente des Kreuzprodukts repräsentiert:

Erste Komponente des Kreuzprodukts in Indexnotation
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Du hast also jetzt die Komponente, die wir ausrechnen möchten, festgelegt. Als nächstes müssen wir über \( \class{red}{j} \) und \( \class{green}{k} \) summieren. Um alle Fälle durchzugehen, setzen wir \( \class{red}{j} = 1 \) und gehen alle Fälle für \( \class{green}{k} =1,2,3 \) durch. Dann setzen wir \( \class{red}{j} = 2 \) und gehen alle Fälle für \( \class{green}{k} =1,2,3 \) durch und analog für \( \class{red}{j} = 3 \). Insgesamt müssen 3 * 3 = 9 Summanden herauskommen:

Erste Komponente des Kreuzprodukts komplett ausgeschrieben
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Nach Definition des Levi-Civita-Symbols, sind von neun Termen nur zwei ungleich Null und zwar die mit unterschiedlichen Indizes:

Nur zwei Summand in Indexnotation verschwinden nicht
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Dabei ist \( \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{2}\class{green}{3}} ~= 1 \), weil es eine gerade Permutation ist. Und \( \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{3}\class{green}{2}} ~= -1 \), weil es eine ungerade Permutation ist. Einsetzen ergibt:

Erste Kreuzproduktkomponente mit benutzter Definition von Levi-Civita-Symbol
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Analog gehst Du mit der 2. und 3. Komponenten vor und erhältst so alle drei Komponenten des Ergebnisvektors des Kreuzprodukts.

Spatprodukt in Indexnotation mit Levi-Civita-Symbol

Illustration : Spatprodukt veranschaulicht.

Mit dem Levi-Civita-Symbol lässt sich leicht zeigen, dass die folgenden Spatprodukte gleich sind (versuch das mal ohne Indexnotation zu bewerkstelligen):

Spatprodukte
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Wenn du dir die Gleichungen genau anschaust, dann siehst du, dass die Vektoren zyklisch vertauscht werden, um zu einem äquivalenten Spatprodukt zu gelangen. Starten wir mit der linken Seite der Gleichung. Da es sich um ein Skalarprodukt zwischen \( \boldsymbol{a} \) und \( \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) \) handelt, versiehst Du sowohl das Kreuzprodukt als auch den Vektor \( \boldsymbol{a} \) mit einem gleichen Index, zum Beispiel mit dem Index \( \class{blue}{i} \). Über diesen Index wird dann nach der Einstein-Summenkonvention summiert:

Spatprodukt in Komponentenschreibweise
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Jetzt hast Du ein gewöhnliches Produkt von zwei Zahlen: \( a_{\class{blue}{i}} \) und \( \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} \), weshalb das Skalarprodukt-Punkt weg ist. Auf diese Weise haben wir das Skalarprodukt in Indexnotation geschrieben.

Du hast außerdem vorher gelernt, dass die \( \class{blue}{i} \)-te Komponente des Kreuzprodukts sich mit Hilfe des Levi-Civita-Symbols umschreiben lässt (siehe Gl. 5). Das nutzen wir aus, um das Kreuzprodukt in Indexnotation zu schreiben:

Spatprodukt in Indexnotation
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Jetzt enthält das Spatprodukt 12 nur multiplikative Faktoren, weshalb wir die Faktoren vertauschen können, wie wir wollen! Platzieren wir beispielsweise das Levi-Civita-Symbol an den Anfang:

Spatprodukt in Indexnotation mit dem Levi-Civita-Symbol nach vorn gebracht
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Als nächstes nutzen wir die Eigenschaft des Levi-Civita-Symbols aus: Bei einer geraden Vertauschung der Indizes bekommen wir das gleiche Levi-Civita-Symbol heraus. (Bei einer ungeraden Permutation der Indizes dagegen bekommen wir ein Minuszeichen vor dem Levi-Civita-Symbol).

Für die erste gerade Permutation 'rotierst' du die Indizes einmal im Kreis: \( \class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k} ~\rightarrow~ \class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j} \). Da sich am Ergebnis nichts ändert, ist die permutierte und die nicht-permutierte Version gleich:

Einmalige gerade Permutation der Indizes beim Levi-Civita-Symbol
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Nächste gerade Permutation (also eine weitere Rotation) der Indizes \( \class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j} ~\rightarrow~ \class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i} \) ergibt einen weiteren Term, der den anderen beiden in 14 gleicht:

Zweimalige gerade Permutation der Indizes beim Levi-Civita-Symbol
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Würdest Du die Indizes ein drittes Mal rotieren \( \class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i} ~\rightarrow~ \class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k} \), dann kommst Du zum Anfangszustand zurück. Es bringt also nichts, noch ein weiteres Mal eine gerade Vertauschung durchzuführen.

Sortieren wir am besten die Gl. 15 so, dass die Indizes an den Vektorkomponenten die gleiche Reihenfolge haben wie bei den Levi-Civita-Symbolen:

Spatprodukte in sortierter Indexnotation
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Jetzt müssen wir nur noch die Definition 5 des Kreuzprodukts auf die drei Terme in 16 rückwärts anwenden, um ihre Vektorschreibweise zu erhalten:

Spatprodukte mit Kreuzprodukten in Vektorschreibweise
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Bei jedem Term wird über ein Index summiert. Es handelt sich hier also um ein Skalarprodukt. Damit erhalten wir die Spatprodukte:

Hergeleitetes Spatprodukt

Wie du siehst: Das Levi-Civita-Symbol ist ein sehr nützliches Permutationssymbol, wenn es um Gleichungen geht, die Kreuzprodukte enthalten. Als nächstes solltest du ein bisschen selbst üben. Versuche mal die BAC-CAB-Regel mithilfe der Indexnotation und des Levi-Civita-Symbols zu beweisen.