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Gradient: Richtungsableitung & Steigung berechnen

Eine zweidimensionale Skalarfunktion - 3D Plot
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Der Gradient einer Funktion \(f\) ist nichts als eine mehrdimensionale Ableitung der Funktion \(f\). Um das genau zu verstehen, schauen wir uns den einfachsten Fall an, nämlich den eindimensionalen Fall.

Zutat: Skalarfunktionen

Betrachten wir dazu eine Funktion \(f(x,y,z)\), die von den drei Ortskoordinaten \(x,y,z\) abhängt. Die drei Variablen müssen nicht unbedingt Orte sein, sie können auch andere Größen darstellen. Wir interpretieren sie aber als Ortskoordinaten, weil wir eine Raumposition leicht veranschaulichen können.

Die Funktion \(f(x,y,z)\) weist jedem Ort \((x,y,z)\) im Raum eine Zahl zu. Zum Beispiel könnte \(f(x,y,z)\) eine Temperaturfunktion \(T(x,y,z)\) sein, die jedem Ort im Raum eine Temperatur \(T(x,y,z)\) zuweist.

Beispiel: Temperaturverteilung im RaumDie Temperatur im Raum wird beispielhaft durch die folgende Funktion beschrieben:1\[ T(x,y,z) ~=~ y + z + 5 \]

Dann wäre die Temperatur am Ort \((x,y,z) = (1,2,5)\):1.1\[ T(1,2,5) ~=~ 2 + 5 + 5 ~=~ 12 \](das könnten dann z.B. 12 Grad Celsius sein). Oder am Ort \((x,y,z) = (0,0,0)\):1.2\[ T(0,0,0) ~=~ 0 + 0 + 5 ~=~ 5 \]

An diesem Beispiel siehst du außerdem, dass eine Funktion, wie 1, nicht explizit von \(x\) (oder von \(y\) oder \(z\)) abhängen muss. Das, was in der Klammer bei \(T(x,y,z)\) steht, ist in diesem Fall der Ort im dreidimensionalen Raum und der hat eben drei Ortskoordinaten.

Was ist eine Skalarfunktion?Eine Funktion \(f(x,y,z)\), die jedem Ort \((x,y,z)\) im Raum, eine Zahl (einen Skalar) zuordnet, wird als Skalarfunktion bezeichnet.

Du kannst dir eine Skalarfunktion \( f(x,y,z) \) besser veranschaulichen, wenn wir eine Skalarfunktion \( f(x,y) \) betrachten, die nur von zwei Orskoordinaten \((x,y)\) abhängt. Dann kannst du dir \( f(x,y) \) wie eine gekrümmte Fläche mit Bergen und Tälern vorstellen (quasi als eine Landschaft).

Beispiel für eine Skalarfunktion \(f(x,y)\) mit Bergen und Tälern.

Gradient in einer Dimension

Du stehst an irgendeinem Ort \((x,y)\) auf dieser Landschaft und möchtest wissen, wie groß wäre die Steigung, wenn du beispielsweise in \(x\)-Richtung gehst? Die Steigung einer Funktion (hier als Landschaft) in \(x\)-Richtung ist die Ableitung der Funktion nach \(x\):2\[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} ~=~ \text{Steigung in}~x-\text{Richtung} \]

Wie finden wir die Steigung von der Landschaft \(f(x,y)\) heraus, wenn wir in \(y\)-Richtung gehen? Wir leiten \(f(x,y)\) nach \(y\) ab:3\[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} ~=~ \text{Steigung in}~y-\text{Richtung} \]

Je nach dem, an welchem Ort \((x,y)\) wir sind, sind die Steigungen 2 und 3 natürlich unterschiedlich groß.

  • Auf dem Berg geht es in \(x\) und \(y\)-Richtungen eher bergab - das heißt, dass beide Steigungen negativ sind und eher groß.
  • In einem Tal geht es bergauf - das heißt, dass beide Steigungen positiv sind und eher groß.
  • Und in einem Plateau ist die Landschaft flach - das heißt, dass die Steigungen in beide Richtungen Null sind.
Beispiel: Steigung in \(x\)-RichtungGegeben ist eine Landschaft, die durch die folgende Skalarfunktion beschrieben wird:4\[ f(x,y)~=~ x^2 + 3y \]Wir möchten wissen, wie steil ist es, wenn wir in \(x\)-Richtung gehen. Dazu bestimmen wir die Ableitung nach \(x\):4.1\[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} ~=~ 2x \]

Die berechnete Steigung 4.1 in \(x\)-Richtung ist allgemein gehalten. Wenn wir die Steigung am Ort \((x,y) = (2,1)\) bestimmen wollen, setzen wir den Ort in 4.1 ein:4.2\[ \frac{\partial f(2,1)}{\partial x} ~=~ 4 \]Die Ableitung 4.1 ist unabhängig von \(y\), deshalb wird das \(y\) im betrachteten Ort ignoriert.

Der Gradient einer Funktion \(f\) in einer Dimension, ist die Steigung von \(f\) in \(x\)-Richtung (oder in \(y\)-Richtung):5\[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \]

In einer Dimension ist der Gradient eine reine Zahl, nämlich die Steigung in die betrachtete Richtung.

Gradient in zwei Dimensionen

Was ist, wenn wir nicht nur die Steigung in \(x\)-Richtung, sondern auch in \(y\)-Richtung betrachten wollen? Dann haben wir zwei Ableitungen:6\[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} ~~~\text{und}~~~ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \]

Wir können sie separat betrachten oder wir können sie kombinieren, um daraus ein neues mathematisch Objekt zu schaffen, das in Physik und Mathematik nicht mehr wegzudenken ist, nämlich den Gradient in mehr als einer Dimension. In unserem Fall hier: In zwei Dimensionen.

Dazu schreiben wir die beiden Ableitungen 6 in einem Spaltenvektor auf:7\[ \begin{bmatrix} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} \text{Steigung in}~x-\text{Richtung} \\ \text{Steigung in}~y-\text{Richtung} \end{bmatrix} \]

Um 7 etwas kompakter zu halten, lassen wir \((x,y)\) weg, denken aber im Hinterkopf daran, dass \(f\) trotzdem von \(x\) und \(y\) abhängen kann:8\[ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} \text{Steigung in}~x-\text{Richtung} \\ \text{Steigung in}~y-\text{Richtung} \end{bmatrix} \]

Indem wir die Ableitung in einer Spalte übereinander geschrieben haben, haben wir dadurch eine Vektorfunktion (auch Vektorfeld genannt) erhalten. Dieser Vektor hat einen Betrag und eine Richtung. Doch bevor wir uns anschauen, in welche Richtung der zweidimensionale Gradient 8 zeigt, schreiben wir ihn etwas um. Dazu ziehen wir die Funktion \(f\) aus dem Vektor heraus:9\[ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix} \, f \]

Der Vektor mit alleinstehenden Ableitungen ist ein sogenannter Operator. Alleinstehend macht ein derartiger Operator natürlich wenig Sinn. Ein Operator entfaltet erst dann seine Wirkung, wenn er auf eine Funktion angewendet wird, wie in diesem Fall auf die Skalarfunkion \(f\). Dieser Operator in 9 wird als Nabla-Operator \(\nabla\) bezeichnet:

Nabla-Operator in 2d10\[ \nabla ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial }{ \partial{x} } \\ \frac{ \partial }{ \partial{y} } \end{bmatrix} \]

Damit können wir den Gradient auch folgendermaßen schreiben:

Gradient in 2d11\[ \nabla \, f ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial f }{ \partial{x} } \\ \frac{ \partial f }{ \partial{y} } \end{bmatrix} \]

Da der Gradient 11 ein Vektor (genauer: ein Vektorfeld) ist, wird er auch als Gradientenvektor oder Gradientenfeld bezeichnet.

Gradient in drei Dimensionen

In Physik ist der Gradient üblicherweise dreidimensional und sieht folgendermaßen aus:

Gradient in 3d12\[ \nabla \, f ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{ \partial x} \\ \frac{ \partial f}{\partial y} \\ \frac{ \partial f}{ \partial z} \end{bmatrix} \]

Hier haben wir lediglich die Funktion \(f\) um die \(z\)-Abhängigkeit ergänzt und die Ableitung von \(f\) nach \(z\) als die dritte Komponente im Gradienten hinzugenommen.

Beispiel #1: Gradient einer Skalarfunktion
So sieht das Gradientenfeld der Beispielfunktion aus.

Gegeben ist eine zweidimensionale skalare Funktion \( \varphi(x,y) = x^2 + 5xy \). Mit 'zweidimensional' ist gemeint, dass die Funktion nicht wie üblich von drei Ortskoordinaten \(x,y,z\) abhängt, sondern nur von zwei \(x,y\) und das diese nur in einer Ebene visualisiert wird. Auf diese Weise kann der Gradient - wie in der Abbildung - leichter veranschaulicht werden, weil das Ergebnis der Gradientenbildung in einer Ebene liegt (2d). Der Nabla-Operator kann also wegen der zweidimensionalität der Skalarfunktion auf zwei Komponenten reduziert werden: 13\[ \nabla \, \varphi(x,y) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial \varphi}{ \partial x} \\ \frac{ \partial \varphi}{ \partial y} \end{bmatrix} \]

Ableiten der Skalarfunktion nach den jeweiligen Variablen ergibt folgendes Gradientenfeld:13.1\[ \nabla \, \varphi(x,y) ~=~ \begin{bmatrix} 2x+5y \\ 5x \end{bmatrix} \]

Beispiel #2: Homogenes Vektorfeld
Das Gradientenfeld der Beispielfunktion ist ein homogenes Vektorfeld.

Gegeben ist eine skalare Funktion \( \varphi(x) = x \), die nur von einer Ortskoordinate abhängt. Bilde den Gradienten:14\[ \nabla \, \varphi(x) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial \varphi}{ \partial x} \\ \frac{ \partial \varphi}{ \partial y} \end{bmatrix} \]

Das Gradientenfeld ist an jedem Ort konstant:14.1\[ \nabla \, \varphi(x) ~=~ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Das Vektorfeld ist an jedem Ort konstant ist, weil die Ableitung der obigen Skalarfunktion nach \(x\) eine Konstante ergibt. Das Vektorfeld hat auch keinen Beitrag in \(y\)-Richtung, weil die Skalarfunktion nicht von \(y\) abhängt und die Ableitung nach \(y\) Null ist.

Beispiel #3: Lineares Vektorfeld
Das Gradientenfeld der Beispielfunktion nimmt linear mit \(x\) zu.

Gegeben ist eine skalare Funktion \( \varphi(x) = x^2 \), die nur von der Koordinate \(x\) abhängt. Bilde den Gradienten:15\[ \nabla \, \varphi(x) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial \varphi}{ \partial x} \\ \frac{ \partial \varphi}{ \partial y} \end{bmatrix} \]

Das Gradientenfeld sieht nach dem Differenzieren folgendermaßen aus:15.1\[ \nabla \, \varphi(x) ~=~ \begin{bmatrix} 2x \\ 0 \end{bmatrix} \]

Das Vektorfeld nimmt in \(x\)-Richtung linear zu. Das Vektorfeld hat wie im Beispiel #2 keinen Beitrag in \(y\)-Richtung.

Gradient zeigt zum steilsten Anstieg

Um zu verstehen, warum der Gradientenvektor \( \nabla f \) in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt, nutzen wir die sogenannte Richtungsableitung aus. Dazu nehmen wir einen Einheitsvektor \(\boldsymbol{v}\), der in irgendeine beliebige Richtung zeigen kann. Das wichtige ist nur, dass er ein Einheitsvektor ist, also normiert ist.

Denk dran, dass der Betrag \( |\nabla f| \) eine Konstante ist, die wir nicht verändern können. Warum nicht? Weil \(f\) fest vorgegeben ist. Wie schon gesagt, du kannst dir die Funktion \(f\) wie eine Landschaft vorstellen, mit Hügeln und Tälern. Auf dieser Fläche befindet sich der Einheitsvektor \( \boldsymbol{v} \), dessen Richtung wir verändern und damit die Landschaft \(f\) abtasten können.

Die Steigung des Schattens von \( \boldsymbol{v} \) auf der Ebene bekommen wir mithilfe des Skalarprodukts:16\[ \nabla{f} ~\cdot~ \boldsymbol{ v } \]Das Skalarprodukt 16 wird als Richtungsableitung bezeichnet.

Das Ergebnis dieses Skalarprodukts ist eine reine Zahl, nämlich die Steigung in die Richtung von \(\boldsymbol{ v }\). Wenn du beispielsweise \(\boldsymbol{ v }\) als Einheitsvektor in \(x\)-Richtung wählst: \(\boldsymbol{ v } = \boldsymbol{\hat e}_{\text x}\) , dann gibt das Skalarprodukt 16 die Steigung in \(x\)-Richtung an.

Dazu müssen wir unseren Einheitsvektor variieren. Wir können herumprobieren und verschiedene Einheitsvektoren in das Skalarprodukt 16 einsetzen. Den steilsten Anstieg hat derjenige Einheitsvektor \(\boldsymbol{ v }\), der das größte Skalarprodukt 16 ergibt.

Statt Herumzuprobieren, gibt es einen raffinierteren Weg, die maximale Steigung in Richtung von \(\boldsymbol{ v }\) herauszufinden. Dazu müssen wir das Skalarprodukt 16 etwas umschreiben. Dazu benutzen wir die geometrische Definition des Skalarproduktes:17\[ \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} ~=~ a \, b \, \cos(\alpha) \]Damit können wir 16 folgendermaßen schreiben:18\[ \nabla f ~\cdot~ \boldsymbol{v} ~=~ |\nabla f| \, v \, \cos(\alpha) \](beachte, dass das nicht-fette \(v\) auf der rechten Seite, der Betrag des fetten Vektors \(\boldsymbol{v}\) ist).

Jetzt ist es deutlich einfacher die maximale Steigung in Richtung von \(\boldsymbol{ v }\) zu bestimmen. Wir haben angenommen, dass der Vektor \( \boldsymbol{v} \) normiert ist. Wenn er normiert ist, dann hat er den Betrag: \( v = 1\). Damit wird 17 zu:19\[ \nabla f ~\cdot~ \boldsymbol{v} ~=~ |\nabla f| \, \cos(\alpha) \]

Soweit so gut. Die einzige Möglichkeit, wie wir die Steigung variieren können, ist durch den Winkel \(\alpha\), der von den Vektoren \(\nabla f\) und \(\boldsymbol{v}\) eingeschlossen wird.

Der Cosinus in 18 hat seinen größten Wert bei \(\alpha=0\): \( \cos(0) ~=~ 1 \). Also nutzen wir das doch aus:20\[ \nabla f ~\cdot~ \boldsymbol{v} ~=~ |\nabla f| \]

Indem wir \(\alpha=0\) gesetzt haben, haben wir die Vektoren \( \nabla \, f \) und \( \boldsymbol{v} \) parallel zueinander ausgerichtet. Das heißt, jetzt zeigt Vektor \( \boldsymbol{v} \) in die gleiche Richtung wie Vektor \( \nabla \, f \). Außerdem haben wir das Skalarprodukt 18, also die Steigung, maximal wie möglich gemacht. Und wie du in 18 siehst, die maximale Steigung ist der Betrag \(|\nabla f|\) des Gradientenvektors. Folglich zeigt der Gradientenvektor \(\nabla f\) in Richtung des steilsten Anstiegs!

Richtungsableitung berechnen: in 4 Schritten

Wenn Du nicht die Richtung des steilsten Anstiegs berechnen möchtest, sondern den Anstieg in eine beliebige Richtung, dann geht das so:

Steigung in Richtung eines normierten Vektors \(\boldsymbol{v}/|\boldsymbol{v}|\): 21\[\nabla{f} ~\cdot~ \frac{\boldsymbol v}{|\boldsymbol{v}|} \]
  1. Berechne den Gradienten \( \nabla f \) aus einer gegebenen skalaren Funktion \( f \).
  2. Normiere den Vektor \( \boldsymbol{ v } \), in dem Du den durch seinen Betrag teilst:\[ \frac{ \boldsymbol{ v } }{ |\boldsymbol{ v }| } \]
  3. Bilde Skalarprodukt vom normierten Vektor und dem Gradienten von \( f \) wie in 8.
  4. Setze für die Variablen \( x, y, z \) Deinen gewünschten Punkt ein, an dem Du die Steigung in Richtung von \( \boldsymbol{v} \) berechnen möchtest.
Beispiel: Richtungsableitung berechnen

Du möchtest herausfinden, wie sich die Funktion22\[ f(x,y,z) ~=~ 2x^2 + 3y + xz \]in Richtung \( \boldsymbol{ v } = (1,1,0) \) am Ort \( (0,1,0) \) ändert. Dazu gehst Du folgendermaßen vor:

Du berechnest den Gradienten \( \nabla f \). Dazu leitest Du das gegebene Skalarfeld 22 partiell nach jeder Ortskoordinate \(x,y,z\) ab. Die Ableitungen stellen dann die drei Komponenten des Gradientenfeldes dar:22.1\[ \nabla f ~=~ \begin{bmatrix} 4x+z \\ 3 \\ x \end{bmatrix} \]

Dann normierst Du die Richtung \( \boldsymbol{v} \), in dem Du den Vektor durch seinen Betrag dividierst: 22.2\[ \frac{ \boldsymbol{ v } }{ |\boldsymbol{ v }| } ~=~ \frac{ \left(1,1,0\right) }{ |\left(1,1,0\right)| } = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }\left(1,1,0\right) \]

Anschließend berechnest Du die Richtungsableitung, in dem Du das Skalarprodukt von 10 und 11 bildest:22.3\[ \begin{bmatrix} 4x+z \\ 3 \\ x \end{bmatrix} ~\cdot~ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} ~=~ \frac{1}{\sqrt{2}}(4x+z+3) \]

Und zum Schluss setzt Du in 12 den gewünschten konkreten Punkt \( (0,1,0) \) für \(x,y,z\) ein, um dort die Richtungsableitung herauszufinden:22.4\[ \frac{1}{\sqrt{2}}(4*0+0+3) ~=~ \frac{3}{\sqrt{2}} \]