Hall-Effekt: Eine Erklärung, wie Hall-Spannung entsteht

Plättchen wählen: Metall oder Halbleiter

Beim Hall-Effekt nimmst Du ein leitendes Plättchen der Dicke \( d \) und der Breite \( h \).

Das Material des Hall-Plättchens ist ebenfalls wichtig. Meistens besteht es...

• aus einem Metall (z.B. Aluminium, Cuprium, Argentium etc.)

• oder aus einem Halbleiter (z.B. Silicium, Germanium) besteht.

Wenn das Plättchen ein Metall ist, dann sind dort in der Regel die Elektronen für die elektrische Leitung verantwortlich, sobald du eine elektrische Spannung an das Plättchen anlegen würdest. Eine Ausnahme stellt beispielsweise Aluminium dar. Im Aluminium sind nicht die Elektronen, sondern sogenannte Löcher für die elektrische Leitung verantwortlich.

Ein Loch ist im Gegensatz zum Elektron positiv geladen (mit positiver Elementarladung +e) und bedeutet: das Fehlen eines Elektrons! Diese Löcherleitung kann in Halbleitern realisiert werden, wenn Du den Halbleiter mit Elementen aus der 3. Hauptgruppe im Periodensystem gezielt verunreinigst. Dann hast Du einen p-dotierten Halbleiter, bei dem die Löcherleitung dominiert.

Strom durch das Plättchen schicken

Nach dem Du Dir ein passendes Plättchen ausgesucht hast, legst Du eine elektrische Spannung an die beiden Enden des Plättchens an (rechts und links). Dadurch bildet sich ein elektrischer Strom \( I \) aus, der von einem Ende des Plättchens zum anderen fließt. Wenn Du diesen Strom messen willst, musst Du natürlich noch ein Strommessgerät (ein Amperemeter) in Deinen Stromkreis einbauen.

Je nachdem, welches Material Du gewählt hast, ist der elektrische Strom entweder durch negativ geladene Elektronen oder durch positiv geladene Löcher dominiert.

Normalerweise ist die Bewegung der Ladungen im Plättchen ungeordnet (chaotisch). Durch eine von außen angelegte elektrische Spannung aber, zwingst Du die beweglichen Ladungen in eine bestimmte Richtung zu fließen (also zum entgegengesetzten Pol). Die Geschwindigkeit, mit der sie in eine festgelegte Richtung fließen, wird Driftgeschwindigkeit \( v \) genannt.

Diese elektrischen Ladungen bewegen sich mit einer bestimmten Driftgeschwindigkeit nach links oder nach rechts. Wenn sich Elektronen (bei der eingestellten Spannungspolarität) nach links bewegen, dann würden sich die Löcher (bei der selben Spannungspolarität) in entgegengesetzte Richtung bewegen - also in diesem Fall nach rechts.

Stromdurchflossenes Plättchen ins Magnetfeld platzieren

Platziere nun das Plättchen, durch das ein Strom fließt, in ein Magnetfeld \( B \). Richte das Plättchen am besten so aus, dass die magnetischen Feldlinien das Plättchen senkrecht - also unter einem 90° Winkel - durchdringen. So ist es einfacher den Hall-Effekt zu untersuchen.

Das Magnetfeld zeigt also entweder in die Ebene (Bildschirm) hinein oder heraus.

Was ist der Hall-Effekt und wie entsteht Hall-Spannung?

Lass uns Elektronen nehmen, um den Hall-Effekt zu erklären (die Erklärung funktioniert analog mit den Löchern). Die Elektronen sollen sich vom linken zum rechten Teil des Plättchens bewegen. Außerdem betrachten wir ein Magnetfeld \(B\), das in die Ebene hineinzeigt.

Wir haben einen elektrischen Strom \(I\), der aus negativ geladenen Elektronen besteht und sich durch ein Magnetfeld \(B\) bewegt. Bewegte Elektronen erfahren im Magnetfeld eine magnetische Kraft \(F_{\text m} \) (Lorentzkraft), die die Elektronen in den oberen oder unteren Teil des Plättchens ablenkt.

Ob die Elektronen nach unten oder nach oben abgelenkt werden, hängt von der gewählten Richtung des Magnetfelds und der Stromrichtung ab. Die Drei-Finger-Regel verrät dir dann die Richtung der magnetischen Kraft. In unserem Fall:

• Daumen zeigt nach links, weil sich die Elektronen nach links bewegen.

• Zeigefinger zeigt in die Ebene (Bildschirm) hinein, weil das Magnetfeld in den Bildschirm hineinzeigt.

• Der Mittelfinger zeigt in Richtung der magnetischen Kraft. Die Elektronen werden also in den oberen Teil des Plättchens abgelenkt.

Die Elektronen sammeln sich allmählich im oberen Teil des Plättchens an. Im oberen Bereich gibt es also mehr Elektronen als im unteren Bereich. Oben hast Du also einen Elektronenüberschuss und unten einen Elektronenmangel.

Dieser Ladungsunterschied verursacht ein elektrisches Feld \( E \), das definitionsgemäß vom Pluspol (unteren Teil) zum Minuspol (oberen Teil) zeigt. All weiteren Elektronen, die durch das Plättchen wandern, erfahren jetzt nicht nur eine magnetische, sondern auch eine elektrische Kraft \( F_{\text e} \). Diese wirkt auf die Elektronen nach unten, weil sie vom Pluspol angezogen werden.

Diese Ablenkungen passieren so lange, bis sich ein Kräftegleichgewicht einstellt.

Der obere und untere Teil des Plättchens entspricht quasi den entgegengesetzt geladenen Elektroden eines Plattenkondensators, die im Abstand \( h \) zueinander platziert sind. Hierbei ist \(h\) gleichzeitig die Breite des Plättchens.

Das homogene E-Feld eines Plattenkondensators hängt mit der Spannung \(U_{\text H}\) zwischen den Platten folgendermaßen zusammen:

Hierbei wird die Spannung \( U_{\text H} \) als Hall-Spannung bezeichnet. Im Gegensatz zum E-Feld, das im Inneren des Plättchens herrscht, kannst du die Hall-Spannung ganz einfach direkt mit einem Spannungsmessgerät messen.

Nach ein paar einfachen Schritten können wir die Formel für die Hall-Spannung herleiten:

Hierbei ist \(d\) die Dicke des Plättchens und \(A_{\text H}\) eine sogenannte Hall-Konstante.

Was ist die Hall-Konstante und wie bestimmte ich sie?

Hall-Konstante \( A_{\text H} \) ist eine Konstante, die abhängig vom verwendeten Material ist

Die Hall-Konstante hängt von der Ladungsträgerdichte \( n \) ab. In unserem Fall also von der Anzahl der Leitungselektronen pro Volumen des Plättchens. Sie hängt aber auch von der Ladung \( q \) ab, die ein einzelner Ladungsträger hat. In unserem Fall ist \( q \) die negative Elementarladung \(q = - e \). Die Hall-Konstante ist folglich negativ. Sie kann aber auch positiv sein, wenn für die Leitung nicht die Elektronen, sondern Löcher verantwortlich sind.

Mithilfe der hergeleiteten Formel 3 kannst du in einem Experiment die Hall-Konstante bestimmen. Den Strom kannst du mit einem Amperemeter messen, die Hall-Spannung mit einem Voltmeter, das Magnetfeld stellst du selbst ein und die Dicke des Plättchens kannst du mit einem Lineal ausmessen:

Sobald du die Hall-Konstante bestimmt hast, kannst du daraus nach Gl. 4 die Ladungsträgerdichte des verwendeten Plättchens herausfinden und anhand des Vorzeichens der Hall-Konstante weißt du, ob der Strom durch das Plättchen von Elektronen oder Löchern dominiert wird.

Beachte außerdem, dass die Ladungsträgerdichte von der Temperatur des Plättchens abhängt und damit auch die Hall-Konstante.