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HALL-Effekt: so tritt Hallspannung auf

Hall-Effekt - ist das Auftreten einer elektrischen Spannung (Hallspannung) an einem leitenden Plättchen, wenn es sich in einem Magnetfeld befindet und ein Strom dadurch fließt.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Vorkenntnisse

Formel: Hallspannung\[ U_{\text H} ~=~ A_{\text H} \, \frac{I \, B}{d} \]
  • \(U_{\text H}\): Hallspannung in V
  • \(A_{\text H}\): Hall-Konstante in m3/C
  • \(I\): Strom in A
  • \(B\): Magnetische Flussdichte in T
  • \(d\): Dicke des Plättchens in m
Aufgrund der Lorentzkraft (magnetische Kraft) entsteht ein Ladungsunterschied oben und unten und dadurch eine Hallspannung.

Ein Plättchen für Elektronen- und Löcherleitung

Beim Hall-Effekt nimmst Du ein leitendes Plättchen, welches meistens aus einem Metall (z.B. Aluminium, Cuprium, Argentium etc.) oder aus einem Halbleiter (z.B. Silicium, Germanium) besteht.

Wenn das Plättchen ein Metall ist, dann sind dort in der Regel die Elektronen für die elektrische Leitung verantwortlich; wenn Du eine elektrische Spannung an das Plättchen anlegen würdest. Eine Ausnahme stellt beispielsweise Aluminium dar. Im Aluminium sind nicht die Elektronen, sondern sogenannte Löcher (oder auch Defektelektronen genannt) für die elektrische Leitung zuständig.

Ein Loch ist im Gegensatz zum Elektron positiv geladen (mit positiver Elementarladung +e) und bedeutet: das Fehlen eines Elektrons! Diese Löcherleitung kann in Halbleitern realisiert werden, wenn Du den Halbleiter mit Elementen aus der 3. Hauptgruppe im Periodensystem gezielt verunreinigst. Dann hast Du einen p-dotierten Halbleiter, bei dem die Löcherleitung dominiert.

Wenn Du Spannung an das Plättchen anlegst...

Nach dem Du Dir ein passendes Plättchen ausgesucht hast, legst Du eine elektrische Spannung an die beiden Enden des Plättchens an (rechts und links). Dadurch bildet sich ein elektrischer Strom \( I \) aus, der von einem Ende des Plättchens zum anderen fließt. Je nachdem, welches Material Du gewählt hast, ist der elektrische Strom entweder durch negativ geladene Elektronen oder durch positiv geladene Löcher dominiert. Wenn Du diesen Strom messen willst, musst Du natürlich noch ein Strommessgerät (ein Amperemeter) in Deinen Stromkreis einbauen.

Normalerweise ist die Bewegung der Ladungen im Plättchen ungeordnet (chaotisch). Durch eine von außen angelegte elektrische Spannung aber, zwingst Du die beweglichen Ladungen in eine bestimmte Richtung zu fließen (also zum entgegengesetzten Pol). Die Geschwindigkeit, mit der sie in eine festgelegte Richtung fließen, wird Driftgeschwindigkeit \( v \) genannt.

Diese elektrischen Ladungen bewegen sich mit einer bestimmten Driftgeschwindigkeit nach links oder nach rechts. Wenn sich Elektronen (bei der eingestellten Spannungspolarität) nach links bewegen, dann würden sich die Löcher (bei der selben Spannungspolarität) in entgegengesetzte Richtung bewegen - also in diesem Fall nach rechts.

Wenn das Plättchen im Magnetfeld ist...

Wenn Du das Plättchen, durch das ein Strom fließt, in ein Magnetfeld \( B \) platzierst, dann wirst Du einige interessante Dinge feststellen! Platziere aber am besten das Plättchen so, dass die magnetischen Feldlinien das Plättchen senkrecht - also unter einem 90° Winkel - durchdringen.

Sobald sich aber eine elektrische Ladung im Magnetfeld bewegt (und das tun ja die Ladungen im Plättchen), dann wird die Ladung durch eine magnetische Kraft (Lorentzkraft) abgelenkt.

Beispiel: Leitungselektronen

Sagen wir mal, das Magnetfeld zeigt in den Bildschirm hinein. Wenn in Deinem Plättchen Elektronen für die Leitung verantwortlich sind, und der Pluspol der angelegten Spannung sich am linken Ende des Plättchens befindet, dann fließen die Elektronen zum Pluspol hin, also zum linken Ende. Sie werden schließlich vom Pluspol angezogen! Ihre Driftgeschwindigkeit \( v_D \) zeigt also nach links.

Durch die Bewegung im externen Magnetfeld (mit der magnetischen Flussdichte \( B \)), erfahren die Elektronen eine magnetische Kraft \( F_{\text m} \) in die positive y-Richtung (nach oben). Das kann mit der Drei-Finger-Regel überprüft werden, indem die linke Hand benutzt wird. Zeige mit dem Daumen in Richtung der Driftgeschwindigkeit, mit dem Zeigefinger in Richtung des Magnetfelds - und der Mittelfinger wird Dir die Richtung der magnetischen Kraft zeigen, in diesem Fall nach oben!

So entsteht die Hallspannung...

Wenn wir bei den Leitungselektronen (wie im Beispiel) bleiben, dann sammeln sich diese abgelenkten Elektronen allmählich im oberen Teil des Plättchens. Im unteren Teil des Plättchens fehlen diese Elektronen, es bleiben positiv geladene Löcher zurück. Oben hast Du also einen Elektronenüberschuss und unten einen Elektronenmangel.

Dieser Ladungsunterschied verursacht ein elektrisches Feld \( E \) senkrecht zur Driftgeschwindigkeit. Die Elektronen wollen wieder in die positiv geladenen Löcher hüpfen; sie verspüren eine elektrische Kraft \( F_{\text e} \), die die Elektronen zu den Löchern zum unteren Teil des Plättchens zieht.

Da magnetische \( F_{\text m} \) und elektrische Kraft \( F_{\text e} \) einander entgegen wirken, stellt sich ein Kräftegleichgewicht zwischen denen ein:\[ F_{\text e} ~=~ F_{\text m} \]

Ein gewisser Ladungsunterschied bleibt nach dem Kräftegleichgewicht bestehen; dementsprechend bleibt auch ein elektrisches Feld \( E \) über. Nach der Formel\[ E ~=~ \frac{U}{d} \]entspricht dieses E-Feld auch einer elektrischen Spannung (\( E\,d ~=~ U \)), die Hallspannung \( U_{\text H} \) genannt wird. Diese kannst Du - im Gegensatz zum elektrischen Feld - einfach mit einem Spannungsmessgerät ermitteln.

Hall-Konstante

Wenn Dir die Stromstärke \(I\), magnetische Flussdichte \(B\) und die Dicke des Metallplättchens \(d\) bekannt sind, musst Du nur noch mit einem Spannungsmessgerät Hall-Spannung \( U_{\text H} \) messen und kannst damit:

Hall-Effekt: Formel für Hallkonstante\[ A_{\text H} ~=~ \frac{U_{\text H} \, d}{I \, B} \]

Am Vorzeichen der Hall-Konstante kannst Du erkennen, ob der elektrische Strom im Material durch Elektronen (Vorzeichen: Positiv) oder durch Löcher (Vorzeichen: Negativ) geleitet wird. Dies ist eine wichtige Information, um Halbleiter zu unterschieden. In Solarzellen beispielsweise werden beide Arten von Halbleitern benötigt - einer mit Elektronenleitung und einer mit Löcherleitung.

Beispiele für Hall-Konstante
MaterialHall-Konstante \(A_{\text H}\)
Cuprium (Kupfer)-5.3 · 10-11m3/C
Aluminium+9.9 · 10-11m3/C
Argentium (Silber)-8.9 · 10-11m3/C

Hall-Konstante ist außerdem von der Temperatur des Materials abhängig, da sich durch Temperaturänderung die Ladungsträgerdichte verändert.

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