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Gaußscher Integralsatz (Satz von Gauß)

Gauß-Integralsatz (oder Divergenz-Integraltheorem, ugs. Gauß-Satz) - besagt, dass die Divergenz eines beliebigen Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) integriert über ein Volumen \(V\) gleich dem Fluss durch die abgeschlossene Oberfläche \(A\) dieses Volumens ist.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Was besagt der Gauß-Satz?

Gauß-Integralsatz veranschaulicht.
Gauß-Integralsatz1\[ \int_{V} \left(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\right) \, \text{d}v ~=~ \oint_{A}\boldsymbol{F} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]

Hierbei ist \(V\) ein beliebiges Volumen, z.B. ein Würfelvolumen oder ein Kugelvolumen. \(A\) ist dabei die geschlossene (ohne Löcher) Fläche des betrachteten Volumens. Beispielsweise bei einem Würfelvolumen ist es die Fläche des Würfels. Der Nabla-Operator \(\nabla\) ist ein Differentialoperator mit drei Komponenten, die die Ableitungen nach den drei Ortskoordinaten \(x,~y,~z\) sind. Und \( \boldsymbol{F} \) ist ein Vektorfeld, wie z.B. ein elektrisches Feld \( \boldsymbol{F} = \boldsymbol{E} \). Auf der linken Seite des Gauß-Integralsatzes wird das Skalarprodukt \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \) (genannt Divergenz) über das Volumen \(V\) aufsummiert. Auf der rechten Seite pickt das Skalarprodukt \(\boldsymbol{F} \cdot \text{d}\boldsymbol{a}\) nur die Komponente \(\boldsymbol{F}_{||}\) des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) heraus, die orthogonal auf der Oberfläche steht, also parallel zum \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Element verläuft. Anschließend werden alle Anteile \(\boldsymbol{F}_{||}\) an jedem Ort der Oberfläche aufsummiert.

Wie kann man sich den Gauß-Integralsatz anschaulich vorstellen?2\[ \sum \text{Wasserquellen im Volumen} ~ V ~=~ \text{Fluss durch Volumenoberfläche} ~ A \]

Wenn Du Dir vorstellst, dass \(\boldsymbol{F}\) die Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit beschreibt, dann ist es nach dem Gaußschen Satz egal, ob Du das Wasser aller Wasserquellen in einem betrachteten Volumen \( V \) aufaddierst (Volumenintegral der Divergenz von \(\boldsymbol{F}\)) oder, ob Du die Menge des Wassers, die durch die Oberfläche hinausströmt, betrachtest (Flussintegral von \(\boldsymbol{F}\)). In beiden Fällen kommst Du auf das gleiche Ergebnis!

Wann ist der Gauß-Integralsatz sehr nützlich?

Den Gaußschen Integralsatz benutzst Du in der Regel dafür, um Vektorfelder \(\boldsymbol{F}\) zu berechnen - zum Beispiel ein Gravitationsfeld \(\boldsymbol{G}\) oder elektrisches Feld \(\boldsymbol{E}\). Er ist immer gültig - aber nicht immer nützlich. Wenn Du aber ein Feld berechnen willst, bei dem Du schon vorher weißt, dass es - aus welchen Gründen auch immer - eine Symmetrie aufweist, dann sollten bei Dir die Alarmglocken schrillen! Denn dann wird Dir der Gaußsche Satz eine Menge Arbeit ersparen.

Doch zuerst musst Du folgendes beachten: Das Volumen, über das im Gaußschen Integralsatz integriert wird, wird auch Gauß-Volumen \( V \) genannt; seine Oberfläche dementsprechend auch Gauß-Oberfläche \( A \). Diese Oberfläche gehört NICHT zu einem real existierenden Objekt, sondern sie ist eine gedachte Oberfläche, die Du als Rechenhilfe benutzt, um beispielsweise das elektrische Feld einer realen Kugel zu berechnen!

Gauß-Volumen in Form einer gedachten Gaußschen Kugel, welche eine reale Kugel umschließt. Die reale Kugel kann z.B. eine elektrisch geladene Kugel sein.

Damit Du am Ende auch das herausbekommst, was Du berechnen wolltest, ist es entscheidend, dass dieses gedachte Volumen die richtige Form (eine zum Problem passende Symmetrie) hat, und dass Du es am richtigen Ort platzierst. Der Gaußsche Satz ist nutzlos, wenn Du den Fluss durch eine komisch gekrümmte Oberfläche behandeln möchtest und er ist echt stark, wenn Du das Problem eine einfache Symmetrie aufweist.

Gauß-Schachtel - für ein Problem mit ebener Symmetrie z.B. eine unendlich ausgedehnte Kondensatorplatte \(P\).

Es gibt grundsätzlich drei Symmetrien, für die der Gauß-Integralsatz perfekt geeignet ist:

  1. Sphärische Symmetrie - hier setzt Du eine "Gaußsche Kugel" ein. Diese Art der Symmetrie hast Du immer dann, wenn es sich in irgendeiner Weise um ein kugelförmiges Problem handelt und die Feldstärke allein vom Abstand zum Kugelmittelpunkt abhängt. Felder von punktförmigen Objekten gehören also auch dazu! Du kannst so zum Beispiel das Gravitationsfeld der Erde oder das elektrische Feld eines Elektrons berechnen.
  2. Ebene Symmetrie - hier verwendenst Du eine "Gaußsche Schachtel" als Volumen, über das Du integrierst. Diese Art der Symmetrie liegt zum Beispiel dann vor, wenn Du das Feld einer unendlich ausgedehnten geladenen Platte berechnen willst. Die Gauß-Schachtel ist dann einfach eine quaderförmige Box, die ein Stück der Platte einschließt. Es ist egal, wie lang oder breit sie ist - ihr Boden und ihr Deckel müssen aber parallel zur Platte sein und den gleichen Abstand zu ihr haben. Zwar kommen in der Realität natürlich keine unendlich ausgedehnten Platten vor - aber Du kannst das Feld einer großen Kondensatorplatte mit dieser Rechnung gut annähern, solange Du nicht zu nah an den Rand der Platte gehst.
  3. Zylindrische Symmetrie - hier verwendest Du einen "Gaußschen Zylinder" als Volumen. Diese Symmetrie findest Du in der Elektrodynamik häufig - jedes runde Kabel, auch Koaxialkabel genannt, hat hat eine solche Symmetrie! Manchmal versteckt sich der Hinweis, dass eine Zylindersymmetrie vorliegt, aber auch in so einem kryptischen Satz wie "Das Problem ist invariant bezüglich der z-Achse". Das heißt nichts anderes, als dass die Feldstärke sich nicht ändert, wenn du Dich in z-Richtung bewegst - sie hängt allein vom Abstand zu dieser Achse ab. Deshalb heißt diese Art der Symmetrie auch Achsen- oder Rotationssymmetrie.

Dein Ziel ist es ja ein Vektorfeld \( \boldsymbol{F} \) zu berechnen. Dann musst Du das Gauß-Volumen genau so wählen, dass seine Oberfläche durch einen Punkt \(r_1\) verläuft, an dem Du die Feldstärke \( F (r_1) \) berechnen möchtest. Da Du nicht nur die Feldstärke an einem einzelnen Punkt wissen möchtest, sondern an jedem beliebigen Ort \( r \) des Feldes, hat Dein Gauß-Volumen also auch für jeden einzelnen dieser Punkte eine andere Größe.

Beispiel für ein Gauß-Volumen

Du möchtest das elektrische Feld von einem runden geladenen Draht berechnen und dazu den Satz von Gauß verwenden. Was ist hier das Gauß-Volumen?

Ein gedachter Gauß-Zylinder außerhalb, mit dem Radius \(r\) und Länge \(L\) umschließt einen geladenen Leiter mit dem Radius \(R\).

Du hast gelernt, dass das Gauß-Volumen kein reales Objekt ist - also nicht das Volumen des Drahtes oder ähnliches. Als Merkregel gilt, dass Du für das Gauß-Volumen am besten eine ähnliche Form wählst, wie die des geladenen Gegenstandes. In diesem Fall also einen Zylinder, da der Draht ein sehr dünner, langer Zylinder ist.

Die Länge des Gauß-Zylinders ist egal, da die Deckelflächen - wie Du beim Ausrechnen schnell merken wirst - nichts zum Integral beitragen. Sag also einfach, der Zylinder hat die Länge \( L \).

Die Dicke des Zylinders ist allerdings nicht egal! Seine Oberfläche muss durch den Feldpunkt verlaufen - also durch den Ort, an dem du die Feldstärke berechnen möchtest. Du möchtest aber nun das Feld an jedem beliebigen Punkt wissen! Diese Punkte haben alle einen unterschiedlichen Abstand \( r \) von der Achse durch die Mitte des Drahtes. Der Fall ist damit klar: Dein Gauß-Zylinder hat den variablen Radius \( r \)!

Beim Volumenintegral steht also eine Variable in der Integrationsgrenze. Um dieses \( r \) formal von dem \( r \) zu unterscheiden, über das integriert wird, macht man üblicherweise einen Strich an die Integrationsvariablen \( r' \). Das Volumenintegral über deinen Gaußzylinder sieht dann also so aus:\[ \int_{V} \, \text{d}v' ~=~ \int_{0}^{r}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{L}r'~\text{d}r' \, \text{d}\varphi' \, \text{d}z' \]

Das zusätzliche \( r' \) im Integranden kommt von der Verwendung von Zylinderkoordinaten. (Damit solltest Du Dich auskennen.)

Im Oberflächenintegral ist \( r \) der Radius Deines Zylinders:\[ \int_{A} \, \text{d}a' ~=~ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{L}r~ \text{d} \varphi' \, \text{d}z' \]

Gauß-Integralsatz in der Elektrostatik

Wenn das Vektorfeld ein elektrisches Feld \( \boldsymbol{E} \) ist, dann wird der mathematische Integralsatz 1 zu:\[ \int_{V} \left(\nabla \cdot \boldsymbol{E}\right)\,\text{d}v ~=~ \oint_{A} \boldsymbol{E} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]

Nun kann die folgende Maxwell-Gleichung für das elektrische Feld benutzt werden, um die Divergenz zu ersetzen (diese Maxwell-Gleichung lässt sich aus dem Coulomb-Gesetz herleiten):\[ \nabla \cdot \boldsymbol{E} ~=~ \frac{\rho}{\varepsilon_0} \]hierbei ist \(\rho\) die Ladungsdichte (Ladung pro Volumen) und \(\varepsilon_0\) die elektrische Feldkonstante. Wird nun diese Maxwell-Gleichung in den Integralsatz eingesetzt, dann steht Folgendes:\[ \int_{V}\frac{\rho}{\varepsilon_0}~\text{d}v ~=~ \oint_{A}\boldsymbol{E} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]

Divergenz-Integraltheorem angewendet auf die Elektrostatik.

Die elektrische Feldkonstante \( \varepsilon_0 \) ist eine Konstante und kann aus dem Volumenintegral herausgezogen werden. Und die Ladungsdichte \( \rho \) wird über ein betrachtetes Volumen \(V\) integriert. Das Integral ergibt die von diesem Volumen eingeschlossene elektrische Ladung \( Q \). Der mathematische Gauß-Integralsatz mit zuhilfenahme der physikalischen Maxwell-Gleichung ergibt das nützliche Gauß-Gesetz, welches beispielsweise zur Berechnung von elektrischen Feldern benutzt werden kann:

1. Maxwell-Gleichung (Gauß-Gesetz)\[ \frac{Q}{\varepsilon_0} ~=~ \oint_{A}\boldsymbol{E}\cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]
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