Nabla-Operator: 3 Anwendungen + 9 Rechenregeln

#1 Skalarmultiplikation mit Nabla

Für die Skalarmultiplikation des Nabla-Operators dient eine skalare Funktion \( f(x,y,z) \) in Abhängigkeit von drei Variablen:

(Beachte jedoch dabei, dass derartige Skalarmultiplikation nicht kommutativ ist, weshalb es gefährlich ist das Nabla als einen Vektor aufzufassen). Was Du dabei machst ist also: Du leitest die skalare Funktion \( f \) nach der \(x\)-Variablen ab und schreibst sie in die 1. Komponente des Ergebnisvektors. Die Funktion \( f \) ist aber noch von weiteren Variablen \(y\) und \(z\) abhängig, also gehst Du mit denen genauso vor: \( f \) nach \(y\) ableiten und in die 2. Komponente schreiben und \( f \) nach \(z\) ableiten und in die 3. Komponente des Ergebnisvektors schreiben.

Wäre die Funktion \( f(x,y) \) nur z.B. von zwei Variablen \( x \) und \( y \) abhängig, dann hätte der Ergebnisvektor nur zwei Komponenten. Dazu musst Du natürlich einen zweidimensionalen Nabla-Operator benutzen, der eben nur zwei (und nicht drei) Komponenten hat:3\[ \nabla \, f(x,y) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix} \, f(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} \]

Das Ergebnis ist also ein zweimensionaler (zwei Komponenten) Vektor. Nabla macht aus einer skalaren Funktion \( f \), eine Vektorfunktion!

Illustration bekommen

#2 Skalarprodukt mit Nabla

Dieses Mal brauchst Du eine Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}(x,y,z)\). (Sie ist von der Form, wie der Ergebnisvektor 4 der Nabla-Skalarmultiplikation). In diesem Fall kannst Du Dir vorstellen, als würdest Du ein Skalarprodukt (nicht kommutativ!) bilden:

Nabla macht beim Skalarprodukt aus einer Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}\) eine skalare Funktion. Also genau das Umgekehrte wie beim Gradienten!

#3 Kreuzprodukt mit Nabla

Wie beim Skalarprodukt 5 brauchst Du auch beim Kreuzprodukt eine Vektorfunktion \( \boldsymbol{F}(x,y,z) \):

Das Ergebnis des Kreuzprodukts 8 ist wieder ein Vektor! Nabla belässt hier die Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}\) als Vektorfunktion.

#1 Divergenz des Gradienten

Wendest Du auf eine skalare Funktion \( f(x,y,z) \) den Laplace-Operator an:12\[ \nabla \cdot \nabla \, f ~=~ \nabla^2 \, f ~=~ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \]dann bekommst Du die Divergenz des Gradienten von \( f\). Hier gilt übrigens die Assoziativität, weshalb Klammern überflüssig sind: \( (\nabla \cdot \nabla) \, f ~=~ \nabla \cdot (\nabla \, f) ~=~ \nabla \cdot \nabla \, f\).

#2 Divergenz der Rotation

Dafür brauchst Du natürlich eine vektorielle Funktion \( \boldsymbol{F} \), denn die Rotation ist nur für eine Vektorfunktion definiert. Die Rotation von \( \boldsymbol{F} \) hast Du in 8 schon berechnet. Bilde nur noch das Skalarprodukt mit dem Ergebnis der Rotation:13\[ \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) ~=~ \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial F_z}{\partial y} ~-~ \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial F_x}{\partial z} ~-~ \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial F_y}{\partial x} ~-~ \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) ~=~ 0 \]

Wie Du siehst, Divergenz der Rotation ist immer Null. Ein physikalisches Beispiel ist das Magnetfeld \( \boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} \) (mit \( \boldsymbol{A} \) als Vektorpotential). Divergenz des Magnetfeldes verschwindet: \( \nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0 \).

#3 Rotation des Gradienten

Für eine skalare Funktion \( f \):14\[ \nabla \times (\nabla \, f) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial z} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x} \end{bmatrix} ~=~ 0 \]

Ein physikalisches Beispiel: Das elektrostatische Feld lässt sich als Gradient eines Potentials schreiben: \( \boldsymbol{E} = \nabla \, V \), folglich ist die Rotation des E-Feldes \( \nabla \times \boldsymbol{E} = 0 \). Elektrostatische E-Felder sind also wirbelfrei!

#4 Rotation der Rotation

Für eine vektorielle Funktion (mithilfe von 8):15\[ \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{F}) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial^2 F_x}{\partial y^2} - \frac{\partial^2 F_x}{\partial z^2} + \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial^2 F_y}{\partial z^2} - \frac{\partial^2 F_y}{\partial x^2} + \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F_x}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial^2 F_z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 F_z}{\partial y^2} + \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial F_y}{\partial z} \end{bmatrix} \]

#5 Gradient der Divergenz

Für eine Vektorfunktion \( \boldsymbol{F} \) folgt mithilfe von 5:16\[ \nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 F_x}{\partial x^2} + \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F_z}{\partial z} \\ \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial^2 F_y}{\partial y^2} + \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial F_z}{\partial z} \\ \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial^2 F_z}{\partial z^2} \end{bmatrix} \]

All die anderen denkbaren Fälle: "Rotation der Divergenz", "Gradient der Rotation", "Divergenz der Divergenz" und "Gradient des Gradienten" sind nicht definiert.