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Divergenz: Quellen & Senken eines Vektorfeldes

Divergenz eines Vektorfeldes - ist eine skalare Funktion, die angibt, ob das Vektorfeld an einem bestimmten Ort (x,y,z) eine Quelle oder eine Senke des Vektorfeldes ist und wie groß sie ist.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Vorkenntnisse

Definition

Divergenz wird gebildet, indem der Nabla-Operator \( \nabla \) auf ein Vektorfeld \( \boldsymbol{F} \) angewendet wird, indem das Skalarprodukt zwischen dem Nabla-Operator und dem Vektorfeld genommen wird. Die Divergenz \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \) eines Vektorfeldes \( \boldsymbol{F} \) ist folgendermaßen definiert:1\[ \nabla \cdot \boldsymbol{F} ~:=~ \frac{\partial F_{\text x}}{\partial x} ~+~ \frac{\partial F_{\text y}}{\partial y} ~+~ \frac{\partial F_{\text z}}{\partial z} \]hierbei ist \( F_{\text x} \), \( F_{\text y} \) und \( F_{\text z} \) die erste, zweite und dritte Komponente des Vektorfeldes \( \boldsymbol{F} \).

Das Ergebnis von 1, also die Divergenz von \(\boldsymbol{F}\), ist eine skalare Funktion, d.h. keine vektorielle Größe mehr. Wird also ein konkreter Ort für \((x,y,z)\) eingesetzt, dann ergibt die skalare Funktion eine gewöhnliche Zahl. Diese Zahl ist ein Maß für die Divergenz des Vektorfeldes an dem betrachteten Ort \((x,y,z)\). Es kann hierbei eine positive oder negative Zahl herauskommen oder sogar Null. Je nachdem, ob die Zahl positiv, negativ oder Null ist, bedeutet Divergenz etwas unterschiedliches.

Positive Divergenz - Quelle eines Vektorfeldes

Positive Divergenz am Ort \((x,y,z)\) ist die Quelle des Vektorfeldes.

Divergenz ist positiv: 2\[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F}(x,y,z) > 0 \]

Dann ist der jeweils betrachtete Punkt \((x,y,z)\) im Raum eine Quelle des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\). Anschaulich gesagt: Wird dieser Ort mit einer beliebigen Oberfläche (z.B. mit einer Würfeloberfläche) umschlossen, dann ist der Fluss des Vektorfeldes durch diese Oberfläche ebenfalls positiv, d.h. das Vektorfeld 'fließt' aus diesem Ortspunkt heraus.

Beispiel: Quelle des Vektorfeldes

Gegeben ist das folgende Vektorfeld:3\[ \boldsymbol{F} = \left(\begin{array}{c} 2x \\ y \\ 4 \end{array}\right) \]

Die Divergenz \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\) dieses Vektorfeldes wird berechnet, indem die partiellen Ableitungen des Vektorfeldes, wie in 1, gebildet werden:4\[ \frac{\partial}{\partial x}\,2x ~+~ \frac{\partial}{\partial y}\,y ~+~ \frac{\partial}{\partial z}\,4 ~=~ 2 ~+~ 1 ~+~ 0 ~=~ 3 \]

Das betrachtete Vektorfeld hat eine an jedem Ort konstante positive Divergenz \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} = 3 \). Das heißt, egal welcher Ort für \((x,y,z)\) eingesetz wird, jeder Ort hat eine positive Divergenz mit dem Wert 3. Jeder Ort stellt eine Quelle des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) dar. Das Vektorfeld 'fließt' an jedem Punkt heraus. Das könnte beispielsweise ein Raumbereich mit positiven elektrischen Ladungen sein.

Negative Divergenz - Senke eines Vektorfeldes

Negative Divergenz am Ort \((x,y,z)\) ist die Senke des Vektorfeldes.

Divergenz ist negativ: 5\[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F}(x,y,z) < 0 \]

Dann ist der jeweils betrachtete Ort \((x,y,z)\) eine Senke des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\). Anschaulich gesagt: Wird dieser Ort mit einer beliebigen Oberfläche umschlossen, dann ist der Fluss des Vektorfeldes durch diese Oberfläche ebenfalls negativ, d.h. das Vektorfeld 'fließt' in diesen Ortspunkt hinein.

Beispiel: Senke eines Vektorfeldes

Gegeben ist das folgende Vektorfeld:6\[ \boldsymbol{F} = \left(\begin{array}{c} -2x \\ y \\ 4 \end{array}\right) \]

Die Divergenz \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\) dieses Vektorfeldes ist:7\[ \frac{\partial}{\partial x}\,(-2x) ~+~ \frac{\partial}{\partial y}\,y ~+~ \frac{\partial}{\partial z}\,4 ~=~ -2 ~+~ 1 ~+~ 0 ~=~ -1 \]

Das betrachtete Vektorfeld hat eine an jedem Ort konstante negative Divergenz \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} = -1 \). Das heißt, egal welcher Ort für \((x,y,z)\) eingesetz wird, jeder Ort hat eine negative Divergenz mit dem Wert -1. Jeder Ort stellt eine Senke des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) dar. Das Vektorfeld 'fließt' in jeden Punkt hinein. Das könnte beispielsweise ein Raumbereich mit negativen elektrischen Ladungen sein.

Divergenz ist Null - divergenzfreies Vektorfeld

Divergenzfreies Vektorfeld am Ort \((x,y,z)\).

Divergenz ist Null: 8\[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F}(x,y,z) = 0 \]

Dann ist am Ort \((x,y,z)\) das betrachtete Vektorfeld divergenzfrei. Das heißt: Wird dieser Ort mit irgendeiner Oberfläche umschlossen, dann ist der Fluss des Vektorfeldes durch diese Oberfläche hindurch ebenfalls Null. Das Vektorfeld 'fließt' in diesen Raumpunkt nicht hinein und nicht hinaus oder es 'fließt' genauso viel Vektorfeld in den Raumpunkt hinein wie hinaus, sodass sich die beiden entgegengesetzten Beiträge aufheben und die Divergenz netto Null ist.

Beispiel: Divergenzfreies Vektorfeld

Gegeben ist das folgende Vektorfeld:9\[ \boldsymbol{F} = \left(\begin{array}{c} -2x \\ y \\ z \end{array}\right) \]

Die Divergenz \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\) dieses Vektorfeldes ist:10\[ \frac{\partial}{\partial x}\,(-2x) ~+~ \frac{\partial}{\partial y}\,y ~+~ \frac{\partial}{\partial z}\,z ~=~ -2 ~+~ 1 ~+~ 1 ~=~ 0 \]

Die Divergenz des Vektorfeldes verschwindet an jedem Ort \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} = 0 \). Das heißt, egal welcher Ort für \((x,y,z)\) eingesetz wird, jeder Ort ist divergenzfrei. Das Vektorfeld 'fließt' an jedem Punkt weder hinein noch heraus.

Die zweite Maxwell-Gleichung der Elektrodynamik beispielsweise sagt aus, dass Divergenz des Magnetfelds Null ist. Es gibt also keine magnetischen Monopole; die Feldlinien sind in sich immer geschlossen.

Natürlich sind die obigen Beispiele, bei denen eine konstante Divergenz herauskommt, ganz einfache Beispiele. Es ergeben sich in diesen Fällen konstante skalare Funktionen. Die Divergenz muss aber nicht unbedingt eine Konstante sein. Es gibt auch Vektorfelder, deren Divergenz abhängig ist von den Koordinanten \(x,y,z\). Das heißt: Die Divergenz wäre in diesem Fall abhängig davon, in welchem Raumpunkt sie betrachtet wird.

Beispiel: Variable DivergenzGegeben ist folgendes Vektorfeld: 11\[ \boldsymbol{F} = \left(\begin{array}{c} x\,y \\ y^2 \\ 5 \end{array}\right) \]

Berechne, wie in 1 gezeigt, die partiellen Ableitungen des Vektorfeldes, um die Divergenz dieses Vektorfeldes zu berechnen: 12\[ \nabla \cdot \boldsymbol{F} ~=~ \frac{\partial}{\partial x}\,x\,y ~+~ \frac{\partial}{\partial y}\,y^2 ~+~ \frac{\partial}{\partial z}\,5 ~=~ y ~+~ 2y ~+~ 0 ~=~ 3y \]

In diesem Fall ergibt sich eine variable, von \(y\) abhängige Divergenz: \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} ~=~ 3y \). Am Ort \((1,2,0)\) wäre die Divergenz positiv: \( \nabla \cdot \boldsymbol{F}(1,2,0) ~=~ 6 \). Am Ort \((1,-2,0)\) wäre die Divergenz dagegen negativ: \( \nabla \cdot \boldsymbol{F}(1,-2,0) ~=~ -6 \).

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