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Schwerpunkt eines Objekts (Massenmittelpunkt)

Massenmitelpunkt - ist der Ort, an dem theoretisch die gesamte Masse einer komplexen Massenverteilung in einem einzigen Punkt konzentriert ist.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Du lernst hier den Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) eines Objekts (nicht den geometrischen Schwerpunkt einer masselosen Figur). Wobei: Der geometrische Schwerpunkt stimmt mit dem Massenmittelpunkt genau dann überein, wenn die Massenverteilung des Objekts gleichmäßig ist; sprich: Massendichte ist konstant.

Mithilfe des Massenmittelpunktes lassen sich kompexe Massenverteilungen in einem einzigen Massepunkt darstellen und somit viel einfacher beschreiben.

Ein Massenmittelpunkt ist ein Massepunkt, der durch einen Ort \( \boldsymbol{r} \) und eine Masse \(m\) beschrieben wird.

Massenmittelpunkt einer diskreten Massenverteilung

Massenmittelpunkt am Ort \(\boldsymbol{r}\) und der Masse \(m\), der aus einer Massenverteilung bestimmt wurde.

Die Ausgangssituation ist: Du hast mehrere Punktmassen (oder Körper), die im Raum verteilt sind. Du möchtest das gesamte System, also diese Massenverteilung, möglichst einfach durch einen Massenmittelpunkt beschreiben. Dazu führst du zuerst drei Schritte durch:

  1. Platziere die betrachteten Körper in ein Koordinatensystem. Den Nullpunkt des Koordinatensystems kannst du beliebig auswählen.
  2. Bestimme im angelegten Koordinatensystem die \((x,y,z)\)-Koordinanten jedes Körpers. Dadurch erhälst du den Ort \(\boldsymbol{r}_i = (x,y,z)\) des \(i\)-ten Körpers. Der Index \(i\) nummeriert die Körper.
  3. Bestimme die Massen \(m_i\) der Körper. 1. Körper hat die Masse \(m_1\), 2. Körper die Masse \(m_2\) und so weiter.

Dann multiplizierst du jeden Ort \(\boldsymbol{r}_i\) des Körpers mit seiner Masse \(m_i\). Der 1. Körper am Ort \(\boldsymbol{r}_1\) hat die Masse \(m_1\). Also: \(\boldsymbol{r}_{1} \, m_1\). Am Ort \(\boldsymbol{r}_{2}\), ist die Masse \(m_{2}\). Also: \(\boldsymbol{r}_{2} \, m_2\). Und so weiter! Damit gewichtest du die Orte mit den Massen.

Anschließend bildest du den Mittelwert. Also addierst du alle gewichteten Orte zusammen und dividierst durch die Gesamtmasse \(m=m_{1}+m_{2}+...+m_{n}\). Auf diese Weise erhälst du die Position \(\boldsymbol{r}\) des Massenmittelpunkts:

Der Ort des Massenmittelpunkts\[ \boldsymbol{r} ~=~ \underset{i=1}{\overset{n}{\boxed{+}}} \, \frac{r_{i} \, m_{i}}{m} ~=~ \frac{r_{1}m_{1}+r_{2}m_{2}+...+r_{n}m_{n}}{m} \]
Beispiel: Berechnung des Schwerpunkts
Anordnung von vier Massen im Raum.

Du möchtest den Massenmittelpunkt von vier homogenen Kugeln berechnen. Sie haben folgende Massen: \[ m_1 = 0.5 \, \text{kg}, \, m_2 = 1 \, \text{kg}, \, m_3 = 1 \, \text{kg}, \, m_4 = 2 \, \text{kg} \]

Du legst erstmal ein orthogonales Koordinatensystem an und bestimmst, durch das Ablesen, die Ortsvektoren der Schwerpunkte der vier Kugeln: \[ \boldsymbol{r}_1 = \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\1\end{array}\right)\,\text{m}, ~ \boldsymbol{r}_2 = \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\0\end{array}\right)\,\text{m}, ~ \boldsymbol{r}_3 = \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0\end{array}\right)\,\text{m}, ~ \boldsymbol{r}_4 = \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\0\end{array}\right)\,\text{m} \]

Die Gesamtmasse dieser Anordnung ist:\[ m ~=~ 0.5\,\text{kg}+1\,\text{kg}+1\,\text{kg}+2\,\text{kg} = 4.5\,\text{kg} \]

Um den gemeinsamen Schwerpunkt der Kugeln zu berechnen, gewichtest du die jeweiligen Ortsvektoren mit den Massen der Kugeln und dividierst durch die Gesamtmasse \(m\). Also befindet sich der gemeinsame Schwerpunkt ungefähr am folgenden Ort: \[ \boldsymbol{r} = \frac{1}{4.5\,\text{kg}}\left[ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\1\end{array}\right)\cdot 0.5 + \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\0\end{array}\right)\cdot 1 + \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0\end{array}\right)\cdot 1 + \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\0\end{array}\right)\cdot 2 \right]\,\text{m} \cdot \text{kg} = \left(\begin{array}{c}-0.2\\ 0.2\\0.1\end{array}\right)\,\text{m} \]Das funktioniert nicht nur mit vier Kugeln, sondern mit sehr vielen Teilchen oder mit einer ganzen Galaxie!

Wie kann man sich den Schwerpunkt anschaulich vorstellen?

Beispiel: Abgeworfener HammerStelle dir mal vor, wie du einen Hammer, an seinem Griff festhaltend, nach vorne wirfst. Der Hammer wird nach vorne fliegen und nebenbei auch noch möglicherweise rotieren. Wenn du dir jetzt einen Punkt des Hammers herausgreifst und seinen Weg nachverfolgst, wirst Du feststellen, dass der Weg nicht einer Parabel eines schiefen Wurfs entspricht (Parabelförmiger Wurf), weil der Hammer ausgedehnt ist und unterschiedliche Massenverteilung hat. Du kannst also den Hammer genau genommen nicht als einen Massenpunkt annehmen.

Es gibt jedoch einen ganz besonderen Punkt des Hammers, der nicht rotiert - nämlich der Schwerpunkt. Man kann sagen, dass der Hammer um seinen eigenen Schwerpunkt rotiert, das Drehmoment ist dort - Null, wobei der Schwerpunkt selbst, als ein Punkt interpretiert wird, in dem die gesamte Masse des Hammers steckt! Anders gesagt: Greifst Du am Massenmittelpunkt mit einer äußeren Kraft an, bleibt das Objekt rotationsfrei.

Beispiel: Lineal balancierenNimm ein Lineal und lege es auf deinen Zeigefinger, so, dass das Lineal im Gleichgewicht ist. Damit unterstützt Du das Lineal im Schwerpunkt, sodass die Schwerkraft kompensiert wird. Mit Deinem anderen Finger hebst du jetzt die eine Seite des Lineals an. Diese Kraft, die du verursacht hast, hatte eine kleine Drehung des Lineals zur Folge. Machst Du nun das Gleiche mit der Stelle, in der Mitte des Lineals, wo du es mit deinem anderen Finger im Gleichgewicht hältst, wirst Du feststellen, dass Du es zwar nach oben anhebst, verursachst damit aber keine Drehung. Und das ist eine besondere Eigenschaft des Schwerpunkts. Das Drehmoment ist dort Null und die Bewegung des Objekts kann mittels der Punktmechanik beschrieben werden.
Beispiel: Erde und MondDer Mond rotiert in Wirklichkeit nicht um den Erdmittelpunkt, sondern der Mond und die Erde rotieren um ihren gemeinsamen Schwerpunkt. Dort, wo der Schwerpunkt ist, ist die Masse sozusagen um den Punkt herum ausgeglichen verteilt.

Schwerpunkt experimentell bestimmen

Bei alltäglichen Objekten (Kaffeetasse, Hufeisen, Wasserkocher oder oder oder), die du leicht aufhängen kannst, bestimmst du den Schwerpunkt folgendermaßen: Du hängst ein "aufhängbares" Objekt, z.B. ein Hufeisen, an einem Faden. Der Schwerpunkt befindet sich irgendwo auf der Schwerelinie. Die Frage ist nur wo? Dazu hängst Du das das Objekt an einem anderen beliebigen Punkt auf und siehe da: Du hast einen Schnittpunkt beider Schwerelinien gefunden. Und genau dieser Schnittpunkt ist der gesuchte Schwerpunkt. Am Hufeisen erkennst Du sogar, dass der Schwerpunkt nicht unbedingt im Objekt selbst liegen muss, sondern auch außerhalb liegen kann; je nach Form und Massenverteilung des Objekts. Wobei, wenn die Massenverteilung homogen ist, dann hängt die Lage des Schwerpunkts nur von der geometrische Form des Objekts ab. Bei symmetrischen Objekten mit homogener Massenverteilung liegt der Schwerpunkt immer auf den Symmetrieachsen. Selbst bei Objekten, die auf den ersten Blick etwas komplizierter erscheinen, kannst du es in Teilobjekte zerlegen, deren Schwerpunkte dir bekannt sind, um daraus dann den gemeinsamen Schwerpunkt zu berechnen.

Bei etwas länglichen Objekten, z.B. bei einem Kugelschreiber, kannst du folgendermaßen vorgehen, um den Schwerpunkt zu berechnen: Du legst den Kugelschreiber auf deine beiden Zeigefinger, und zwar so, dass sie sich an den Rändern des Kugelschreibers befinden. Jetzt rückst du die Finger langsam zusammen, bis sie sich berühren. Wo sie sich dann am Ende treffen, da ist dann ungefähr der Schwerpunkt. Versuch' das mal mit einem leicht ungleichmäßig schweren Stift. Mal gucken, ob dir dabei eine merkwürdige Sache auffällt...

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