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Divergenz eines Vektorfeldes physikalisch verstehen

Punkt an dem das Vektorfeld divergenzfrei (quellfrei) ist
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Positive Divergenz - Quelle eines Vektorfeldes Hier lernst du, wann das Vektorfeld im betrachteten Raumpunkt eine Quelle ist.
  2. Negative Divergenz - Senke eines Vektorfeldes Hier lernst du, wann das Vektorfeld im betrachteten Raumpunkt eine Senke ist.
  3. Divergenz ist Null - divergenzfreies Vektorfeld Hier lernst du, wann das Vektorfeld im betrachteten Raumpunkt divergenzfrei ist.

Divergenz \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \) eines Vektorfeldes \( \boldsymbol{F} \) ist definiert als das Skalarprodukt zwischen dem Nabla-Operator \( \nabla \) und dem Vektorfeld \( \boldsymbol{F} \):

Definition: Divergenz eines Vektorfeldes
Anker zu dieser Formel

Hierbei ist \( F_{\text x} \) die erste, \( F_{\text y} \) zweite und \( F_{\text z} \) die dritte Komponente des folgenden dreidimensionalen Vektorfeldes \( \boldsymbol{F}(x,y,z) \):

Dreidimensionales Vektorfeld
Anker zu dieser Formel

Wie in der Lektion über die Maxwell-Gleichungen besprochen, kann das Vektorfeld \( \boldsymbol{F} \) beispielsweise das elektrische Feld \( \boldsymbol{E} \) oder das magnetische Feld \( \boldsymbol{B} \) repräsentieren.

Das Ergebnis \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\) der Divergenz in Gl. 1 ist eine skalare Funktion (keine vektorielle Größe mehr)! Wird also ein konkreter Ort für \((x,y,z)\) eingesetzt, dann ergibt die skalare Funktion eine gewöhnliche Zahl: \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}(x,y,z)\). Diese Zahl ist ein Maß für die Divergenz des Vektorfeldes an dem betrachteten Ort \((x,y,z)\). Es kann hierbei eine positive oder negative Zahl herauskommen oder sogar Null. Je nachdem, ob die Zahl positiv, negativ oder Null ist, hat sie eine andere physikalische Bedeutung.

Positive Divergenz - Quelle eines Vektorfeldes

Wir gehen davon aus, dass wir einen konkreten Ort \((x,y,z)\) in das Divergenzfeld \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}(x,y,z)\) eingesetzt und eine positive Zahl erhalten haben:

Divergenz ist positiv
Anker zu dieser Formel

Dann ist der jeweils betrachtete Punkt \((x,y,z)\) im Raum eine Quelle des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\). Anschaulich gesagt: Wird dieser Ort mit einer beliebigen Oberfläche (z.B. mit einer Würfeloberfläche) umschlossen, dann ist der Fluss des Vektorfeldes durch diese Oberfläche ebenfalls positiv. Das Vektorfeld zeigt aus diesem Ortspunkt heraus.

Punkt mit positiver Divergenz als Quelle eines Vektorfeldes
Positive Divergenz am Ort \((x,y,z)\) ist die Quelle des Vektorfeldes.
Beispiel: Quelle des Vektorfeldes

Wie groß ist die Divergenz im Punkt \(1, 0, 0\) des folgenden Vektorfeldes:

Beispielvektorfeld mit Komponenten 2x zum Quadrat und y und 4
Anker zu dieser Formel

Die Divergenz \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\) dieses Vektorfeldes wird berechnet, indem du die drei partiellen Ableitungen des Vektorfeldes wie in Gl. 1 bildest und sie zusammenaddierst:

Divergenz des Vektorfeldes mit Komponenten 2x zum Quadrat und y und 4
Anker zu dieser Formel

Damit haben wir das Divergenzfeld im gesamten Raum bestimmt. Wir wollen die Divergenz für den Ort \((x,y,z)=(1,0,0)\) bestimmen und setzen daher \(x=1\), \(y=0\) und \(z=0\) ein:

Divergenz am Ort 1-0-0
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Das Vektorfeld \( \boldsymbol{F} \) hat am betrachteten Ort eine positive Divergenz \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} = 5 \). Physikalisch stellt dieser Ort eine Quelle des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) dar. Wenn es ein elektrisches Feld \( \boldsymbol{F} = \boldsymbol{E} \) wäre, dann würde eine positive Divergenz bedeuten, dass am Ort \((1,0,0)\) eine positive elektrische Ladung sitzt.

Negative Divergenz - Senke eines Vektorfeldes

Nun gehen davon aus, dass wir eine negative Zahl erhalten haben, nachdem wir einen konkreten Ort in das Divergenzfeld eingesetzt haben:

Divergenz ist negativ
Anker zu dieser Formel

Dann ist der jeweils betrachtete Ort \((x,y,z)\) eine Senke des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\). Anschaulich gesagt: Wird dieser Ort mit einer beliebigen Oberfläche umschlossen, dann ist der Fluss des Vektorfeldes durch diese Oberfläche ebenfalls negativ. Das Vektorfeld geht in die Oberfläche hinein.

Punkt mit negativer Divergenz als Senke eines Vektorfeldes
Negative Divergenz am Ort \((x,y,z)\) ist die Senke des Vektorfeldes.
Beispiel: Senke eines Vektorfeldes

Gegeben ist das folgende Vektorfeld:

Vektorfeld mit Komponenten -2x und y und 4
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Die Divergenz \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\) dieses Vektorfeldes ist:

Divergenzfeld des Vektorfeldes mit Komponenten -2x und y und 4
Anker zu dieser Formel

Das betrachtete Vektorfeld hat an jedem Ort \((x,y,z)\) eine konstante, negative Divergenz. Das heißt, egal welcher Ort für \((x,y,z)\) eingesetz wird, jeder Ort hat eine negative Divergenz mit dem Wert -1. Jeder Ort stellt eine Senke des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) dar. Wäre das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) ein elektrisches Feld, dann würde dieses Ergebnis bedeuten, dass an jedem Ort eine negative elektrische Ladung sitzt.

Divergenz ist Null - divergenzfreies Vektorfeld

Nun gehen davon aus, dass wir Null erhalten haben, nachdem wir einen konkreten Ort in das Divergenzfeld eingesetzt haben:

Divergenz ist Null
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Punkt an dem das Vektorfeld divergenzfrei (quellfrei) ist
Divergenzfreies Vektorfeld am Ort \((x,y,z)\).

Dann ist am Ort \((x,y,z)\) das betrachtete Vektorfeld divergenzfrei. Das heißt: Wird dieser Ort mit irgendeiner Oberfläche umschlossen, dann ist der Fluss des Vektorfeldes durch diese Oberfläche hindurch ebenfalls Null. Das Vektorfeld zeigt in diese Oberfläche nicht hinein, aber auch nicht heraus. Oder es zeigt genauso viel Vektorfeld in die Oberfläche hinein wie heraus, sodass sich die beiden entgegengesetzten Beiträge aufheben und die Divergenz netto Null ist.

Beispiel: Divergenzfreies Vektorfeld

Berechne die Divergenz am Ort \(1, 1, 1)\) des folgenden Vektorfeldes:

Vektorfeld mit Komponenten -2x und 0.5y^2 und 0.5z^2
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Die Divergenz \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\) dieses Vektorfeldes ist:

Divergenzfeld eines Vektorfeldes mit Komponenten -2x und 0.5y^2 und 0.5z^2
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Setze den Ort \((x,y,z) = (1,1,1)\) ein:

Divergenz am Ort 1-1-1 ist Null
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Die Divergenz des betrachteten Vektorfeldes an diesem Ort ist Null. Die zweite Maxwell-Gleichung der Elektrodynamik beispielsweise sagt aus, dass Divergenz des Magnetfelds \( \nabla \cdot \boldsymbol{B} \) Null ist. Physikalisch heißt das: Es gibt keine magnetischen Monopole! Magnetischer Nordpol tritt immer zusammen mit einem magnetischen Südpol auf.

In den Beispielen für negative Divergenz und Divergenzfreiheit haben wir eine konstante Divergenz herausbekommen, die unabhängig vom betrachteten Ort ist. Das Divergenzfeld \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\) muss aber nicht unbedingt eine Konstante ergeben! Es waren nur einfache Beispiele. Im Allgemeinen hängt es von allen drei Ortskoordinanten ab: \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}(x,y,z)\).

Beispiel: Variable Divergenz

Gegeben ist folgendes Vektorfeld:

Vektorfeld mit Komponenten xy und y^2 und 5
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Berechne, wie in Gl. 1 gezeigt, die partiellen Ableitungen des Vektorfeldes, um das Divergenzfeld zu bestimmen:

DIvergenzfeld y + 2xy
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In diesem Fall ergibt sich eine von \(x\) und \(y\) abhängige Divergenz: \( \nabla \cdot \boldsymbol{F}(x, y) ~=~ y + 2x\, y \).

  • Am Ort \((1,2,0)\) ist die Divergenz positiv: \( \nabla \cdot \boldsymbol{F}(1,2,0) ~=~ 4 \).

  • Am Ort \((1,-2,0)\) ist die Divergenz dagegen negativ: \( \nabla \cdot \boldsymbol{F}(1,-2,0) ~=~ -4 \).

  • Am Ort \((-0.5,2,1)\) verschwindet die Divergenz: \( \nabla \cdot \boldsymbol{F}(-0.5,2,1) ~=~ 0 \).

Jetzt solltest du wissen, wie Divergenz eines Vektorfeldes berechnet und physikalisch interpretiert wird. Dieses Wissen wird dir helfen den Gauß-Integralsatz zu begreifen, der für das Verständnis der Maxwell-Gleichungen enorm wichtig ist.