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Vektorfelder: Vektoren im Raum

Vektorfeld - ist eine vektorielle Funktion, die jedem Ort (x,y,z) im Raum, einen Vektor zuordnet.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Was ist ein Vektorfeld?

Ein Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) ist eine vektorielle Größe, die von den Raumkoordinaten \((x,y,z)\) abhängt und im dreidimensionalen Raum drei Komponenten hat:1\[ \boldsymbol{F}(x,y,z) ~=~ \left(\begin{array}{c} F_{\text x}(x,y,z) \\ F_{\text y}(x,y,z) \\ F_{\text z}(x,y,z) \end{array}\right) \]

Die Komponenten des Vektorfeldes, wie z.B. die erste Komponente \(F_{\text x}(x,y,z)\), ist eine skalare (also keine vektorielle) Funktion, die den Betrag des Vektorfeldes in die \(x\)-Richtung angibt. Die Komponenten hängen im Allgemeinen von dem betrachteten Ort \((x,y,z)\) ab. Das heißt: Je nachdem, ob die \(F_{\text x}\)-Komponente an einem oder anderen Ort betrachtet wird, ist diese Komponente unterschiedlich groß. Anschaulich äußert sich diese Ortsabhängigkeit in der Größe und Richtung des Vektorpfeils an den betrachteten Orten.

Beispiel: Vektorfeld
So sieht das Vektorfeld des Beispiels aus.

Betrachte folgendes Vektorfeld:1\[ \boldsymbol{F}(x,y) ~=~ \left(\begin{array}{c} 2x + 5y \\ 5x \\ 0 \end{array}\right) \]

Nach der Darstellung 1 des Vektorfeldes, ist die erste Komponenten dieses Vektorfeldes \( F_{\text x}(x,y) = 2x + 5y \). Sie hängt nur von den Ortskoordinaten \(x\) und \(y\) ab. Die zweite Komponente ist \( F_{\text y}(x) = 5x \). Sie hängt nur von der Ortskoordinate \(x\) ab. Die dritte Komponente ist \( F_{\text z}(x) = 0 \) und hat keine Ortsabhängigkeit. Sie ist an jedem Ort konstant Null.

Da das Vektorfeld keine Komponente in die dritte Raumrichtung (\(z\)-Richtung) hat, kann das Vektorfeld als ein zweidimensionales Vektorfeld betrachtet werden. Anschaulich gesagt: Alle Vektorpfeile befinden sich in einer Ebene.

Kraftfeld

Elektrisches Feld ist ein Kraftfeld und somit auch ein Vektorfeld. Denn - elektrische Ladungen üben anziehende oder abstoßende Kräfte aufeinander aus und diese Kräfte hängen davon ab, wo sich die Ladungen befinden.

Auch Gravitationsfeld ist ein Kraftfeld (und Vektorfeld), da die Schwerkraft davon abhängt, wo Du die Probemasse platzierst.

Feldlinien von Vektorfeldern

Vektorfelder kannst Du mittels Feldlinien veranschaulichen!

Visier mich an!Illustration bekommen
So bewegen sich ruhende Ladungen entlang der Feldlinien, wenn sie in einem Kraftfeld platziert werden.

Im Falle eines Kraftfeldes stellen Feldlinien Wege dar, welche von einem Massestück (Gravitationsfeld) oder von einer Ladung (elektrisches Feld) durchlaufen würden, wenn sie in das Kraftfeld platziert werden. Je dichter die Feldlinien, desto stärker das Kraftfeld!

Wenn Du eine Tangente am beliebigen Punkt der Feldlinie anlegst, so wird sie Dir die Richtung der Kraft zeigen; in diese Richtung wird also die Probeladung bzw. Probemasse an dem Punkt abgelenkt.

Bei elektrischen Ladungen sind die Feldlinien entweder in sich geschlossen, d.h. sie gehen definitionsgemäß von einer positiven Ladung aus und enden bei negativer Ladung; oder im Falle einer einzigen Ladung gehen die Feldlinien von der Ladung aus ins Unendliche. Bei Magnetfeldern kann der zweite Fall jedoch nicht eintreten. Anders gesagt: es gab bis jetzt kein Experiment, bei dem ein magnetischer Monopol beobachtet wurde, also Südpol oder Nordpol, der ohne seinen Gegenpartner existiert. Bei Magneten gehen die Feldlinien vom Nordpol aus und enden immer beim Südpol. Und bei Gravitationsfeldern tritt der 1.Fall nicht ein. Beim Gravitationsfeld gehen Feldlinien von einem Masseobjekt ins Unendliche und werden nirgendwo geschlossen.

Homogene und inhomogene Vektorfelder

Man unterscheidet zwischen homogenen und inhomogenen Vektorfeldern. Feldlinien von homogenen Feldern sind parallel zu einander, nicht gekrümmt und gleich weit voneinander entfernt, also weisen eine homogene Dichte auf. Nah an der der Erdoberfläche, bei Betrachtung eines kleinen Bereichs z.B., sind die Feldlinien näherungsweise homogen. Mit zunehmender größer dieses Bereichs wird das Feld inhomogen.

Konservative Kraftfelder

Wenn wir eine Masse an irgendeinem Ort in der Nähe des Gravitationsfeldes der Erde platzieren, dann erfährt diese Masse eine bestimmte konstante Kraft, die ausschließlich von der Höhe abhängt und nicht vom Verlauf der Zeit. Wir sind also in der Lage jeder Höhe oberhalb der Erde eine Kraft zuzuordnen, die den jeweiligen Ort im Gravitationsfeld charakterisiert. Ein klassisches Kraftfeld ist also ein Raum, in dem an jedem Punkt dieses Raumes eine gewisse Kraft wirkt, wenn wir dort ein Objekt platzieren. In diesem Fall ist unser Kraftfeld die Schwerkraft, die in die Mitte des Erdzentrums wirkt. Genauer gesagt handelt es sich hier um ein Zentralfeld.

Die ganze Summe an Kräften, die zum Erdmittelpunkt gerichtet sind, stellen das Gravitationsfeld dar. Im Falle der Energieerhaltung, muss das Kraftfeld ein konservatives Feld sein, sonst gilt der Energieerhaltungssatz nicht! Konservatives Feld heißt: es wäre völlig egal, ob ich ein Objekt von der Höhe \( h_{1} \) auf Höhe \( h_{2} \) auf dem einen oder anderen Weg bringe. In einem konservativen Feld, wie im Falle des Gravitationsfeldes, ist die Höhendifferenz des Start- und Endpunktes entscheidend, nicht der Weg an sich. Auch, wenn ich das Objekt sehr sehr schnell zum Endpunkt bringe oder ganz ganz langsam; energetisch kommt das Gleiche wieder heraus. Im ersten Fall würde eine große Beschleunigung und somit auch große Kraft auf das Objekt einwirken; aber für eine kurze Zeit. Im zweiten Fall ist die Kraft geringer, dafür aber die Zeitspanne, in der ich diese Kraft ausübe, größer. Die Reibung dagegen ist ein Beispiel für ein nicht-konservatives Kraftfeld. Denn bei dem Weg bis zum Punkt \( h_{2} \) würde das Objekt ein Teil seiner Energie an die Umgebung aufgrund der Reibung verlieren, zum größten Teil in Form von Wärme. Ein längerer Weg würde also dementsprechend mehr Energie kosten, als ein kürzerer Weg. Aber wo in der Welt gibt es bitteschön Reibungsfreiheit?

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