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Gradient: Richtungsableitung & Steigung berechnen

Gradient - ist eine Ableitung der skalaren Funktion \( f \) nach ihren Variablen \(x_1,x_2,...x_n\) mithilfe des Nabla-Operators, sodass aus dem skalaren Feld \( f \) ein vektorielles Feld \( \nabla \, f \) entsteht.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Was sind skalare & vektorielle Felder?

Skalares Feld - ist im dreidimensionalen Fall eine skalare Funktion \( f(x,y,z) \), die jedem Ort \((x,y,z)\) des Raumes, eine stinknormale Zahl zuordnet.

Ergebnis eines skalaren Feldes Am Ort \((x,y,z)=(1,0,1)\) herrscht eine Temperatur von \( f(1,0,1) = 42^{\circ} \, \text C \).

Vektorielles Feld - ist im dreidimensionalen Fall eine vektorielle Funktion \( \),\[ \boldsymbol{F}(x,y,z)~=~ \begin{bmatrix}F_1(x,y,z)\\F_2(x,y,z)\\F_3(x,y,z)\end{bmatrix} \]die jedem Ort \( (x,y,z) \) im Raum einen Vektor zuordnet.

Ergebnis eines vektoriellen Feldes Am Ort \((x,y,z) = (0,1,1) \) wirkt eine Kraft:\[ \boldsymbol{F}(0,1,1)~=~ \begin{bmatrix}5\\3\\1\end{bmatrix} \]

Gradient eines skalaren Feldes \( f(x,y,z) \) wird mit dem Nabla-Operator \( \nabla \) gebildet. Je nach Dimension und Koordinaten unterscheiden sich die Komponenten des Nabla-Operators. Im dreidimensionalen Fall (d.h. drei Komponenten) und in kartesischen Koordinanen \((x,y,z)\):

Nabla-Operator1\[ \nabla ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial }{ \partial{x} } \\ \frac{ \partial }{ \partial{y} } \\ \frac{ \partial }{ \partial{z} } \end{bmatrix} \]

Wie Du an 1 siehst, sind die Komponenten des Nabla-Operators partielle Ableitungen einer skalaren Funktion nach den Ortskoordinaten \(x,y,z\).

Wende 1 auf ein skalares Feld \( f(x,y,z) \) an. Das geht folgendermaßen:

Gradient einer 3D-Funktion - kartesische Koordinaten2\[ \nabla \, f ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{ \partial x} \\ \frac{ \partial f}{\partial y} \\ \frac{ \partial f}{ \partial z} \end{bmatrix} \]

Das Ergebnis von 2 ist ein vektorielles Feld \( \nabla \, f \), genannt Gradientenfeld.

Da die erste Ableitung einer Funktion \(f\) der Steigung dieser Funktion entspricht, sind die Komponenten des entstandenen Gradientenfeldes, Steigungen in \(x-,y-\) und \(z-\)Richtung: 3\[ \nabla{f} ~=~ \begin{bmatrix} \text{Steigung in x-Richtung} \\ \text{Steigung in y-Richtung} \\ \text{Steigung in z-Richtung} \end{bmatrix} \]

Das in 2 mittels des Gradienten gebildete Vektorfeld besitzt nun einen Betrag und eine Richtung (es ist ja ein Vektor). Seine Richtung zeigt zum steilsten Anstieg der Funktion \(f\). Befindest Du Dich am Ort eines lokalen Extremums (Maximum oder Minimum) oder am Sattelpunkt einer Funktion dann ist Gradient der Nullvektor. Er ist aber auch dann Nullvektor, wenn die Funktion \(f\) konstant ist.

Beispiel #1: Gradient einer Skalarfunktion
So sieht das Gradientenfeld der Beispielfunktion aus.

Gegeben ist eine zweidimensionale skalare Funktion \( \varphi(x,y) = x^2 + 5xy \). Mit 'zweidimensional' ist gemeint, dass die Funktion nicht wie üblich von drei Ortskoordinaten \(x,y,z\) abhängt, sondern nur von zwei \(x,y\) und das diese nur in einer Ebene visualisiert wird. Auf diese Weise kann der Gradient - wie in der Abbildung - leichter veranschaulicht werden, weil das Ergebnis der Gradientenbildung in einer Ebene liegt (2d). Der Nabla-Operator kann also wegen der zweidimensionalität der Skalarfunktion auf zwei Komponenten reduziert werden: \[ \nabla \, \varphi(x,y) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial \varphi}{ \partial x} \\ \frac{ \partial \varphi}{ \partial y} \end{bmatrix} \]

Ableiten der Skalarfunktion nach den jeweiligen Variablen ergibt folgendes Gradientenfeld:\[ \nabla \, \varphi(x,y) ~=~ \begin{bmatrix} 2x+5y \\ 5x \end{bmatrix} \]

Beispiel #2: Homogenes Vektorfeld
Das Gradientenfeld der Beispielfunktion ist ein homogenes Vektorfeld.

Gegeben ist eine skalare Funktion \( \varphi(x) = x \), die nur von einer Ortskoordinate abhängt. Bilde den Gradienten:\[ \nabla \, \varphi(x) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial \varphi}{ \partial x} \\ \frac{ \partial \varphi}{ \partial y} \end{bmatrix} \]

Das Gradientenfeld ist an jedem Ort konstant:\[ \nabla \, \varphi(x) ~=~ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Das Vektorfeld ist an jedem Ort konstant ist, weil die Ableitung der obigen Skalarfunktion nach \(x\) eine Konstante ergibt. Das Vektorfeld hat auch keinen Beitrag in \(y\)-Richtung, weil die Skalarfunktion nicht von \(y\) abhängt und die Ableitung nach \(y\) Null ist.

Beispiel #3: Lineares Vektorfeld
Das Gradientenfeld der Beispielfunktion nimmt linear mit \(x\) zu.

Gegeben ist eine skalare Funktion \( \varphi(x) = x^2 \), die nur von der Koordinate \(x\) abhängt. Bilde den Gradienten:\[ \nabla \, \varphi(x) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial \varphi}{ \partial x} \\ \frac{ \partial \varphi}{ \partial y} \end{bmatrix} \]

Das Gradientenfeld sieht nach dem Differenzieren folgendermaßen aus:\[ \nabla \, \varphi(x) ~=~ \begin{bmatrix} 2x \\ 0 \end{bmatrix} \]

Das Vektorfeld nimmt in \(x\)-Richtung linear zu. Das Vektorfeld hat wie im Beispiel #2 keinen Beitrag in \(y\)-Richtung.

Warum zeigt Gradient zum steilsten Anstieg?

Wenn Du in den berechneten Gradienten 2 Koordinaten eines Ortes einsetzt, wirst Du beim Zeichnen des Gradientenfeldes feststellen, dass der Vektor an dem jeweiligen Ort in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt; sprich: der Betrag des Gradienten am diesem Ort ist am größten (der Betrag der Steigung ist am größten)! Das kannst Du Dir verdeutlichen, indem Du das Skalarprodukt des Gradienten mit einem normierten, beliebigen Vektor \(\boldsymbol{ v }\) betrachtest, der in die Richtung zeigt, in die Du Dich bewegen möchtest:4\[ \nabla{f} ~\cdot~ \boldsymbol{ v } \]

Mithilfe der Definition des Skalarproduktes lässt sich 4 auch geometrisch interpretieren:5\[ \nabla \, f ~\cdot~ \boldsymbol{v} ~=~ |\nabla \, f| \, |\boldsymbol{v}| \, \cos(\alpha) \]

Der Cosinus in 5 hat dabei sein Maximum \( \cos(\alpha)=1 \) bei \(\alpha=0\). Bei \( \alpha=90 \) stehen die Vektoren \( \nabla \, f \) und \( \boldsymbol{v} \) senkrecht aufeinander und bei \(\alpha=0\) sind sie parallel zueinander. Parallele Vektoren haben gleiche Steigungen:6\[ \nabla{f}\cdot\boldsymbol{ v }=|\nabla{f}||\boldsymbol{v}|*1 \]

Lass uns den Vektor \(\boldsymbol{v}\) normieren. Wenn er normiert ist, dann hat er einen Betrag von \(|\boldsymbol{v}| = 1\). Damit verwandelt sich das Skalarprodukt des Gradientenfeldes mit einem normierten Vektor in den Betrag des Gradientenfeldes:7\[ \nabla{f}\cdot\boldsymbol{ v }=|\nabla{f}|*1*1=|\nabla{f}| \]

Für den steilsten Anstieg bleibt nur der Gradient über.

Richtungsableitung berechnen: in 4 Schritten

Wenn Du nicht die Richtung des steilsten Anstiegs berechnen möchtest, sondern den Anstieg in eine beliebige Richtung, dann geht das so:

Steigung in Richtung eines normierten Vektors \(\boldsymbol{v}/|\boldsymbol{v}|\): 8\[\nabla{f} ~\cdot~ \frac{\boldsymbol v}{|\boldsymbol{v}|} \]
  1. Berechne den Gradienten \( \nabla f \) aus einer gegebenen skalaren Funktion \( f \).
  2. Normiere den Vektor \( \boldsymbol{ v } \), in dem Du den durch seinen Betrag teilst:\[ \frac{ \boldsymbol{ v } }{ |\boldsymbol{ v }| } \]
  3. Bilde Skalarprodukt vom normierten Vektor und dem Gradienten von \( f \) wie in 8.
  4. Setze für die Variablen \( x, y, z \) Deinen gewünschten Punkt ein, an dem Du die Steigung in Richtung von \( \boldsymbol{v} \) berechnen möchtest.
Beispiel: Richtungsableitung berechnen

Du möchtest herausfinden, wie sich die Funktion9\[ f(x,y,z) ~=~ 2x^2 + 3y + xz \]in Richtung \( \boldsymbol{ v } = (1,1,0) \) am Ort \( (0,1,0) \) ändert. Dazu gehst Du folgendermaßen vor:

Du berechnest den Gradienten \( \nabla f \). Dazu leitest Du das gegebene Skalarfeld 9 partiell nach jeder Ortskoordinate \(x,y,z\) ab. Die Ableitungen stellen dann die drei Komponenten des Gradientenfeldes dar:10\[ \nabla f ~=~ \begin{bmatrix} 4x+z \\ 3 \\ x \end{bmatrix} \]

Dann normierst Du die Richtung \( \boldsymbol{v} \), in dem Du den Vektor durch seinen Betrag dividierst: 11\[ \frac{ \boldsymbol{ v } }{ |\boldsymbol{ v }| } ~=~ \frac{ \left(1,1,0\right) }{ |\left(1,1,0\right)| } = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }\left(1,1,0\right) \]

Anschließend berechnest Du die Richtungsableitung, in dem Du das Skalarprodukt von 10 und 11 bildest:12\[ \begin{bmatrix} 4x+z \\ 3 \\ x \end{bmatrix} ~\cdot~ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} ~=~ \frac{1}{\sqrt{2}}(4x+z+3) \]

Und zum Schluss setzt Du in 12 den gewünschten konkreten Punkt \( (0,1,0) \) für \(x,y,z\) ein, um dort die Richtungsableitung herauszufinden:13\[ \frac{1}{\sqrt{2}}(4*0+0+3) ~=~ \frac{3}{\sqrt{2}} \]

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