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Nabla-Operator: 3 Anwendungen + 9 Rechenregeln

Gradient einer Skalarfunktion x²+5xy
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Nabla-Operator \(\nabla\) ähnelt notationsmäßig einem Vektor und sieht im dreidimensionalen Fall folgendermaßen aus:\[ \nabla ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \]

Die Komponenten des Nabla-Operators sind partielle Ableitungen nach \(x\), \(y\) oder \(z\). Die Komponenten von Nabla sind sogenannte Differential-Operatoren und sagen Dir: Du musst eine Funktion nach der jeweiligen Variablen (die im Nenner notiert ist) ableiten.

Der Nabla-Operator entfaltet erst dann seine Wirkung, wenn dieser auf eine Funktion angewendet wird.

Nabla auf Funktionen anwenden

Nabla kann sowohl auf Vektorfunktionen:1\[ \boldsymbol{F}(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix}F_{1}(x,y,z)\\ F_{2}(x,y,z)\\F_{3}(x,y,z)\end{bmatrix} \]als auch auf skalare Funktionen \( f(x,y,z) \) angewendet werden.

Einen gewöhnlichen Vektor \( \boldsymbol{v} \) kannst Du mit einer Zahl \( a \in \mathbb{R} \) multiplizieren (Skalarmultiplikation) \( \boldsymbol{v} \, a \). Du kannst aber auch Skalarprodukt \( \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w} \) und Kreuzprodukt \( \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{w} \) mit einem weiteren Vektor \( \boldsymbol{w} \) bilden. Diese 3 Operationen sind auch beim Nabla-Operator, der als Vektor aufgefasst werden kann, möglich!

#1 Skalarmultiplikation mit Nabla

Für die Skalarmultiplikation des Nabla-Operators dient eine skalare Funktion \( f(x,y,z) \) in Abhängigkeit von drei Variablen:

Gradient: Multiplikation mit Nabla2\[ \nabla \, f(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \, f(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{bmatrix} \]

(Beachte jedoch dabei, dass derartige Skalarmultiplikation nicht kommutativ ist, weshalb es gefährlich ist das Nabla als einen Vektor aufzufassen). Was Du dabei machst ist also: Du leitest die skalare Funktion \( f \) nach der \(x\)-Variablen ab und schreibst sie in die 1. Komponente des Ergebnisvektors. Die Funktion \( f \) ist aber noch von weiteren Variablen \(y\) und \(z\) abhängig, also gehst Du mit denen genauso vor: \( f \) nach \(y\) ableiten und in die 2. Komponente schreiben und \( f \) nach \(z\) ableiten und in die 3. Komponente des Ergebnisvektors schreiben.

Wäre die Funktion \( f(x,y) \) nur z.B. von zwei Variablen \( x \) und \( y \) abhängig, dann hätte der Ergebnisvektor nur zwei Komponenten. Dazu musst Du natürlich einen zweidimensionalen Nabla-Operator benutzen, der eben nur zwei (und nicht drei) Komponenten hat:3\[ \nabla \, f(x,y) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix} \, f(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} \]

Das Ergebnis ist also ein zweimensionaler (zwei Komponenten) Vektor. Nabla macht aus einer skalaren Funktion \( f \), eine Vektorfunktion!

GradientWendest du den Nabla-Operator \( \nabla \) auf eine skalare Funktion \( f \) an, dann wird das Ergebnis \( \nabla \, f \) als Gradient von \( f \) bezeichnet.
Das Gradientenfeld von \(x^2 + 5xy\).
Beispiel: Gradient berechnenGegeben ist eine skalare Funktion \( f(x,y,z) = x^2 + 5xy + z \). Wende den Nabla-Operator - wie oben erklärt - auf \( f \) an:4\[ \nabla \, f(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix} 2x+5y \\ 5x \\ 1 \end{bmatrix} \]

#2 Skalarprodukt mit Nabla

Dieses Mal brauchst Du eine Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}(x,y,z)\). (Sie ist von der Form, wie der Ergebnisvektor 4 der Nabla-Skalarmultiplikation). In diesem Fall kannst Du Dir vorstellen, als würdest Du ein Skalarprodukt (nicht kommutativ!) bilden:

Divergenz: Skalarprodukt mit Nabla5\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{F} &~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} ~\cdot~ \begin{bmatrix}F_{x}(x,y,z)\\ F_{y}(x,y,z)\\F_{z}(x,y,z)\end{bmatrix} \\\\ &~=~ \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \end{align}

Nabla macht beim Skalarprodukt aus einer Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}\) eine skalare Funktion. Also genau das Umgekehrte wie beim Gradienten!

DivergenzWendest du den Nabla-Operator \( \nabla \) mithilfe des Skalarprodukts auf eine Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}\) an, dann wird das Ergebnis \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \) als Divergenz von \(\boldsymbol{F}\) bezeichnet.
Beispiel: Divergenz berechnenGegeben ist ein Vektorfeld:6\[ \boldsymbol{F}(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix} 2x^3 \\ zy \\ 5xy \end{bmatrix} \]Wende den Nabla-Operator - mittels Skalarprodukt - auf \( \boldsymbol{F} \) an:7\[ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} ~\cdot~ \begin{bmatrix} 2x^3 \\ zy \\ 5xy \end{bmatrix} ~=~ 6x^2 + z \]

#3 Kreuzprodukt mit Nabla

Wie beim Skalarprodukt 5 brauchst Du auch beim Kreuzprodukt eine Vektorfunktion \( \boldsymbol{F}(x,y,z) \):

Rotation: Kreuzprodukt mit Nabla8\begin{align} \nabla \times \boldsymbol{F} &~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} ~\times~ \begin{bmatrix}F_{x}(x,y,z)\\ F_{y}(x,y,z)\\F_{z}(x,y,z)\end{bmatrix} \\\\ &~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \end{bmatrix} \end{align}

Das Ergebnis des Kreuzprodukts 8 ist wieder ein Vektor! Nabla belässt hier die Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}\) als Vektorfunktion.

Rotation

Wendest du den Nabla-Operator \(\nabla\) mithilfe des Kreuzprodukts auf eine Vektorfunktion \(\boldsymbol{F}\) an, dass wird das Ergebnis \(\nabla \times \boldsymbol{F} \) als Rotation von \(\boldsymbol{F}\) bezeichnet.

Beispiel: Rotation berechnenBetrachte wieder das Vektorfeld wie in 6. Wende den Nabla-Operator - mittels Kreuzprodukt - auf \( \boldsymbol{F} \) an:9\[ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} ~\times~ \begin{bmatrix}F_{x}(x,y,z)\\ F_{y}(x,y,z)\\F_{z}(x,y,z)\end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} 5x - y \\ - 5y \\ 0 \end{bmatrix} \]

Nabla auf Nabla anwenden

Natürlich kannst Du auch Nabla mit Nabla skalar- oder kreuzmultiplizieren und dann das Ergebnis auf eine skalare oder vektorielle Funktion anwenden. Es ergeben sich dabei unterschiedliche Beziehungen.

Skalarprodukt zweier Nabla-Operatoren10\begin{align} \nabla \cdot \nabla &~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} ~\cdot~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \\\\ &~=~ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \\\\ &~=:~ \nabla^2 \end{align}

Das Ergebnis ist die Summe der zweiten Ableitungen nach den jeweiligen Variablen. Das Skalarprodukt \( \nabla \cdot \nabla \) wird kurz \( \nabla^2 \) notiert (manchmal auch, aber eher nicht so gut mit \(\Delta\)) und Laplace-Operator genannt.

Das Kreuzprodukt zweier Nabla-Operatoren ist uninteressant, weil es stets den Nullvektor ergibt. Warum? Weil die partiellen Ableitungen untereinander kommutativ sind:11\[ \nabla \times \nabla ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Wendest Du also das Nabla-Kreuzprodukt 11 auf eine beliebige vektorielle Funktion an: \( (\nabla \times \nabla) ~\cdot~ \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} \) bzw. \( (\nabla \times \nabla) ~\times~ \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}\) dann bekommst Du stets den Nullvektor heraus.

ACHTUNG! Assoziativität gilt NICHT: \( (\nabla \times \nabla) ~\cdot~ \boldsymbol{F} \neq \nabla \times (\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F}) \). Oder: \( 0 = (\nabla \times \nabla) ~\times~ f \neq \nabla \times (\nabla \times f) \).

5 Möglichkeiten Nabla zweimal anzuwenden

In der Elektrodynamik, Strömungslehre und anderen Gebieten der Physik kommen Beziehungen vor, in denen Nabla-Operator zweimal auf ein Vektorfeld oder Skalarfeld angewendet wird. Es gibt genau fünf unterschiedliche Möglichkeiten:

#1 Divergenz des Gradienten

Wendest Du auf eine skalare Funktion \( f(x,y,z) \) den Laplace-Operator an:12\[ \nabla^2 \, f ~=~ \nabla \cdot \nabla \, f ~=~ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \]dann bekommst Du die Divergenz des Gradienten von \( f\). Hier gilt übrigens die Assoziativität, weshalb Klammern überflüssig sind: \( (\nabla \cdot \nabla) \, f ~=~ \nabla \cdot (\nabla \, f) ~=~ \nabla \cdot \nabla \, f\).

#2 Divergenz der Rotation

Dafür brauchst Du natürlich eine vektorielle Funktion \( \boldsymbol{F} \), denn die Rotation ist nur für eine Vektorfunktion definiert. Die Rotation von \( \boldsymbol{F} \) hast Du in 8 schon berechnet. Bilde nur noch das Skalarprodukt mit dem Ergebnis der Rotation:13\begin{align} \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) &~=~ \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial F_z}{\partial y} ~-~ \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial F_x}{\partial z} ~-~ \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial F_y}{\partial x} ~-~ \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \\\\ &~=~ 0 \end{align}

Wie Du siehst, Divergenz der Rotation ist immer Null. Ein physikalisches Beispiel ist das Magnetfeld \( \boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} \) (mit \( \boldsymbol{A} \) als Vektorpotential). Divergenz des Magnetfeldes verschwindet: \( \nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0 \).

#3 Rotation des Gradienten

Für eine skalare Funktion \( f \):14\[ \nabla \times (\nabla \, f) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial z} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x} \end{bmatrix} ~=~ 0 \]

Ein physikalisches Beispiel: Das elektrostatische Feld lässt sich als Gradient eines Potentials schreiben: \( \boldsymbol{E} = \nabla \, V \), folglich ist die Rotation des E-Feldes \( \nabla \times \boldsymbol{E} = 0 \). Elektrostatische E-Felder sind also wirbelfrei!

#4 Rotation der Rotation

Für eine vektorielle Funktion (mithilfe von 8):15\[ \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{F}) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial^2 F_x}{\partial y^2} - \frac{\partial^2 F_x}{\partial z^2} + \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial^2 F_y}{\partial z^2} - \frac{\partial^2 F_y}{\partial x^2} + \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F_x}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial^2 F_z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 F_z}{\partial y^2} + \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial F_y}{\partial z} \end{bmatrix} \]

#5 Gradient der Divergenz

Für eine Vektorfunktion \( \boldsymbol{F} \) folgt mithilfe von 5:16\[ \nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 F_x}{\partial x^2} + \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F_z}{\partial z} \\ \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial^2 F_y}{\partial y^2} + \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial F_z}{\partial z} \\ \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial^2 F_z}{\partial z^2} \end{bmatrix} \]

All die anderen denkbaren Fälle: "Rotation der Divergenz", "Gradient der Rotation", "Divergenz der Divergenz" und "Gradient des Gradienten" sind nicht definiert.

9 Rechenregeln mit Nabla

Mit dem Wissen, dass du eben erworben hast, kannst du folgende Rechenregeln mit dem Nabla-Operator herleiten. Diesen Rechenregeln wirst du zum Beispiel in der Elektrodynamik begegnen, denn damit lassen sich gewisse Ausdrücke vereinfachen und umformen.

  1. Distributivität bei Multiplikation\[ \nabla \, (f + g ) ~=~ \nabla f ~+~ \nabla g \]
  2. Distributivität bei Skalarprodukt\[ \nabla \cdot (\boldsymbol{F} + \boldsymbol{R} ) ~=~ \nabla \cdot \boldsymbol{F} ~+~ \nabla \cdot \boldsymbol{R} \]
  3. Distributivität bei Kreuzprodukt\[ \nabla \times (\boldsymbol{F} + \boldsymbol{R} ) ~=~ \nabla \times \boldsymbol{F} ~+~ \nabla \times \boldsymbol{R} \]
  4. Produktregel für Skalarfunktionen\[ \nabla (f \, g) ~=~ f \, \nabla g ~+~ g \nabla f \]
  5. Produktregel für Skalar- und Vektorfunktion\[ \nabla \, \cdot \, \left( f \, \boldsymbol{R} \right) ~=~ f \, \left( \nabla \cdot \boldsymbol{R} \right) ~+~ \boldsymbol{R} \cdot \left( \nabla f \right) \]
  6. Spatprodukt mit Nabla\[ \nabla \cdot \left( \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{R} \right) ~=~ \boldsymbol{R} \cdot \left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) ~-~ \boldsymbol{F} \cdot \left( \nabla \times \boldsymbol{R} \right) \]
  7. Doppeltes Kreuzprodukt mit Nabla\begin{align} \nabla \times \left( \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{R} \right) &~=~ \left( \boldsymbol{R} \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{F} ~-~ \left( \boldsymbol{F} \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{R} \\\\ &~+~ \boldsymbol{F} \, \left( \nabla \cdot \boldsymbol{R} \right) ~-~ \boldsymbol{R} \, \left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \end{align}
  8. \begin{align} \nabla \, \left( \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{R} \right) &~=~ \boldsymbol{F} \times \left( \nabla \times \boldsymbol{R} \right) ~+~ \boldsymbol{R} \times \left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) \\\\ &~+~ \left( \boldsymbol{R} \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{F} ~+~ \left( \boldsymbol{F} \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{R} \end{align}
  9. \[ \nabla \times \left( f \, \boldsymbol{R} \right) ~=~ f \, \left( \nabla \times \boldsymbol{R} \right) ~-~ \boldsymbol{R} \times \left( \nabla f \right) \]

Nabla mit Funktion vertauschen?Wenn Du beispielsweise beim Skalarprodukt 5 die Funktion \( \boldsymbol{F} \) mit Nabla vertauschst, dann bekommst Du:17\[ \boldsymbol{F} \cdot \nabla ~=~ F_x\frac{\partial}{\partial x} + F_y\frac{\partial }{\partial y} + F_z\frac{\partial }{\partial z} \]Auf diese Weise ist 17 ein sogenannter Operator, den Du auf irgendeine Funktion \( f \) anwenden kannst: \( (\boldsymbol{F} \cdot \nabla)\,f\). Solche Ausdrücke wie 17 - bei denen noch offen steht, worauf die partiellen Ableitungen angewendet werden sollen, findest Du überall in der Quantenmechanik. Nabla selbst, ist ein Operator!