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Laplace-Entwicklungstheorem: So berechnest Du Determinante

Determinante - ist eine Zahl, die eine Matrix charakterisiert. An ihr kannst Du gewisse Eigenschaften einer Matrix erkennen, z.B. Drehmatrizen haben Determinante +1. Nicht-invertierbare Matrizen Determinante 0. In folgenden Fällen kann Determinante hilfreich sein:

  • Invertieren von Matrizen
  • Lösen von linearen Gleichungssystemen
  • Berechnung von Flächen und Volumina

Du kannst nur Determinanten von \(n\)×\(n\)-Matrizen - also von quadratischen Matrizen - berechnen; z.B. 3x3 oder 4x4-Matrizen. Die Determinante einer Matrix \( A \) notierst Du entweder so: \( det\left( A \right) \) oder so \( |A| \).

Determinante berechnen: Laplace-Formel

Bei der Berechnung einer Determinante mittels Laplace- Entwicklungstheorem, führst Du eine größere "Ausgangsdeterminante" auf nächst kleinere Determinante zurück. Dies machst Du mit allgemeiner Formel für sogenannte Zeilenentwicklung:

Laplace-Formel: Zeilenentwicklung\[ \det\left( A \right) ~=~ \underset{j=1}{\overset{n}{\boxed{+}}} \, (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, \det(A_{ij}) \]

Oder mit der Formel für Spaltenentwicklung:

Laplace-Formel: Spaltenentwicklung\[ \det\left( A \right) ~=~ \underset{i=1}{\overset{n}{\boxed{+}}} \, (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, \det(A_{ij}) \]

Die schrecklichen Formeln sagen Dir: Entwickle eine n×n-Matrix nach der i-ten Zeile (bei Zeilenentwicklung) oder nach der \(j\)-ten Spalte (bei Spaltenentwicklung). Erklären wir mal die Formel für Entwicklung nach einer Zeile:

  • \( (-1)^{i+j} \) - ist ein wechselndes Vorzeichen (+) oder (-)
  • \( a_{ij} \) - ist ein Matrix-Eintrag aus der \(i\)-ten Zeile und \(j\)-ten Spalte
  • \( |A_{ij}| \) - ist Determinante einer Untermatrix, die entsteht, wenn Du \(i\)-te Zeile und \(j\)-te Spalte streichst
  • \( \underset{j=1}{\overset{n}{\boxed{+}}} \) - Summenzeichen heißt: Du startest bei der ersten Spalte. Also setzt Du in die Laplace-Formel \(j\)=1 ein und multiplizierst alles. (Dabei ist \(i\) fest, nämlich die Nummer Deiner gewählten Zeile): \( (-1)^{i+1}a_{i1}|A_{i1}| \). Danach gehst Du zur nächsten Spalte \(j\)=2 über: \( (-1)^{i+2}a_{i2}|A_{i2}| \). Da über Variable \(j\) summiert wird, rechnest Du diese zwei Ausdrücke zusammen: \[ (-1)^{i+1}a_{i1}|A_{i1}| + (-1)^{i+2}a_{i2}|A_{i2}| \]. Das Gleiche machst Du mit allen weiteren Spalten, die noch übrig geblieben sind:\[ \text{det}\left( A \right) = (-1)^{i+1}a_{i1}|A_{i1}| + ... + (-1)^{i+n}a_{in}|A_{in}| \]

Auf diese Weise kann die Determinante einer Matrix mit Laplace-Entwicklung!

Beispiel: 3x3-MatrixNehmen wir eine 3x3-Matrix \( M \). Das heißt: \(n\) (Maximale Anzahl von Spalten) ist 3. Nehmen wir mal an: Du hast Dich für Entwicklung nach der zweiten Zeile entschieden: i=2. Einsetzen in die Formel ergibt:\[ \text{det}\left( M \right) = \underset{i=1}{\overset{3}{\boxed{+}}} \,{(-1)^{2+j}m_{2j}|M_{2j}|} \]

So! Jetzt setzt Du \(j\)=1 und gehst bis zur letzten Spalte \(j\)=3. Dabei addierst Du alle Spalten \(j\) auf: \[ \text{det}\left( M \right) = (-1)^{2+1}m_{21}|M_{21}|+(-1)^{2+2}m_{22}|M_{22}|+(-1)^{2+3}m_{23}|M_{23}| \]

Die entstandenen Unterdeterminanten \( |M_{21}|, |M_{22}|, |M_{23}| \) berechnest Du mit der Laplace-Formel genauso; bis Du am Ende reine Zahlen hast, die Du zusammenrechnen kannst. Das Ergebnis ist Determinante \( \text{det}\left( M \right) \) der jeweiligen 3x3-Matrix.

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