Nabla-Operator: 3 Anwendungen + 9 Rechenregeln
Nabla-Operator \(\nabla\) ähnelt notationsmäßig einem Vektor und sieht im dreidimensionalen Fall folgendermaßen aus:\[ \nabla ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \]
Die Komponenten des Nabla-Operators sind partielle Ableitungen nach \(x\), \(y\) oder \(z\). Die Komponenten von Nabla sind sogenannte Differential-Operatoren und sagen Dir: Du musst eine Funktion nach der jeweiligen Variablen (die im Nenner notiert ist) ableiten.
Der Nabla-Operator entfaltet erst dann seine Wirkung, wenn dieser auf eine Funktion angewendet wird. Nabla kann sowohl auf Vektorfunktionen:1\[ \boldsymbol{F}(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix}F_{1}(x,y,z)\\ F_{2}(x,y,z)\\F_{3}(x,y,z)\end{bmatrix} \]als auch auf skalare Funktionen \( f(x,y,z) \) angewendet werden. Einen gewöhnlichen Vektor \( \boldsymbol{v} \) kannst Du mit einer Zahl \( a \in \mathbb{R} \) multiplizieren (Skalarmultiplikation) \( \boldsymbol{v} \, a \). Du kannst aber auch Skalarprodukt \( \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w} \) und Kreuzprodukt \( \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{w} \) mit einem weiteren Vektor \( \boldsymbol{w} \) bilden. Diese 3 Operationen sind auch beim Nabla-Operator, der als Vektor aufgefasst werden kann, möglich! Für die Skalarmultiplikation des Nabla-Operators dient eine skalare Funktion \( f(x,y,z) \) in Abhängigkeit von drei Variablen: (Beachte jedoch dabei, dass derartige Skalarmultiplikation nicht kommutativ ist, weshalb es gefährlich ist das Nabla als einen Vektor aufzufassen). Was Du dabei machst ist also: Du leitest die skalare Funktion \( f \) nach der \(x\)-Variablen ab und schreibst sie in die 1. Komponente des Ergebnisvektors. Die Funktion \( f \) ist aber noch von weiteren Variablen \(y\) und \(z\) abhängig, also gehst Du mit denen genauso vor: \( f \) nach \(y\) ableiten und in die 2. Komponente schreiben und \( f \) nach \(z\) ableiten und in die 3. Komponente des Ergebnisvektors schreiben. Wäre die Funktion \( f(x,y) \) nur z.B. von zwei Variablen \( x \) und \( y \) abhängig, dann hätte der Ergebnisvektor nur zwei Komponenten. Dazu musst Du natürlich einen zweidimensionalen Nabla-Operator benutzen, der eben nur zwei (und nicht drei) Komponenten hat:3\[ \nabla \, f(x,y) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix} \, f(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} \] Das Ergebnis ist also ein zweimensionaler (zwei Komponenten) Vektor. Nabla macht aus einer skalaren Funktion \( f \), eine Vektorfunktion! Dieses Mal brauchst Du eine Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}(x,y,z)\). (Sie ist von der Form, wie der Ergebnisvektor Nabla macht beim Skalarprodukt aus einer Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}\) eine skalare Funktion. Also genau das Umgekehrte wie beim Gradienten! Wie beim Skalarprodukt Das Ergebnis des Kreuzprodukts Wendest du den Nabla-Operator \(\nabla\) mithilfe des Kreuzprodukts auf eine Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}\) an, dass wird das Ergebnis \(\nabla \times \boldsymbol{F} \) als Rotation von \(\boldsymbol{F}\) bezeichnet. Natürlich kannst Du auch Nabla mit Nabla skalar- oder kreuzmultiplizieren und dann das Ergebnis auf eine skalare oder vektorielle Funktion anwenden. Es ergeben sich dabei unterschiedliche Beziehungen. Das Ergebnis ist die Summe der zweiten Ableitungen nach den jeweiligen Variablen. Das Skalarprodukt \( \nabla \cdot \nabla \) wird kurz \( \nabla^2 \) notiert (manchmal auch, aber eher nicht so gut mit \(\Delta\)) und Laplace-Operator genannt. Das Kreuzprodukt zweier Nabla-Operatoren ist uninteressant, weil es stets den Nullvektor ergibt. Warum? Weil die partiellen Ableitungen untereinander kommutativ sind:11\[ \nabla \times \nabla ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \] Wendest Du also das Nabla-Kreuzprodukt ACHTUNG! Assoziativität gilt NICHT: \( (\nabla \times \nabla) ~\cdot~ \boldsymbol{F} \neq \nabla \times (\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F}) \). Oder: \( 0 = (\nabla \times \nabla) ~\times~ f \neq \nabla \times (\nabla \times f) \). In der Elektrodynamik, Strömungslehre und anderen Gebieten der Physik kommen Beziehungen vor, in denen Nabla-Operator zweimal auf ein Vektorfeld oder Skalarfeld angewendet wird. Es gibt genau fünf unterschiedliche Möglichkeiten: Wendest Du auf eine skalare Funktion \( f(x,y,z) \) den Laplace-Operator an:12\[ \nabla^2 \, f ~=~ \nabla \cdot \nabla \, f ~=~ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \]dann bekommst Du die Divergenz des Gradienten von \( f\). Hier gilt übrigens die Assoziativität, weshalb Klammern überflüssig sind: \( (\nabla \cdot \nabla) \, f ~=~ \nabla \cdot (\nabla \, f) ~=~ \nabla \cdot \nabla \, f\). Dafür brauchst Du natürlich eine vektorielle Funktion \( \boldsymbol{F} \), denn die Rotation ist nur für eine Vektorfunktion definiert. Die Rotation von \( \boldsymbol{F} \) hast Du in Wie Du siehst, Divergenz der Rotation ist immer Null. Ein physikalisches Beispiel ist das Magnetfeld \( \boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} \) (mit \( \boldsymbol{A} \) als Vektorpotential). Divergenz des Magnetfeldes verschwindet: \( \nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0 \). Für eine skalare Funktion \( f \):14\[ \nabla \times (\nabla \, f) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial z} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x} \end{bmatrix} ~=~ 0 \] Ein physikalisches Beispiel: Das elektrostatische Feld lässt sich als Gradient eines Potentials schreiben: \( \boldsymbol{E} = \nabla \, V \), folglich ist die Rotation des E-Feldes \( \nabla \times \boldsymbol{E} = 0 \). Elektrostatische E-Felder sind also wirbelfrei! Für eine vektorielle Funktion (mithilfe von Für eine Vektorfunktion \( \boldsymbol{F} \) folgt mithilfe von All die anderen denkbaren Fälle: "Rotation der Divergenz", "Gradient der Rotation", "Divergenz der Divergenz" und "Gradient des Gradienten" sind nicht definiert. Mit dem Wissen, dass du eben erworben hast, kannst du folgende Rechenregeln mit dem Nabla-Operator herleiten. Diesen Rechenregeln wirst du zum Beispiel in der Elektrodynamik begegnen, denn damit lassen sich gewisse Ausdrücke vereinfachen und umformen.Nabla auf Funktionen anwenden
#1 Skalarmultiplikation mit Nabla
#2 Skalarprodukt mit Nabla
4
der Nabla-Skalarmultiplikation). In diesem Fall kannst Du Dir vorstellen, als würdest Du ein Skalarprodukt (nicht kommutativ!) bilden:#3 Kreuzprodukt mit Nabla
5
brauchst Du auch beim Kreuzprodukt eine Vektorfunktion \( \boldsymbol{F}(x,y,z) \):8
ist wieder ein Vektor! Nabla belässt hier die Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}\) als Vektorfunktion.6
. Wende den Nabla-Operator - mittels Kreuzprodukt - auf \( \boldsymbol{F} \) an:9\[ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} ~\times~ \begin{bmatrix}F_{x}(x,y,z)\\ F_{y}(x,y,z)\\F_{z}(x,y,z)\end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} 5x - y \\ - 5y \\ 0 \end{bmatrix} \]Nabla auf Nabla anwenden
11
auf eine beliebige vektorielle Funktion an: \( (\nabla \times \nabla) ~\cdot~ \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} \) bzw. \( (\nabla \times \nabla) ~\times~ \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}\) dann bekommst Du stets den Nullvektor heraus.5 Möglichkeiten Nabla zweimal anzuwenden
#1 Divergenz des Gradienten
#2 Divergenz der Rotation
8
schon berechnet. Bilde nur noch das Skalarprodukt mit dem Ergebnis der Rotation:13\begin{align}
\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) &~=~ \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial F_z}{\partial y} ~-~ \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial F_x}{\partial z} ~-~ \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial F_y}{\partial x} ~-~ \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \\\\
&~=~ 0
\end{align}#3 Rotation des Gradienten
#4 Rotation der Rotation
8
):15\[ \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{F}) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial^2 F_x}{\partial y^2} - \frac{\partial^2 F_x}{\partial z^2} + \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial^2 F_y}{\partial z^2} - \frac{\partial^2 F_y}{\partial x^2} + \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F_x}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial^2 F_z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 F_z}{\partial y^2} + \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial F_y}{\partial z} \end{bmatrix} \]#5 Gradient der Divergenz
5
:16\[ \nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 F_x}{\partial x^2} + \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F_z}{\partial z} \\ \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial^2 F_y}{\partial y^2} + \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial F_z}{\partial z} \\ \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial^2 F_z}{\partial z^2} \end{bmatrix} \]9 Rechenregeln mit Nabla
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die Funktion \( \boldsymbol{F} \) mit Nabla vertauschst, dann bekommst Du:17\[ \boldsymbol{F} \cdot \nabla ~=~ F_x\frac{\partial}{\partial x} + F_y\frac{\partial }{\partial y} + F_z\frac{\partial }{\partial z} \]Auf diese Weise ist 17
ein sogenannter Operator, den Du auf irgendeine Funktion \( f \) anwenden kannst: \( (\boldsymbol{F} \cdot \nabla)\,f\). Solche Ausdrücke wie 17
- bei denen noch offen steht, worauf die partiellen Ableitungen angewendet werden sollen, findest Du überall in der Quantenmechanik. Nabla selbst, ist ein Operator!