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Nabla-Operator: Die 3 wichtigsten Anwendungen + 9 Rechenregeln

Vektorplot des Gradienten der Skalarfunktion x²+5xy
Level 3 (bis zum Physik B. Sc.)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. 3 grundlegende Möglichkeiten Nabla auf Funktionen anzuwenden Hier lernst du, wie der Gradient, Divergenz und Rotation einer Funktion mittels Nabla-Operator gebildet werden können.
  2. Nabla auf Nabla anwenden Hier wendest du den Nabla-Operator auf Nabla-Operator mithilfe des Skalar- und Kreuzprodukts an.
  3. 5 sinnvolle Möglichkeiten Nabla zweimal anzuwenden Hier lernst du, wie sich Divergenz des Gradienten, Divergenz der Rotation und Ähnliches ergibt, wenn der Nabla-Operator zweimal auf eine Funktion angewendet wird.
  4. Die 9 nützlichsten Rechenregeln mit Nabla Hier lernst du einige wichtige Rechenregeln, die du dazu benutzen kannst, um Ausdrücke mit Nabla zu vereinfachen oder umzuschreiben.

Nabla-Operator \(\nabla\) ähnelt notationsmäßig einem Vektor und sieht im dreidimensionalen Fall folgendermaßen aus, wenn wir diesen mit kartesischen Koordinaten ausdrücken:

Nabla-Operator in 3d
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Die drei Komponenten des Nabla-Operators sind partielle Ableitungen nach \(x\), \(y\) oder \(z\). Die allein stehenden Ableitungen werden Differential-Operatoren genannt. Du kannst einen Differential-Operator auf eine Funktion anwenden. Das Ergebnis ist die Ableitung der Funktion.

Der Nabla-Operator entfaltet erst dann seine Wirkung, wenn dieser auf eine skalare oder vektorielle Funktion angewendet wird. Das Ergebnis ist eine mehrdimensionale Ableitung der Funktion.

3 grundlegende Möglichkeiten Nabla auf Funktionen anzuwenden

Der Nabla-Operator kann sowohl auf skalare Funktionen \( f(x,y,z) \) als auch auf vektorielle Funktionen angewendet werden. Eine 3d-Vektorfunktion hat drei Komponenten:

Beispiel für eine 3d-Vektorfunktion
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Die Komponenten einer Vektorfunktion sind skalare Funktionen wie \( f(x,y,z) \). Du kannst also eine skalare Funktion wie eine 1d-Vektorfunktion auffassen, die genau eine Komponente hat. Wenn eine Vektorfunktion, wie im Beispiel 2 von den Ortskoordinaten \( x \), \(y\) und \(z\) abhängt, dann nennen wir sie ein Vektorfeld. Eine Komponente des Vektorfeldes, wie zum Beispiel die erste Komponente \( F_{1}(x,y,z) \), wird manchmal auch statt mit dem Index '1' mit Index '\(\text{x}\)' notiert, um anzudeuten, dass es die Komponente des Vektorfeldes ist, die in \(x\)-Richtung zeigt: \( F_{\text{x}}(x,y,z) \).

Ein Vektorfeld ist also nichts anderes als ein Vektor \( \boldsymbol{F} \), der seine Länge und Richtung verändern kann, je nach dem an welcher Position im Raum wir diesen Vektor betrachten.

Du kannst einen Vektor auf unterschiedliche Weise manipulieren:

  • Skalarmultiplikation - Du kannst einen Vektor mit einer reellen Zahl, nennen wir sie \( a \in \mathbb{R} \), multiplizieren: \( \boldsymbol{F} \, a \). Die Zahl \( a \) könnte beispielsweise die skalare Funktion \( f \) sein und \( \boldsymbol{F} \) der Nabla-Operator.

  • Du kannst ein Skalarprodukt des Vektors mit einem anderen Vektor \( \boldsymbol{R} \) bilden: \( \boldsymbol{R} \cdot \boldsymbol{F} \). Der Nabla-Operator könnte beispielsweise dieser Vektor \( \boldsymbol{R} \) sein.

  • Du kannst ein Kreuzprodukt des Vektors mit einem anderen Vektor \( \boldsymbol{R} \) bilden: \( \boldsymbol{R} \times \boldsymbol{F} \). Der Nabla-Operator könnte beispielsweise dieser Vektor \( \boldsymbol{R} \) sein.

#1: Skalarmultiplikation mit Nabla

Lass uns konkret ausrechnen, was wir bekommen würden, wenn wir den Nabla-Operator \( \nabla \) auf eine skalare Funktion \( f(x,y,z) \) anwenden, die von drei Variablen abhängt.

Multiplikation mit Nabla = Gradient
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Im zweiten Schritt haben wir lediglich die Definition des Nabla-Operators benutzt und im letzten Schritt die skalare Funktion (quasi eine Zahl) in den Vektor hineingezogen und die Abhängigkeit von \(x\), \(y\) und \(z\) weggelassen, um das Ergebnis kompakt zu notieren.

Das Ergebnis von Nabla angewendet auf \( f \) wird als Gradient bezeichnet und stellt offensichtlich ein dreidimensionales Vektorfeld mit drei Komponenten dar:

  • Die 1. Komponente enthält die Steigung \( \frac{\partial f}{\partial x} \) in \( x \)-Richtung.

  • Die 2. Komponente enthält die Steigung \( \frac{\partial f}{\partial y} \) in \( y \)-Richtung.

  • Die 3. Komponente enthält die Steigung \( \frac{\partial f}{\partial z} \) in \( z \)-Richtung.

Beachte: Die derartige Skalarmultiplikation wie in 3 ist nicht kommutativ, weshalb der Nabla-Operator mathematisch kein richtiger Vektor ist.

Was ist der Gradient einer Funktion?

Wendest du den Nabla-Operator \( \nabla \) auf eine skalare Funktion \( f \) an, dann wird der Ergebnisvektor \( \nabla \, f \) als Gradient von \( f \) bezeichnet.

Natürlich darfst du auch einen zweidimensionalen Nabla-Operator benutzen, der nur zwei (und nicht drei) Komponenten hat. Einen zweidimensionalen Gradienten könntest du dann folgendermaßen ausrechnen:

Gradient in zwei Dimensionen
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Und der Nabla-Operator in einer Dimension ist einfach eine partielle Ableitung \( \frac{\partial f}{\partial x} \).

Beispiel: Gradient einer Funktion berechnen

Gegeben ist eine skalare Funktion \( f(x,y,z) = x^2 + 5xy + z \). Wende den Nabla-Operator - wie oben erklärt - auf \( f \) an:

Beispielergebnis für ein Gradientenfeld
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Illustration : Das Gradientenfeld von \(x^2 + 5xy\).

#2: Skalarprodukt mit Nabla

Eine andere Möglichkeit den Nabla-Operator diesmal mit einem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}(x,y,z)\) wie in 2 zu kombinieren, ist ein Skalarprodukt zu bilden:

Skalarprodukt mit Nabla = Divergenz
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Beim Skalarprodukt wendest du die Ableitungen auf die Skalarfunktionen (Vektorfeldkomponenten) komponentenweise an:

  1. Bilde die Ableitung der ersten Komponente \( F_{\text x}(x,y,z) \) nach \(x\).

  2. Bilde die Ableitung der zweiten Komponente \( F_{\text y}(x,y,z) \) nach \(y\).

  3. Bilde die Ableitung der dritten Komponente \( F_{\text z}(x,y,z) \) nach \(z\).

  4. Addiere die drei Ableitungen zusammen.

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Nabla mit \( \boldsymbol{F} \) wird als Divergenz bezeichnet und stellt eine dreidimensionale Skalarfunktion \( f(x,y,z) \) dar. Beim Gradienten wurde aus einer skalaren Funktion \(f\) eine Vektorfunktion \( \boldsymbol{F} \) erzeugt. Bei der Divergenz machen wir aus einer Vektorfunktion eine skalare Funktion. Also genau andersherum!

Was ist die Divergenz eines Vektorfeldes?

Wendest du den Nabla-Operator \( \nabla \) mithilfe des Skalarprodukts auf eine Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}\) an, dann wird das Ergebnis \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \) als Divergenz von \(\boldsymbol{F}\) bezeichnet.

Beispiel: Divergenz eines Vektorfelds berechnen

Gegeben ist folgendes dreidimensionales Vektorfeld:

Beispiel: 3d-Vektorfeld
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Bilde das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit dem Vektorfeld \( \boldsymbol{F} \):

Beispielrechnung: Divergenz eines 3d-Vektorfelds
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#3: Kreuzprodukt mit Nabla

Wie beim Skalarprodukt 6 wendest Du auch beim Kreuzprodukt den Nabla-Operator auf eine Vektorfunktion \( \boldsymbol{F}(x,y,z) \) an:

Kreuzprodukt mit Nabla = Rotation
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Das Ergebnis des Kreuzprodukts 9 ist wieder ein Vektor! Nabla belässt hier die Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}\) als Vektorfunktion.

Was ist die Rotation eines Vektorfeldes?

Wendest du den Nabla-Operator \(\nabla\) mithilfe des Kreuzprodukts auf eine Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}\) an, dass wird der Ergebnisvektor \(\nabla \times \boldsymbol{F} \) als Rotation von \(\boldsymbol{F}\) bezeichnet.

Beispiel: Rotation eines Vektorfeldes berechnen

Betrachte wieder das Vektorfeld wie in 7:

Beispielvektorfeld für die Rotation des Vektorfelds

Wende den Nabla-Operator - mittels Kreuzprodukt - auf \( \boldsymbol{F} \) an:

Beispielrechnung: Rotation eines 3d-Vektorfeldes
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Nabla auf Nabla anwenden

Natürlich kannst Du auch das Skalar- und Kreuzprodukt von Nabla mit Nabla bilden. Das Skalarprodukt ergibt einen neuen Operator \( \nabla \cdot \nabla \), den wir als Laplace-Operator bezeichnen:

Laplace-Operator: Skalarprodukt zweier Nabla-Operatoren
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Der Laplace-Operator ist die Summe der zweiten Ableitungen nach \(x\), \(y\) und \(z\). Das Skalarprodukt \( \nabla \cdot \nabla \) wird kurz \( \nabla^2 \) notiert (manchmal auch als \(\Delta\)).

Das Kreuzprodukt zweier Nabla-Operatoren ist uninteressant, weil es stets den Nullvektor ergibt. Warum? Weil die partiellen Ableitungen untereinander kommutativ sind und sich damit im Kreuzprodukt genau wegheben:

Kreuzprodukt von Nabla-Operator mit Nabla-Operator ist Null
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Wendest Du also das Nabla-Kreuzprodukt 12 auf eine beliebige vektorielle Funktion an: \( (\nabla \times \nabla) ~\cdot~ \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} \) bzw. \( (\nabla \times \nabla) ~\times~ \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}\) dann bekommst Du stets den Nullvektor heraus.

Beachte! Assoziativität gilt nicht:

Beispiele: Kreuzprodukt mit Nabla ist nicht assoziativ

5 sinnvolle Möglichkeiten Nabla zweimal anzuwenden

In der Elektrodynamik, Strömungslehre und anderen Gebieten der Physik kommen Beziehungen vor, in denen Nabla-Operator zweimal auf ein Vektorfeld oder Skalarfeld angewendet wird. Es gibt genau fünf unterschiedliche Möglichkeiten:

1. Möglichkeit: Divergenz des Gradienten

Wendest Du auf eine skalare Funktion \( f(x,y,z) \) den Laplace-Operator 11 an, dann bekommst Du die Divergenz des Gradienten von \( f\):

Formel: Divergenz des Gradienten
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Hier gilt übrigens die Assoziativität, weshalb Klammern überflüssig sind: \( (\nabla \cdot \nabla) \, f ~=~ \nabla \cdot (\nabla \, f) ~=~ \nabla \cdot \nabla \, f\).

2. Möglichkeit: Divergenz der Rotation

Dafür brauchst Du natürlich eine Vektorfunktion \( \boldsymbol{F} \), denn die Rotation ist nur für eine Vektorfunktion definiert. Die Rotation von \( \boldsymbol{F} \) hast Du in 9 schon berechnet. Bilde nur noch das Skalarprodukt mit dem Ergebnis 9 der Rotation:

Formel: Divergenz der Rotation
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Wie Du am Ergebnis siehst: Divergenz der Rotation ist immer Null. Ein physikalisches Beispiel ist das Magnetfeld \( \boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} \) (mit \( \boldsymbol{A} \) als Vektorpotential). Divergenz des Magnetfeldes verschwindet: \( \nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0 \).

3. Möglichkeit: Rotation des Gradienten

Hier bildest du als erstes den Gradient einer skalaren Funktion \( f \) wie in 3 und anschließend bildest du das Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit dem Ergebnisvektor \( \nabla \, f \) wie in 9:

Formel: Rotation des Gradienten
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Die Rotation des Gradienten ist immer Null. Ein physikalisches Beispiel: Das elektrostatische Feld lässt sich als Gradient eines skalaren Potentials schreiben: \( \boldsymbol{E} = \nabla \, V \). Dank unseres Ergebnisses können wir schlussfolgern, dass die Rotation des E-Feldes verschwindet: \( \nabla \times \boldsymbol{E} = 0 \). Elektrostatische E-Felder sind also wirbelfrei!

4. Möglichkeit: Rotation der Rotation

Du kannst den Nabla-Operator zweimal als Kreuzprodukt auf eine vektorielle Funktion anwenden (siehe Gl. 8 wie das geht):

Formel: Rotation der Rotation
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5. Möglichkeit: Gradient der Divergenz

Die letzte sinnvolle Möglichkeit ist es zuerst die Divergenz \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \) zu bilden. Das Ergebnis ist eine skalare Funktion. Und anschließend den Nabla-Operator auf diese Skalarfunktion anzuwenden:

Formel: Gradient der Divergenz
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All die anderen denkbaren Fälle: "Rotation der Divergenz", "Gradient der Rotation", "Divergenz der Divergenz" und "Gradient des Gradienten" sind nicht definiert und kommen in der Physik gar nicht vor.

Die 9 nützlichsten Rechenregeln mit Nabla

Mit dem Wissen, dass du eben erworben hast, kannst du folgende Rechenregeln mit dem Nabla-Operator herleiten. Diesen Rechenregeln wirst du zum Beispiel in der Elektrodynamik begegnen, denn damit lassen sich gewisse Ausdrücke vereinfachen und umformen.

  1. Distributivität bei Multiplikation

    Rechenregel: Distributivität bei Multiplikation
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  2. Distributivität bei Skalarprodukt

    Rechenregel: Distributivität bei Skalarprodukt
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  3. Distributivität bei Kreuzprodukt

    Rechenregel: Distributivität bei Kreuzprodukt
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  4. Produktregel für Skalarfunktionen

    Rechenregel: Produktregel für Skalarfunktionen
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  5. Produktregel für Skalar- und Vektorfunktion

    Rechenregel: Produktregel für Skalar- und Vektorfunktion
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  6. Spatprodukt mit Nabla

    Rechenregel: Spatprodukt mit Nabla
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  7. Doppeltes Kreuzprodukt mit Nabla

    Rechenregel: Doppeltes Kreuzprodukt mit Nabla
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  8. Gradient eines Skalarprodukts

    Rechenregel: Divergenz eines Skalarprodukts
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  9. Rotation eines skalierten Vektorfelds

    Rechenregel: Rotation eines skalierten Vektorfelds
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Nabla mit Funktion vertauschen?

Wenn Du beispielsweise beim Skalarprodukt 6 die Funktion \( \boldsymbol{F} \) mit Nabla vertauschst, dann bekommst Du einen neuen Operator:

Skalarprodukt mit Nabla und Vektorfeld vertauscht
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So wie den Nabla-Operator kannst du auch den Operator 27 auf irgendeine Funktion \( f \) anwenden: \( (\boldsymbol{F} \cdot \nabla)\,f\). Solche Ausdrücke wie 27 - bei denen noch offen steht, worauf die partiellen Ableitungen angewendet werden sollen, findest Du überall in der Quantenmechanik!

Nun hast du gelernt, was der Nabla-Operator ist und wie du diesen auf skalare und vektorielle Funktionen anwenden kannst. In der nächsten Lektion schauen wir uns den Gradienten \( \nabla \, f \) etwas genauer an und lernen die Richtungsableitung kennen.