Levi-Civita-Symbol: Kreuzprodukt & Spatprodukt in Indexnotation
Neben dem Kronecker-Delta \(\delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}}\) ist der Levi-Civita-Tensor ein sehr häufig auftretender Tensor in der theoretischen Physik und zwar in allen Teilgebieten der Physik, angefangen bei der klassischen Mechanik bis hin zur Quantenfeldtheorie. Deshalb ist es wichtig zu verstehen, wie dieser Tensor funktioniert.
Mit dem Levi-Civita-Tensor, der manchmal auch Epsilon-Tensor genannt wird, kannst du beispielsweise...
- Komplizierte Vektorgleichungen, wie mehrfach auftretende Kreuzprodukte, leicht umformen und vereinfachen
- Gleichungen kompakter darstellen
Grundsätzlich wollen wir mithilfe des Levi-Civita-Tensors, Vektorgleichungen in Indexnotation schreiben, um sie leichter verarzten zu können.
Levi-Civita-Tensor wird mit einem kleinen griechischen Epsilon \(\varepsilon\) notiert, der drei Indizes \(\class{blue}{i}\), \(\class{red}{j}\) und \(\class{green}{k}\) trägt: \[ \varepsilon_{ \class{blue}{i} \class{red}{j} \class{green}{k} } \]Wie du die Indizes nennst, bleibt natürlich dir überlassen. Die Indizes nehmen unterschiedliche Werte an, je nach betrachteter Dimension. Wenn du mit dreidimensionalen Vektoren arbeitest, dann brauchst du einen Levi-Civita-Tensor, dessen Indizes \(\class{blue}{i}\), \(\class{red}{j}\) und \(\class{green}{k}\) die Werte von 1 bis 3 annehmen: \[ \class{blue}{i},~ \class{red}{j},~ \class{green}{k} ~\in~ \{1,2,3\} \]
Der Levi-Civita-Tensor \(\varepsilon_{ \class{blue}{i} \class{red}{j} \class{green}{k} }\) kann drei verschiedene Werte annehmen: +1, 0 oder -1. Der Tensor nimmt nur diese drei Werte an - keine anderen! Wann nimmt er welchen Wert an? Das hängt davon ab, wie die Indizes \(\class{blue}{i} \class{red}{j} \class{green}{k}\), in Bezug auf die ursprüngliche Reihenfolge, angeordnet sind. Du hast also den Tensor \(\varepsilon_{ \class{blue}{i} \class{red}{j} \class{green}{k} }\) und nun kannst du die Indizes untereinander permutieren (vertauschen). Bevor du die Definition des Levi-Civita-Symbols verstehen kannst, musst du zuerst diese beiden Permutationen verstehen. Schauen wir uns sie deshalb kurz mal an. Wir unterscheiden zwei Arten der Permutation Mit diesem Wissen bist du in der Lage die Definition des Levi-Civita-Tensors zu verstehen. Die Permutationen beziehen sich auf eine Startposition der Indizes. Hier nehmen wir \((\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}) = (123) \) als Startposition an. Dann verhält sich Levi-Civita-Tensor folgendermaßen: Du könntest dich nun fragen, warum diese Definition überhaupt sinnvoll ist. Nun, der Vorteil der Definition Betrachte das Kreuzprodukt \( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \) zweier Vektoren \( \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)\) und \( \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3) \): 2\[ \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} ~=~ \begin{bmatrix} a_2\,b_3-a_3\,b_2 \\ a_3\,b_1-a_1\,b_3 \\ a_1\,b_2-a_2\,b_1 \end{bmatrix} \] Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein neuer Vektor, der senkrecht auf \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b} \) steht. Diese Eigenschaft des Kreuzprodukts ist sehr nützlich, zum Beispiel bei der Beschreibung der Lorentzkraft, wo das Kreuzprodukt \(\boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B}\) zwischen der Geschwindigkeit \( \boldsymbol{v} \) der Ladung und des externen Magnetfelds \( \boldsymbol{B} \) relevant ist. Wir können das Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt Schau dir mal die Indizes genau an. Alle drei Indizes \(\class{blue}{i}\), \(\class{red}{j}\) und \(\class{green}{k}\) kommen doppelt vor. Nach der Einstein-Summenkonvention musst du also über alle drei Indizes summieren. Nach der Einstein-Summenkonvention lassen wir jedoch die drei Summenzeichen \(\boxed{+}\) weg, um die Gleichungen kompakt zu halten:5\[ \underset{\class{blue}{i}~=~1}{\overset{3}{\boxed{+}}} \, \underset{\class{red}{j}~=~1}{\overset{3}{\boxed{+}}} \, \underset{\class{green}{k}~=~1}{\overset{3}{\boxed{+}}} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} \, \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}} ~\rightarrow~ \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} \, \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}} \] In Wir können auch die Komponenten In der Komponentenschreibweise betrachten wir eine Komponente des Kreuzprodukts, die so allgemein notiert ist, dass sie stellvertretend für alle drei Komponenten steht. Dazu versehen wir das Kreuzprodukt mit einem Index \( \class{blue}{i} \), also etwa so: \( \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{blue}{i}} \). Damit ist gemeint: Du betrachtest die \( \class{blue}{i} \)-te Komponente des Kreuzprodukts - also die erste, zweite oder dritte Komponente. Der Index \( \class{blue}{i} \) steht stellvertretend für 1, 2 oder 3. Denk dran, dass die Komponente \( \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{blue}{i}} \) eines Vektors, eine reine Zahl ist, bei der der Basisvektor \( \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} \) nicht auftaucht. In Indexnotation lautet eine Komponente des Kreuzprodukts folgendermaßen: Ob Du mit dem vollständigen Kreuzprodukt oder mit nur einer Komponente arbeiten möchtest, bleibt Dir überlassen! Dazu schreibst Du statt dem allgemein gehaltenen Index \( \class{blue}{i} \) die Zahl 1, die die 1. Komponente des Kreuzprodukts repräsentiert:7\[ \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{blue}{1}} ~=~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}} \] Du hast also jetzt die Komponente, die Du ausrechnen möchtest festgelegt. Jetzt musst Du über \( \class{red}{j} \) und \( \class{green}{k} \) summieren. Um alle Fälle durchzugehen, habe ich \( \class{red}{j} = 1 \) gesetzt und alle Fälle für \( \class{green}{k} =1,2,3 \) durchgegangen. Dann habe ich \( \class{red}{j} = 2 \) gesetzt und alle Fälle für \( \class{green}{k} =1,2,3 \) durchgegangen und analog für \( \class{red}{j} = 3 \). Insgesamt müssen 3*3 = 9 Summanden herauskommen: 7.1\begin{align}
\varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}} &~=~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{1}\class{green}{1}} \, a_{\class{red}{1}} \, b_{\class{green}{1}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{1}\class{green}{2}} \, a_{\class{red}{1}} \, b_{\class{green}{2}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{1}\class{green}{3}} \, a_{\class{red}{1}} \, b_{\class{green}{3}} \\\\
&~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{2}\class{green}{1}} \, a_{\class{red}{2}} \, b_{\class{green}{1}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{2}\class{green}{2}} \, a_{\class{red}{2}} \, b_{\class{green}{2}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{2}\class{green}{3}} \, a_{\class{red}{2}} \, b_{\class{green}{3}} \\\\
&~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{3}\class{green}{1}} \, a_{\class{red}{3}} \, b_{\class{green}{1}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{3}\class{green}{2}} \, a_{\class{red}{3}} \, b_{\class{green}{2}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{3}\class{green}{3}} \, a_{\class{red}{3}} \, b_{\class{green}{3}}
\end{align} Nach Definition des Levi-Civita-Symbols, sind von neun Termen nur zwei ungleich Null und zwar die mit unterschiedlichen Indizes:7.2\[ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}} ~=~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{2}\class{green}{3}} \, a_{\class{red}{2}} \, b_{\class{green}{3}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{3}\class{green}{2}} \, a_{\class{red}{3}} \, b_{\class{green}{2}} \] Dabei ist \( \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{2}\class{green}{3}} ~= 1 \), weil es eine gerade Permutation ist. Und \( \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{3}\class{green}{2}} ~= -1 \), weil es eine ungerade Permutation ist. Einsetzen ergibt: 7.3\[ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}} ~=~ a_{\class{red}{2}} \, b_{\class{green}{3}} ~-~ \, a_{\class{red}{3}} \, b_{\class{green}{2}} \] Analog gehtst Du mit der 2. und 3. Komponenten vor und erhälst so alle drei Komponenten des Ergebnisvektors des Kreuzprodukts. Mit dem Levi-Civita-Symbol lässt sich bei Spatprodukt zeigen, dass die folgenden Gleichungen gelten: 8\begin{align} \boldsymbol{a} \cdot \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) &~=~ \boldsymbol{c} \cdot \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right) \\\\
&~=~ \boldsymbol{b} \cdot \left( \boldsymbol{c} ~\times~ \boldsymbol{a} \right)
\end{align} Dabei muss Dir die zyklische Permutation der drei Vektoren auffallen! Wie kannst du die Spatprodukt-Gleichheiten in Indexnotation beweisen? Jetzt hast Du ein gewöhnliches Produkt von zwei Zahlen: \( a_{\class{blue}{i}} \) und \( \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} \), weshalb das Skalarprodukt-Punkt weg ist. Du hast außerdem vorher gelernt, dass die \( \class{blue}{i} \)-te Komponente des Kreuzprodukts sich mit Hilfe des Levi-Civita-Symbols umschreiben lässt. Benutze also die obige Definition Jetzt sind es alles reine Zahlen und es gelten übliche Rechengesetze, unter anderem das Kommutativgesetzt. Vertausche die Faktoren soviel Du willst! Packe beispielsweise das Levi-Civita-Symbol an den Anfang: 11 \[ a_{\class{blue}{i}} \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} ~=~ \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \] Um die obige Idenität des Spatprodukts zu zeigen, nutze die Eigenschaft des Levi-Civita-Symbols aus, dass bei gerader Permutation sich nichts verändert. Das heißt: eine gerade Vertauschung der Indizes ändert nichts an der Gleichheit! Bei ungerader Permutation dagegen würde sich das Vorzeichen verändern. Für die erste gerade Permutation 'rotierst' du Indizes einmal im Kreis: \( \class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k} ~\rightarrow~ \class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j} \). Da sich am Ergebnis nichts ändert, ist die permutierte und die nicht-permutierte Version gleich: 12 \[ \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} ~=~ \varepsilon_{\class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \] Nächste gerade Permutation (d.h. nochmal rotieren) der Indizes \( \class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j} ~\rightarrow~ \class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i} \), ergibt einen weiteren Term, der den anderen gleicht: 13 \[ \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} ~=~ \varepsilon_{\class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} ~=~ \varepsilon_{\class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \] Würdest Du die Indizes ein drittes Mal rotieren, dann kommst Du zum Anfangszustand \( \class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i} ~\rightarrow~ \class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k} \)! Es bringt also nichts, noch ein weiteres Mal eine gerade Vertauschung durchzuführen. Schreibe am besten das Ganze in der "passenderen" Reihenfolge auf (Du kannst ja jetzt alle Faktoren vertauschen wie Du willst): 14 \[ \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} ~=~ \varepsilon_{\class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} ~=~ \varepsilon_{\class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \] Schreibst Du die drei Seiten, mithilfe von Auf jeder Seite der Gleichung wird über ein Index summiert. Das Ergebnis auf jeder Seite ist eine reine Zahl, nämlich das Spatprodukt.Gerade und ungerade Permutationen
Definition und Beispiele
Kreuzprodukt in Indexnotation
1
des Levi-Civita-Symbols ist, dass wir damit das Kreuzprodukt zweier Vektoren \(\boldsymbol{a}\) und \(\boldsymbol{b}\) in Indexnotation schreiben können, weil das Epsilon genau die Eigenschaften des Kreuzprodukts repräsentiert!2
auch in einer beliebigen Basis darstellen. Wählen wir zum Beispiel die übliche orthogonale Basis, mit den normierten und zueinander senkrecht stehenden Basisvektoren \( \boldsymbol{\hat{e}}_1 \), \( \boldsymbol{\hat{e}}_2 \) und \( \boldsymbol{\hat{e}}_3 \), die den dreidimensionalen Raum aufspannen:3\begin{align}
\boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} &~=~ (a_2\,b_3-a_3\,b_2) \, \boldsymbol{\hat e}_1 \\\\
&~+~ (a_3\,b_1-a_1\,b_3) \, \boldsymbol{\hat e}_2 \\\\
&~+~ (a_1\,b_2-a_2\,b_1) \, \boldsymbol{\hat e}_3
\end{align}3
, dargestellt in der orthogonalen Basis, können wir in Indexnotation folgendermaßen schreiben:4
haben wir alle drei Komponenten des Kreuzprodukts in einer kompakten Gleichung notiert. Doch das Entscheidende ist hier nicht die Kompaktheit, sondern die durch die Indexnotation entstandene Kommutativität. Du darfst nun die drei Faktoren in 4
untereinander vertauschen, wie du möchtest. Bei der Darstellung 3
kannst du das, wegen den ganzen Minus- und Pluszeichen, natürlich nicht. Anders gesagt: Wir haben mithilfe des Epsilon-Tensors alle Additionen und Subtraktionen der Ausdrücke in 3
eliminiert und haben jetzt nur noch Multiplikation der Ausdrücke. Und Multiplikation ist kommutativ!2
des Kreuzprodukts in Indexnotation schreiben, ohne irgendeine Basis miteinzubeziehen.Spatprodukt in Indexnotation
Starte mit dem linken Seite der Gleichung. Da es sich um ein Skalarprodukt zwischen \( \boldsymbol{a} \) und \( \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) \) handelt, versiehst Du sowohl das Kreuzprodukt als auch den Vektor \( \boldsymbol{a} \) mit einem gleichen Index, zum Beispiel mit dem Index \( \class{blue}{i} \). Über diesen Index wird dann nach der Einsteinschen Summenkonvention summiert: 9 \[ a_{\class{blue}{i}} \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} \] 6
: 10 \[ a_{\class{blue}{i}} \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} ~=~ a_{\class{blue}{i}} \, \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \] 6
, wieder als Kreuzprodukt, dann bekommst du: 15 \[ a_{\class{blue}{i}} \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} ~=~ c_{\class{green}{k}} \, \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{green}{k}} ~=~ b_{\class{red}{j}} \, \left( \boldsymbol{c} ~\times~ \boldsymbol{a} \right)_{\class{red}{j}} \]