Mechanische Arbeit - als physikalische Größe in der Physik

Kraft parallel zur Verschiebung

Betrachte zwei Orte im Raum, beispielsweise eine gerade Rennbahnstrecke mit einer Startposition und einer Zielposition. Bezeichne die Strecke zwischen diesen beiden Postionen als \(s\). Nun wird genau am Startpunkt eine perfekt rollende Kiste platziert und von dir mit einer Kraft \(F\), entlang der geraden Strecke, bis zum Zielpunkt geschoben. Die an der Kiste verrichtete Arbeit \(W\) beträgt dann:

Die Arbeit \(W\) hat die Einheit der Energie [J] (Joule).

Die Arbeit \(W\) ist also eine Energiegröße. Was sagt diese Energiegröße aus? Um das Ganze besser zu verstehen, ist es wichtig anzunehmen, dass die rollende Kiste perfekt rollt, damit die Reibung keinen Einfluss auf die Bewegung der Kiste hat. Dann hat die entlang der Strecke \(s\) geschobene Rollkiste mit der Kraft \(F\) eine Energie von der Größe \(F \, s\) gewonnen und zwar in Form von kinetischer Energie (Bewegungsenergie). Wäre die Reibungskraft nicht vernachlässigt worden, wäre die Rollkiste irgendwann zum Stehen geblieben und die gewonnene kinetische Energie \( F \, s \) hätte die Rollkiste irgendwann wieder verloren.

Die Arbeit ist also die Energiedifferenz zwischen der Energie \(W_{\text{vor}}\), die der Körper VOR der Einwirkung der Kraft hatte und der Energie \(W_{\text{nach}}\), die der Körper NACH der Einwirkung der Kraft hatte.Die an einem Körper verrichtete Arbeit \(W\) ist die Energie, die der Körper durch die auf ihn einwirkende Kraft, gewinnt oder verliert.

Ist Arbeit positiv oder negativ?

Die Arbeit \(W\) kann positiv oder negativ sein, je nach dem, ob die Energiedifferenz 2\[ W ~=~ W_{\text{nach}} ~-~ W_{\text{vor}} \]positiv oder negativ ist.

Wenn die Energiedifferenz und damit auch die Arbeit positiv ist: \( W > 0 \), dann muss nach 2 die Energie \(W_{\text{nach}}\) nach der Einwirkung der Kraft auf den Körper, größer geworden sein als die Energie \( W_{\text{vor}}\), die der Körper vor der Einwirkung der Kraft besaß: \( W_{\text{nach}} > W_{\text{vor}} \). Der Körper hat diese Energiemenge gewonnen.Wenn die verrichtete Arbeit \(W > 0 \) positiv ist, dann hat dieser Körper die Energie \(W\) gewonnen. Man sagt: Es wird Arbeit AM Körper verrichtet.

Wenn die Energiedifferenz und damit auch die Arbeit negativ ist: \( W < 0 \), dann muss nach 2 die Energie \(W_{\text{nach}}\) nach der Einwirkung der Kraft auf den Körper, kleiner geworden sein als die Energie \( W_{\text{vor}}\), die der Körper vor der Einwirkung der Kraft besaß: \( W_{\text{nach}} < W_{\text{vor}} \).Wenn die verrichtete Arbeit \(W < 0 \) negativ ist, dann hat dieser Körper die Energie \(W\) verloren. Man sagt: Es wird Arbeit VOM Körper verrichtet.

Kraft NICHT parallel zur Verschiebung

Was ist nun, wenn die zurvor im Beispiel betrachtete Kraft \(F\), mit deren Hilfe die Energiemenge \(W\) dem Rollkasten zugeführt wurde, NICHT parallel zur Verschiebung einwirkt? Dann kommt zusätzlich der Winkel \(\alpha\) ins Spiel. Das ist der Winkel zwischen dem Kraftvektor und dem Vektor der Verschiebung, der eben in Richtung der Verschiebung zeigt, also entlang der Rennbahn in unserem Beispiel.

Wenn der Winkel \(\alpha = 0^{\circ} \) ist, dann sind der Kraftvektor und der Verschiebungsvektor parallel zueinander. Der Cosinus von Null Grad ist \(\cos(0) = 1 \) und es ergibt sich der einfachste Fall, der durch die Formel 1 beschrieben wird. Die am Körper verrichtete Arbeit \(W\) ist dann maximal.

Wenn der Winkel \(\alpha = 90^{\circ} \) ist, dann sind der Kraftvektor und der Verschiebungsvektor orthogonal zueinander. Der Cosinus von 90 Grad ist \(\cos(90) = 0 \) und damit wird nach 3 die am Körper verrichtete Arbeit ebenfalls Null. Also minimal!Im physikalischen Sinne wird am Körper keine Arbeit verrichtet, wenn die Kraft orthogonal zur Verschiebung wirkt.

Arbeit vektoriell formuliert

Die Arbeit \(W\) lässt sich auch mithilfe des sogenannten Skalarprodukts '\(\cdot\)' zwischen dem Kraftvektor \(\boldsymbol{F}\) und dem Verschiebungsvektor \(\boldsymbol{s}\) ausdrücken:

Auf diese Weise lässt sich die Arbeit im Raum, also in drei Dimensionen berechnen.