Level 2
Lorentzkraft: wie Ladung im Magnetfeld abgelenkt wird
Lorentzkraft ist allgemein die Summe aus elektrischer und magnetischer Kraft, die auf ein elektrisch geladenes Teilchen mit der Ladung \( q \) wirkt, wenn es sich mit der Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) in einem Magnetfeld \( \class{violet}{B} \) und in einem elektrischen Feld \( \class{gray}{E} \) bewegt. Je nach dem, wie sich die Bewegungsrichtung des Teilchens relativ zur Magnetfeldrichtung steht, ist die Lorentzkraft unterschiedlich. Das wird durch den Winkel \( \alpha \) zwischen \( \class{blue}{v} \) und \( \class{violet}{B} \) bestimmt.
Elektrischer Anteil der Lorentzkraft
Der erste Summand in der Formel 1
für Lorentzkraft steht für elektrische Kraft \(F_{\text e}\):
Die elektrische Feldstärke \( \class{gray}{E} \) sagt aus, welche Kraft eine Ladung auf eine andere Ladung ausüben kann, also: Kraft pro Ladung:3\[ \class{gray}{E} ~=~ \frac{F_{\text e}}{q} \]
Nah an der Ladung ist das Feld am stärksten und wird schwächer, je weiter sich die elektrischen Ladungen voneinander entfernen. Am Ort des Elektrons hat das vom Proton erzeugte elektrische Feld einen bestimmten Wert \(F_{\text e}\).
Wenn es kein äußeres elektrisches Feld \( \class{gray}{E} \), in dem sich die Ladung bewegt, gibt, dann verschwindet der elektrische Anteil der Lorentzkraft: \( F_{\text e} ~=~ q\cdot 0 ~=~ 0 \). Es bleibt dann nur der magnetische Anteil \( F_{\text m} \) über.
Magnetischer Anteil der Lorentzkraft
Der zweite Summand in der Lorentzkraft 1
steht für die magnetische Kraft \(\class{green}{F_{\text m}}\), die auf eine elektrische Ladung \(q\) im Magnetfeld \( \class{violet}{B} \) wirkt, wenn sich die Ladung mit der Geschwindigkeit \(\class{blue}{v} \) bewegt:
Im Folgenden nehmen wir an, dass die Ladung sich nur in einem Magnetfeld \(\class{violet}{B}\) befindet. Das heißt, wir kein elektrisches Feld \( E \) und damit auch keine elektrische Kraft auf die Ladung. Dann ist Lorentzkraft \(F\) gleich der magnetischen Kraft \(\class{green}{F_{\text m}}\):5\[ \class{green}{F} ~=~ \class{green}{F_{\text m}} ~=~ q \, \class{blue}{v} \, \class{violet}{B} \, \sin(\alpha) \]
Damit eine magnetische Kraft \( \class{green}{F} \) auf ein Teilchen wirken kann, muss es folgende Eigenschaften erfüllen:
- Das Teilchen muss sich bewegen - ansonsten wäre Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} ~=~ 0\) und damit auch die Lorentzkraft: 6\[ \class{green}{F} ~=~ q ~\cdot~ 0 ~\cdot~ \class{violet}{B} \, \sin(\alpha) ~=~ 0 \]
- Das Teilchen darf nicht neutral sein - denn neutrale Teilchen besitzen keine Ladung \(q ~=~0 \). Deshalb würde auch in diesem Fall die Lorentzkraft verschwinden: 7\[ \class{green}{F} ~=~ 0 ~\cdot~ \class{blue}{v} \, \class{violet}{B} \, \sin(\alpha) ~=~ 0 \]
Wenn Du sichergestellt hast, dass das Teilchen die obigen zwei Eigenschaften erfüllt, dann kannst Du den Betrag der Lorentzkraft (in 7
) berechnen. Es können im Prinzip 3 Fälle eintreten. Die Ladung bewegt sich...
- parallel zum Magnetfeld: \( \class{blue}{v} \) || \( \class{violet}{B} \)
- senkrecht zum Magnetfeld: \( \class{blue}{v} \) ⊥ \( \class{violet}{B} \)
- schräg zum Magnetfeld: unter dem Winkel \(\alpha\)
Fall 1: Bewegung parallel zum Magnetfeld
In diesem Fall ist der Winkel, der in der Formel für Lorentzkraft steckt: \( \alpha \) = 0. Sinus von 0 Grad ist 0, weshalb keine magnetische Kraft auf das Teilchen wirkt und sie deshalb verschwindet: 8\[ \class{green}{F} ~=~ 0 \]
Fall 2: Bewegung senkrecht zum Magnetfeld
Wenn zwei Vektoren (solche Pfeilchen und so) - in diesem Fall Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) und magnetische Flussdichte \( \class{violet}{B} \) - senkrecht aufeinander stehen, dann bedeutet das, dass sie einen \(90^\circ\)-Winkel einschließen. Und wie Du vielleicht aus Mathematik weißt: Sinus von 90 Grad ist 1. Deshalb kannst Du vereinfacht schreiben:
Wenn Du noch zusätzlich die Richtung der Kraft - ohne Vektorrechnung - bestimmen willst, dann benutze die Drei-Finger-Regel dafür!
Die Drei-Finger-Regel, mit der Du Richtung der Lorentzkraft bestimmen kannst, darfst Du nur im Fall 2 verwenden! In zwei übrigen Fällen gilt sie nicht! Kurze Wiederholung zur Drei-Finger-Regel:
- Daumen - zeigt in Richtung der Ursache, hier Bewegung der Ladung, also in Richtung der Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \).
- Zeigefinger - zeigt in Richtung des magnetischen Südpols (in der Schule meistens mit grüner Farbe markiert).
- Mittelfinger - zeigt Dir die Lorentzkraft-Richtung, sobald Du die anderen beiden Finger richtig gerichtet hast.
Für positive Ladungen (z.B. Protonen) musst Du rechte Hand verwenden und für negative Ladungen (z.B. Elektron) linke Hand. Wenn Du beispielsweise mittels einer Elektronenkanone eine negative Ladung \( q = -e \) in ein - in Deinen Bildschirm hinein gerichtetes - Magnetfeld \( \class{violet}{B} \) hineinschießt, und zwar so, dass die Ladung mit einer konstanten Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) senkrecht (d.h. Fall 2) ins Magnetfeld eintritt, dann erfährt sie - wie Du weißt - eine Lorentzkraft und wird nach oben abgelenkt. Die Ladung fliegt aber nicht einfach so geradeaus nach oben, sondern durchläuft eine Kreisbahn, denn: Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) der Ladung und auf sie einwirkende Lorentzkraft \( \class{green}{F} \) stehen senkrecht aufeinander, weshalb die Ladung auf eine Kreisbahn gezwungen wird. Wenn Du den Radius \( r \) der Kreisbahn berechnen möchtest, setzt Du einfach die Lorentzkraft in An der Formel Die Stärke des Magnetfelds kannst Du beispielsweise dadurch beurteilen, in dem Du den Radius der entstandenen Kreisbahn betrachtest. Denn, je größer der Radius, desto schwächer ist das Magnetfeld. Wenn Du noch die Periodendauer \( T \) berechnen möchtest, also die Zeit, die das Teilchen benötigt, um genau eine Kreisbewegung zu machen, dann bedienst Du Dich der Formel für gleichförmige Bewegung:12\[ s ~=~ \class{blue}{v} \, t \] Diese Formel ist hier erlaubt, da Betrag der Geschwindigkeit des Teilchens (nicht jedoch seine Richtung!) zu jedem Zeitpunkt konstant ist, weshalb es sich tatsächlich um eine gleichförmige und nicht um eine beschleunigte Bewegung handelt. Die Strecke \( s \) - ist dabei der Umfang des Kreises, also: \( s = 2\pi \, r \). Zeit \( t \) ist die Periodendauer \( T \). Die Periodendauer sagt aus, wie lange ein Kreisumlauf dauert. Du hast jetzt alles, was Du brauchst! Setze den Umfang \( s \) in Entstehung der Kreisbewegung
Radius der Kreisbahn berechnen
5
mit der Zentripetalkraft gleich: 10\[ q \, \class{blue}{v} \, \class{violet}{B} ~=~ \frac{m \, \class{blue}{v}^2}{r} \]
Lorentzkraft wirkt ebenfalls wie Zentripetalkraft immer in die Kreismitte, deswegen ersetzt sie hier die Zentripetalkraft. Forme die Gleichung 10
nach \( r \) um, dann hast Du:11
kannst Du einige nützliche Informationen über den Kreisbahnradius entnehmen.Je höher die Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) oder die Masse \( m \) des Teilchens ist, desto größer ist der durchflogene Kreis.Je größer magnetische Flussdichte \( \class{violet}{B} \) oder die elektrische Ladung \( q \) ist, desto kleiner ist der durchflogene Kreis.Periodendauer der Kreisbewegung
12
ein. Dabei ist die Zeit \( t \) in 12
die gesuchte Periodendauer \( T \): \( t = T \). Setze außerdem den Radius aus 11
in 12
ein:
Fall 3: Bewegung schräg zum Magnetfeld
Du interessierst Dich für den Betrag der magnetischen Kraft auf eine Ladung, die sich nicht unbedingt genau senkrecht zum Magnetfeld bewegt. Die Ladung könnte sich ja auch irgendwie zum Teil parallel zum Magnetfeld bewegen. Deshalb betrachtest Du:
Ist die Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) schräg zur magnetischen Flussdichte \( \class{violet}{B} \) gerichtet, dann kann Geschwindigkeit in einen parallelen \( \class{blue}{v_{||}} \) und einen senkrechten \( \class{blue}{v_{\perp}} \) Anteil zum Magnetfeld zerlegt werden.
Der parallele Anteil hat - im Gegensatz zum senkrechte Anteil - keinen Einfluss auf magnetische Kraft und damit ist dieser Teil nicht verantwortlich für die Ablenkung des Elektrons im Magnetfeld; denn senkrechter Anteil schließt mit der magnetischen Flussdichte \( \class{violet}{B} \) einen Winkel von 0 Grad ein, weshalb die Kraft für diesen Anteil verschwindet (wegen \( \sin(0^{\circ}) ~=~ 0 \)): 15\[ \class{green}{F} ~=~ q \, \class{blue}{v_{||}} \, \class{violet}{B} \, \sin(0^{\circ}) ~=~ 0 \]
Durch eine teilweise Bewegung parallel und eine teilweise Bewegung senkrecht zum Magnetfeld, entsteht dabei eine zylindrische Spiralbahn, eine sogenannte Helix. Ihre Achse ist parallel zum Magnetfeld. Sie besitzt einen Radius \(r\) und Ganghöhe \(h\). Wobei Ganghöhe einfach eine Strecke parallel zum Magnetfeld ist, die innerhalb einer Periodendauer \(T\) zurückgelegt wird.
Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter
Lorentzkraft wirkt nicht nur auf einzelne Ladungen, sondern auch auf ganze elektrische Ströme! Sie stellen nichts anderes als elektrische Ladungen dar, die sich beispielsweise durch einen elektrischen Leiter bewegen.
Ladungen im Leiter (die den elektrischen Strom darstellen), legen die Länge des Leiters \( L \) innerhalb einer bestimmten Zeit \( t \) zurück. Strecke pro Zeit ist definiert als Geschwindigkeit (in diesem Fall Geschwindigkeit der Ladungen im Leiter): 16\[ \class{blue}{v} ~=~ \frac{L}{t} \]
Einsetzen der Geschwindigkeit in die Lorentzkraft-Formel und umordnen von \( t \) ergibt:17\[ \class{green}{F} ~=~ \frac{q}{t} \, L \, \class{violet}{B} \]Und \( \frac{q}{t} \) ist als Stromstärke \( \class{blue}{I} \) definiert. Insgesamt hast Du:
Lorentzkraft zwischen zwei Leitern
Stell Dir zwei elektrische Kabel parallel nebeneinander vor und lasse durch einen den elektrischen Strom \( \class{blue}{I_1} \) und durch anderen \( \class{blue}{I_2} \) in gleiche Richtung fließen. Du wirst feststellen, dass sich die beiden Leiter aufgrund der Lorentzkraft anziehen. Aber wie denn - ohne Magnetfeld? Der Grund ist:Jede bewegte Ladung erzeugt ihr eigenes Magnetfeld!
Das von den Ladungen im Leiter erzeugte Magnetfeld umfasst den Leiter. Außerdem ist das erzeugte Magnetfeld nicht an einem bestimmten Ort konzentriert, sondern ausgedehnt. Aufgrund dieser Ausdehnung ist der andere Leiter plötzlich in einem äußeren Magnetfeld.
Gehst Du analog mit dem anderen Leiter vor, wirst Du feststellen, dass das Magnetfeld am Ort des anderen Leiters in entgegengesetzte Richtung zeigt, sodass die Lorentzkraft auch in entgegengesetzte Richtung als beim anderen Leiter zeigt.Zwei Leiter im Magnetfeld mit gleicher Stromrichtung erfahren eine anziehende Kraft!
Was passiert, wenn die elektrischen Ströme in den Leitern jeweils in entgegengesetzte Richtung gehen?Zwei Leiter im Magnetfeld mit entgegengesetzter Stromrichtung erfahren eine abstoßende Kraft!
Du kannst die Kraft, die jeweils ein Leiter - aufgrund des anderen Leiters - erfährt, folgendermaßen berechnen: