Laplace-Entwicklungstheorem: So berechnest Du Determinante
Determinante - ist eine Zahl, die eine Matrix charakterisiert. An ihr kannst Du gewisse Eigenschaften einer Matrix erkennen, z.B. Drehmatrizen haben Determinante +1. Nicht-invertierbare Matrizen Determinante 0. In folgenden Fällen kann Determinante hilfreich sein:
- Invertieren von Matrizen
- Lösen von linearen Gleichungssystemen
- Berechnung von Flächen und Volumina
Du kannst nur Determinanten von \(n\)×\(n\)-Matrizen - also von quadratischen Matrizen - berechnen; z.B. 3x3 oder 4x4-Matrizen.
Die Determinante einer Matrix \( A \) notierst Du entweder so: \( det\left( A \right) \) oder so \( |A| \). Bei der Berechnung einer Determinante mittels Laplace- Entwicklungstheorem, führst Du eine größere "Ausgangsdeterminante" auf nächst kleinere Determinante zurück. Dies machst Du mit allgemeiner Formel für sogenannte Zeilenentwicklung: Oder mit der Formel für Spaltenentwicklung: Die schrecklichen Formeln sagen Dir: Entwickle eine n×n-Matrix nach der i-ten Zeile (bei Zeilenentwicklung) oder nach der \(j\)-ten Spalte (bei Spaltenentwicklung). Erklären wir mal die Formel für Entwicklung nach einer Zeile: Auf diese Weise kann die Determinante einer Matrix mit Laplace-Entwicklung! So! Jetzt setzt Du \(j\)=1 und gehst bis zur letzten Spalte \(j\)=3. Dabei addierst Du alle Spalten \(j\) auf:
\[ \text{det}\left( M \right) = (-1)^{2+1}m_{21}|M_{21}|+(-1)^{2+2}m_{22}|M_{22}|+(-1)^{2+3}m_{23}|M_{23}| \] Die entstandenen Unterdeterminanten \( |M_{21}|, |M_{22}|, |M_{23}| \) berechnest Du mit der Laplace-Formel genauso; bis Du am Ende reine Zahlen hast, die Du zusammenrechnen kannst. Das Ergebnis ist Determinante \( \text{det}\left( M \right) \) der jeweiligen 3x3-Matrix.Determinante berechnen: Laplace-Formel