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Gradient und wie Du die Richtungsableitung berechnest

Eine zweidimensionale Skalarfunktion - 3D Plot
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Notwendige Zutat: Skalarfunktion Hier lernst du, was skalare Funktionen sind und welche Rolle sie bei der Bildung des Gradienten spielen.
  2. Gradient in einer Dimension Hier lernst du, dass der Gradient in 1d einfach eine partielle Ableitung ist.
  3. Gradient in zwei Dimensionen Hier lernst du, wie Ableitungen in einer Dimension zu einer mehrdimensionalen Ableitung gemacht werden und welche Rolle dabei der Nabla-Operator spielt.
  4. Gradient in drei Dimensionen
  5. Gradient zeigt zum steilsten Anstieg Hier lernst du, wie mithilfe der Richtungsableitung nachvollzogen werden kann, warum der Gradientenvektor in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt.
  6. Richtungsableitung in 4 Schritten berechnen Hier lernst du, wie mit einem Gradienten die Richtung des steilsten Anstiegs bestimmt werden kann.

Der Gradient einer Skalarfunktion \(f\) ist eine mehrdimensionale Ableitung der Funktion \(f\). Im dreidimensionalen Fall bekommst du den Gradienten, wenn du den Nabla-Operator \(\nabla\) auf die Skalarfunktion \(f\) anwendest. Du wirst nach der Lektion verstehen, was damit gemeint ist.

Notwendige Zutat: Skalarfunktion

Eine dreidimensionale Skalarfunktion \(f\) nimmt drei Argumente \(x\), \(y\) und \(z\) an und spuckt eine Zahl (einen Skalar) heraus.

Die drei Variablen \(x,y,z\) sind in der Physik üblicherweise Ortskoordinaten. Im Allgemeinen müssen sie nicht unbedingt Orte sein, sie können auch andere Größen repräsentieren, wie zum Beispiel radialen Abstand und zwei Winkel: \(r,\theta,\varphi\). Wir nehmen hier zur Erklärung des Gradienten an, dass \(x,y,z\) Ortskoordinaten darstellen.

Die Funktion \(f(x,y,z)\) weist jedem Ort \((x,y,z)\) im Raum eine Zahl zu. Zum Beispiel könnte \(f(x,y,z)\) eine Temperaturfunktion \(T(x,y,z)\) sein, die jedem Ort im Raum eine Temperatur \(T(x,y,z)\) zuweist.

Beispiel: Temperaturverteilung im Raum

Die Temperatur im Raum wird beispielhaft durch die folgende Funktion beschrieben:

Beispiel für eine Temperaturfunktion
Anker zu dieser Formel

Dann ist zum Beispiel die Temperatur \(T\) am Ort \((x,y,z) = (1,2,5)\):

Argumente in die Skalarfunktion (Temperatur) eingesetzt
Anker zu dieser Formel

Das könnten dann beispielsweise 12 Grad Celsius sein. Am Ort \((x,y,z) = (0,0,0)\) ist die Temperatur dagegen:

Temperatur an einem anderen Ort
Anker zu dieser Formel

An diesem Beispiel siehst du außerdem, dass eine Funktion, wie 1, nicht explizit von \(x\) (oder von \(y\) oder \(z\)) abhängen muss, die Skalarfunktion kann aber trotzdem höherdimensional sein. Indem wir \(x,y,z\) im Argument von \(T(x,y,z)\) schreiben, deuten wir an, dass es eine dreidimensionale Skalarfunktion ist.

Um eine Skalarfunktion \( f \) besser veranschaulichen zu können, nehmen wir an, dass sie von zwei Ortskoordinaten \((x,y)\) abhängt, also zweidimensional ist. Dann kannst du dir \( f(x,y) \) wie eine gekrümmte Fläche mit Bergen und Tälern vorstellen (quasi als eine Landschaft).

Eine zweidimensionale Skalarfunktion - 3D Plot
Beispiel für eine Skalarfunktion \(f(x,y)\) mit Bergen und Tälern.

Gradient in einer Dimension

Du befindest dich an irgendeinem Ort \((x,y)\) auf dieser Landschaft (Funktion) und möchtest wissen, wie groß die Steigung wäre, wenn du beispielsweise in \(x\)-Richtung gehst. Die Steigung in \(x\)-Richtung ist die Ableitung der Funktion nach \(x\):

Steigung der Funktion in x-Richtung
Anker zu dieser Formel

Wie finden wir die Steigung von der Landschaft \(f(x,y)\) heraus, wenn wir in \(y\)-Richtung gehen? Wir leiten \(f(x,y)\) nach \(y\) ab und bekommen die Steigung in \(y\)-Richtung:

Steigung der Funktion in y-Richtung
Anker zu dieser Formel

Je nach dem, an welchem Ort \((x,y)\) wir sind, sind die Steigungen 2 und 3 natürlich unterschiedlich groß:

  • Auf dem Berg geht es in \(x\) und \(y\)-Richtungen eher bergab - das heißt, dass beide Steigungen negativ sind und eher groß.

  • In einem Tal geht es bergauf - das heißt, dass beide Steigungen positiv sind und eher groß.

  • Und in einem Plateau ist die Landschaft flach - das heißt, dass die Steigungen in beide Richtungen Null sind.

Beispiel: Steigung in \(x\)-Richtung

Gegeben ist eine Landschaft, die durch die folgende Skalarfunktion beschrieben wird:

Beispiel für eine Skalarfunktion
Anker zu dieser Formel

Wir möchten wissen, wie steil ist es, wenn wir in \(x\)-Richtung gehen. Dazu bestimmen wir die Ableitung nach \(x\):

Ableitung der Beispielfunktion nach x
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Die berechnete Steigung 7 in \(x\)-Richtung steigt also linear mit \(x\) an und ist unabhängig an welchem Ort \(y\) wir uns befinden. Wenn wir die Steigung am Ort \((x,y) = (2,1)\) bestimmen wollen, setzen wir diesen Ort in 7 ein:

Steigung der Beispielfunktion an einem bestimmten Ort
Anker zu dieser Formel
Was ist der Gradient in einer Dimension?

Der Gradient einer Funktion \(f(x)\) in einer Dimension, ist die Ableitung von \(f\) nach \(x\). In einer Dimension ist der Gradient eine reine Zahl, nämlich die Steigung in \(x\)-Richtung.

Gradient in zwei Dimensionen

Was ist, wenn wir nicht nur die Steigung in \(x\)-Richtung, sondern auch in \(y\)-Richtung betrachten wollen? Dann müssen wir zwei Ableitungen der Funktion \(f(x,y)\) betrachten:

Ableitungen einer Skalarfunktion nach x und nach y
Anker zu dieser Formel

Wir können die Ableitungen separat betrachten oder wir können sie kombinieren, um daraus ein neues mathematisch Objekt zu schaffen, das in Physik und Mathematik nicht mehr wegzudenken ist, nämlich den Gradient in mehr als einer Dimension. In unserem Fall hier: In zwei Dimensionen.

Dazu schreiben wir die beiden Ableitungen 9 in einem Spaltenvektor auf:

Ableitungen der Funktion in einem Spaltenvektor
Anker zu dieser Formel

Um 10 etwas kompakter zu halten, lassen wir \((x,y)\) Abhängigkeit weg, denken aber im Hinterkopf daran, dass \(f\) trotzdem von \(x\) und \(y\) abhängen kann.

Indem wir die Ableitung in einer Spalte übereinander geschrieben haben, haben wir dadurch eine Vektorfunktion (auch Vektorfeld genannt) erhalten. Dieser Vektor hat einen Betrag und eine Richtung. Doch bevor wir uns anschauen, in welche Richtung der zweidimensionale Gradient 10 zeigt, schreiben wir ihn etwas um. Dazu ziehen wir die Funktion \(f\) aus dem Vektor heraus:

Vektorfunktion mit herausgezogener Funktion
Anker zu dieser Formel

Der Vektor in Gl. 11 mit alleinstehenden Ableitungen ist ein sogenannter Operator. Alleinstehend macht ein derartiger Operator natürlich wenig Sinn. Ein Operator entfaltet erst dann seine Wirkung, wenn er auf eine Funktion angewendet wird, wie in diesem Fall auf die Skalarfunkion \(f\). Dieser Operator in 11 wird als Nabla-Operator \(\nabla\) bezeichnet:

Nabla-Operator in zwei Dimensionen
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Damit können wir den zwedimensionalen Gradient 11 auch folgendermaßen schreiben:

Gradient in 2d
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Da der Gradient 13 ein Vektor (genauer: ein Vektorfeld) ist, wird er auch als Gradientenvektor oder Gradientenfeld bezeichnet.

Gradient in drei Dimensionen

In der Physik, die unsere dreidimensionale Welt beschreibt, ist der Gradient üblicherweise auch dreidimensional und sieht folgendermaßen aus:

Anker zu dieser Formel

Hier haben wir lediglich die Funktion \(f\) um die \(z\)-Abhängigkeit ergänzt und die Ableitung von \(f\) nach \(z\) als die dritte Komponente im Gradienten hinzugenommen.

Beispiel #1: Gradient einer Skalarfunktion

Gegeben ist eine zweidimensionale, skalare Funktion \( \varphi(x,y) = x^2 + 5xy \). Mit 'zweidimensional' ist gemeint, dass die Funktion nicht wie üblich von drei Ortskoordinaten \(x,y,z\) abhängt, sondern nur von zwei \(x,y\) und das diese nur in einer Ebene visualisiert wird. Auf diese Weise kann der Gradient - wie in der Abbildung - leichter veranschaulicht werden, weil das Ergebnis der Gradientenbildung in einer Ebene liegt (2d). Der Nabla-Operator kann also wegen der zweidimensionalität der Skalarfunktion auf zwei Komponenten reduziert werden:

2d-Gradient einer skalaren Funktion
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Ableiten der Skalarfunktion nach den jeweiligen Variablen ergibt folgendes Gradientenfeld:

Gradient einer quadratischen Beispielfunktion
Anker zu dieser Formel
Vektorplot des Gradienten der Skalarfunktion x²+5xy
So sieht das Gradientenfeld der Beispielfunktion aus.
Beispiel #2: Homogenes Gradientenfeld

Gegeben ist eine skalare Funktion \( \varphi(x) = x \), die nur von einer Ortskoordinate \(x\) abhängt. Bilde den Gradienten:

Gradient ist konstant
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Gradient einer linearen Skalarfunktion (Homogenes Vektorfeld)
Das Gradientenfeld der Beispielfunktion ist ein homogenes Vektorfeld.

Das Vektorfeld ist an jedem Ort konstant ist, weil die Ableitung der obigen Skalarfunktion nach \(x\) eine Konstante ergibt. Das Vektorfeld hat auch keinen Beitrag in \(y\)-Richtung, weil die Skalarfunktion nicht von \(y\) abhängt und die Ableitung nach \(y\) Null ist.

Beispiel #3: Lineares Gradientenfeld

Gegeben ist eine skalare Funktion \( \varphi(x) = x^2 \), die nur von der Koordinate \(x\) abhängt. Bilde den Gradienten:

Gradient ist linear
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Vektorplot des Gradientenfeldes der Skalarfunktion x²
Das Gradientenfeld der Beispielfunktion nimmt linear mit \(x\) zu.

Das Vektorfeld nimmt in \(x\)-Richtung linear zu. Das Vektorfeld hat wie im Beispiel #2 keinen Beitrag in \(y\)-Richtung.

Gradient zeigt zum steilsten Anstieg

Um zu verstehen, warum der Gradientenvektor \( \nabla f \) in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt, nutzen wir die sogenannte Richtungsableitung aus. Dazu nehmen wir einen Einheitsvektor \(\boldsymbol{v}\), der in irgendeine beliebige Richtung zeigt. Wichtig ist nur, dass er ein Einheitsvektor ist, also normiert ist.

Denk dran, dass der Betrag \( |\nabla f| \) eine Konstante ist, die wir nicht verändern können. Warum nicht? Weil \(f\) fest vorgegeben ist. Wie schon gesagt, du kannst dir die Funktion \(f\) wie eine Landschaft vorstellen, mit Hügeln und Tälern. Auf dieser Fläche befindet sich der Einheitsvektor \( \boldsymbol{v} \), dessen Richtung wir verändern und damit die Landschaft \(f\) abtasten können.

Die Steigung des Schattens von \( \boldsymbol{v} \) auf der Ebene, bekommen wir mithilfe des folgenden Skalarprodukts:

Richtungsableitung
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Das Skalarprodukt 19 ist die Richtungsableitung der Funktion \(f\) in Richtung von \(\boldsymbol{ v }\).

Das Ergebnis dieses Skalarprodukts ist eine reine Zahl, nämlich die Steigung in die Richtung von \(\boldsymbol{ v }\). Wenn du beispielsweise \(\boldsymbol{ v }\) als Einheitsvektor in \(x\)-Richtung wählst: \(\boldsymbol{ v } = \boldsymbol{\hat e}_{\text x}\) , dann gibt das Skalarprodukt 19 die Steigung in \(x\)-Richtung an.

Die Frage ist, warum gibt 19 den steilsten Anstieg an? Wir können herumprobieren und verschiedene Einheitsvektoren \(\boldsymbol{ v }\) in das Skalarprodukt 19 einsetzen. Den steilsten Anstieg hat derjenige Einheitsvektor \(\boldsymbol{ v }\), der das größte Skalarprodukt 19 ergibt.

Statt mühselig alle denkbaren Einheitsvektor in 19 einzusetzen, gibt es einen raffinierteren Weg, die maximale Steigung in Richtung von \(\boldsymbol{ v }\) herauszufinden. Dazu müssen wir das Skalarprodukt 19 etwas umschreiben. Dazu benutzen wir die geometrische Definition des Skalarproduktes:

Geometrische Interpretation des Skalarprodukts zweier Vektoren
Skalarprodukt mittels Winkel.
Skalarprodukt mittels Winkel
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Damit können wir die Richtungsableitung 19 folgendermaßen schreiben:

Richtungsableitung mittels Winkel
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Hierbei ist das nicht-fett markierte \(v\) der Betrag des Vektors \(\boldsymbol{v}\). Jetzt ist es deutlich einfacher die maximale Steigung in Richtung von \(\boldsymbol{ v }\) zu bestimmen. Wir haben angenommen, dass der Vektor \( \boldsymbol{v} \) normiert ist. Wenn er normiert ist, dann hat er den Betrag: \( v = 1\). Damit wird Gl. 21 zu:

Richtungsableitung mit Einheitsvektor
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Soweit so gut. Die einzige Möglichkeit, wie wir die Steigung variieren können, ist durch den Winkel \(\theta\), der von den Vektoren \(\nabla f\) und \(\boldsymbol{v}\) eingeschlossen wird. Der Cosinus in Gl. 22 hat seinen größten Wert bei \(\theta=0\): \( \cos(0) ~=~ 1 \). Setzen wir also \(\theta=0\), um die größte Steigung zu bekommen:

Steilster Anstieg bei Richtungsableitung
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Indem wir \(\theta=0\) gesetzt haben, haben wir die Vektoren \( \nabla \, f \) und \( \boldsymbol{v} \) parallel zueinander ausgerichtet (siehe Illustration 5). Das heißt: Jetzt zeigt Vektor \( \boldsymbol{v} \) in die gleiche Richtung wie Vektor \( \nabla \, f \). Außerdem haben wir das Skalarprodukt 21, also die Steigung, maximal wie möglich gemacht. Und wie du in 21 siehst: Die maximale Steigung ist der Betrag \(|\nabla f|\) des Gradientenvektors. Folglich zeigt der Gradientenvektor \(\nabla f\) in Richtung größter Steigung!

Richtungsableitung in 4 Schritten berechnen

Wenn Du nicht die Richtung des steilsten Anstiegs 23 berechnen möchtest, sondern den Anstieg in eine beliebige Richtung \(\boldsymbol{v}\), dann musst du folgenden Ausdruck berechnen:

Richtungsableitung in eine beliebige Richtung
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Hierbei nehmen wir nicht mehr an, dass der Vektor \(\boldsymbol{v}\) normiert sein muss. Daher müssen wir diesen stets normieren, indem wir durch den Betrag \(|\boldsymbol{v}| =: v \) des Vektors teilen. Befolge folgenden 4 Schritte, um die Richtungsableitung in eine beliebige Richtung zu berechnen:

  1. Berechne den Gradienten \( \nabla f \) einer gegebenen, skalaren Funktion \( f \).

  2. Normiere den Vektor \( \boldsymbol{ v } \), in dem Du ihn durch seinen Betrag teilst: \( \boldsymbol{ v } / v \).

  3. Bilde das Skalarprodukt zwischen dem Gradienten \( \nabla f \) und dem normierten Vektor \(\boldsymbol{v}/v\).

  4. Setze für die Variablen \( x, y, z \) konkrete Werte ein. Damit legst du den konkreten Ort \( (x, y, z) \) fest, an dem Du die Steigung in Richtung von \( \boldsymbol{v} \) berechnen möchtest.

Beispiel: Richtungsableitung berechnen

Du möchtest herausfinden, wie sich die folgende Funktion in Richtung \( \boldsymbol{ v } = (1,1,0) \) am Ort \( (0,1,0) \) ändert:

Beispiel-Skalarfunktion
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Schritt #1: Berechne den Gradienten \( \nabla f \). Dazu leitest Du die gegebene Skalarfunktion 25 partiell nach jeder Ortskoordinate \(x,y,z\) ab. Die Ableitungen stellen dann die drei Komponenten des Gradientenfeldes \( \nabla f \) dar:

Gradient einer Beispielfunktion
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Schritt #2: Normiere den Vektor \( \boldsymbol{v} \), in dem Du den Vektor durch seinen Betrag \(v \) dividierst:

Beispiel-Einheitsvektor
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Schritt #3: Anschließend berechnest Du die Richtungsableitung, in dem Du das Skalarprodukt zwischen dem Gradienten 26 und dem Einheitsvektor 27 bildest:

Beispiel-Richtungsableitung an einem beliebigen Ort
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Schritt #4: Setze den gewünschten konkreten Punkt \( (0,1,0) \) für \(x,y,z\) in 28 ein, um an diesem Ort die Steigung in Richtung von \(\boldsymbol{v}\) herauszufinden:

Beispiel-Richtungsableitung an einem konkreten Ort
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