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Unendlich hoher Potentialtopf der Quantenmechanik

Unendlich hoher Potentialtopf - ist ein Standardbeispiel der Quantenmechanik zur Demonstration der Quantisierung der Energien des Teilchens, welches in diesem Potentialtopf eingesperrt ist.
Was du hier lernst...
  1. Was ist der Potentialtopf?Hier lernst du, was mit dem quantenmechanischen Potentialtopf gemeint ist.
  2. Welche Energien kann das Elektron haben?Hier lernst du, was mit der Energie eines Elektrons passiert, wenn dieses in einem Potentialtopf eingesperrt wird.

Mit einem Potentialtopf (bzw. Potentialkasten) ist kein aus Materie bestehender Topf gemeint, sondern ein Teil des Raums, wo sich ein Teilchen zwar frei bewegen kann, wenn es aber einen bestimmten Ort erreicht, dann kann es nicht einfach weiter fliegen, weil das Teilchen sehr viel Energie bräuchte, um weiterzukommen. Es gibt also an dem Ort (wo das Teilchen nicht weiterkommt) eine sogenannte Potentialbarriere, die das Teilchen überwinden muss. Wenn es nicht überwinden kann, dann bewegt es sich eben nur da, wo es ohne Energieaufwand herumfliegen kann.

Stell Dir also vor: Du sperrst ein Elektron in einem Bereich der Länge \( L \) ein. Dort hast Du die potentielle Energie Null gewählt, sodass sich das Elektron frei in diesem Bereich bewegen kann. An den Rändern des Bereichs hast Du etwas angestellt, sodass das Elektron unendlich viel Energie bräuchte, um aus dem Bereich herauszukommen.

Was passiert nun, wenn Du ein quantenmechanisches Teilchen (z.B. ein Elektron, ein Proton oder sogar ein ganzes Atom) in einem eindimensionalen, unendlich hohen Potentialkasten der Länge \( L \) einsperrst? Das Problem ist quantenmechanischer Natur, das heißt, um diese Frage zu beantworten, musst Du die Schrödinger-Gleichung lösen. "Schrödinger-Gleichung lösen" bedeutet, dass Du die Wellenfunktion des eingesperrten Elektrons berechnen musst. Die Wellenfunktion ist sozusagen der quantenmechanische Zustand des Elektrons und sagt Dir aus, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Elektron an einem gewählten Ort zu finden ist.

Die möglichen Zustände (Wellenfunktionen) des Elektrons im Potentialkasten. Eingezeichnet sind die ersten drei Wellenfunktionen.

Ohne die Wellenfunktion für dieses Problem herzuleiten, sieht sie so aus:

Wellenfunktion - unendlich hoher Potentialtopf (1D)\[ \psi_n(x) ~=~ \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi}{L}\,x\right) & 0\leq x \leq L \\ 0 & x\lt0,x\gt L \end{cases} \]

Es gibt also zwei Lösungen. Eine Lösung ist trivial und besagt, dass die Wellenfunktion des Elektrons außerhalb des Potentialtopfs verschwindet. Die andere Lösung besagt, dass das Elektron innerhalb des Potentialtopfs \( n \) Zustände hat. Jedem Zustand entspricht eine Wellenfunktion \(\psi_n\), die Du bekommen kannst, wenn Du eine konkrete ganze Zahl für \( n \) einsetzt, z.B. 1,2,3 etc.

Grundzustandswellenfunktion Das ist der Fall \(n=1\): \[ \psi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi}{L}\,x\right) \]

Die Nullstellen der Wellenfunktion sind Orte, an denen das Elektronen auf gar keinen Fall zu finden ist. Warum? Weil die Aufenthaltswahrscheinlichkeit \( |\psi_n(x)|^2 \) des Elektrons an diesen Orten verschwindet!

Welche Energien kann das Elektron haben?

Ein Elektron, welches im unendlich hohen Potentialkasten eingesperrt ist, kann nur bestimmte Energien haben.

Sobald die Wellenfunktionen des Elektrons bekannt sind, ist es mit der Quantenmechanik möglich, seine möglichen Energien herauszufinden. Durch Anwendung des sogenannten Energie-Operators auf die berechneten Wellenfunktionen, bekommst Du folgende Energien des Elektrons:

Energie - unendlich hoher Potentialkasten (1d)\[ W_{n} ~=~ \frac{h^2}{8m \, L^2} \, n^2 \]

Wie Du siehst, sind die Energien des Elektrons im Potentialtopf quantisiert. Das heißt das Elektron kann entweder die oder jene Energie haben, ABER keine Energie dazwischen! Setze für die Quantenzahl \( n ~=~ 1,2,3,4,...\) ein, um die jeweilige Energie zu berechnen, die ein Elektron in einem bestimmten Zustand hat. Zum Beispiel hat ein Elektron im Grundzustand \( \psi_{1}(x) \) die Grundzustandsenergie \( W_1 \). Und so weiter.

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