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Elektrisches Vektorfeld (+ Linien-, Flächen- und Raumladung)

Elektrisches Feld - ist ein Vektorfeld, welches die Richtung und Betrag der elektrischen Kraft an jedem Punkt im Raum angibt, die auf eine Probeladung ausgeübt werden würde, wenn diese an dem jeweiligen Ort platziert wird.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Definition: Elektrisches Feld1\[ \boldsymbol{E} ~:=~ \frac{\boldsymbol{F}_{\text e}}{q} ~=~ \begin{bmatrix}F_{\text x}/q\\ F_{\text y}/q \\ F_{\text z}/q \end{bmatrix} \]
  • Elektrisches Feld \( \boldsymbol{E} \) [N/C] = [V/m], in dem elektrische Ladungen eine Kraft \( \boldsymbol{F}_{\text e} \) erfahren.
  • Elektrische Kraft \( \boldsymbol{F}_{\text e} \) [N], die auf eine Probeladung \(q\) ausgeübt wird.
  • Elektrische Probeladung \( q \) [C], die eine elektrische Kraft erfährt, wenn diese in dem Raum mit dem elektrischen Feld platziert wird.

Elektrisches Feld einer Punktladung

Elektrische Feldlinien einer positiv geladenen Kugel. Die Feldlinien zeigen radial nach außen. Die elektrische Feld zeigt von der positiven Ladung weg.

Eine ruhende Punktladung \(Q\), die ein elektrisches Feld \( \boldsymbol{E} \) erzeugt, führt dazu, dass, wenn eine andere Ladung \(q\) in dieses E-Feld platziert wird, eine elektrische Kraft erfährt, deren Richtung und Betrag nach dem Coulomb-Gesetz gegeben ist:

Coulomb-Gesetz für zwei Punktladungen2\[ \boldsymbol{F}_{\text e}(\boldsymbol{R}) ~=~ \frac{Q \, q}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{ |\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}|^2 } \, \frac{\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}|} \]

Dabei ist \[ \frac{\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}|} \]ein Einheitsvektor und gleichzeitig der Verbindungsvektor, der von der einen Ladung zur anderen Ladung zeigt. Dieser zeigt von der Ladung \(Q\), die am Ort \(\boldsymbol{r}\) ist, zu der Ladung \(q\), die am Ort \(\boldsymbol{R}\) ist.

Um das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}\) der Punktladung \(Q\), wie in 1 zu bekommen, wird 2 auf beiden Seiten durch \(q\) dividiert. Am Ort \( \boldsymbol{R} \) erzeugt die Ladung \(Q\) das folgende elektrische Feld:

Eine Punktladung am Ort \(\boldsymbol{r}\) erzeugt am Feldpunkt \(\boldsymbol{R}\) das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})\).

Elektrisches Feld einer Punktladung3\[ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{R}) ~=~ \frac{Q}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{ |\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}|^2 } \, \frac{\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}|} \]

Hierbei ist \(\boldsymbol{R}\) der Ortsvektor, der vom Koordinatenursprung zum beliebigen Feldpunkt (an dem das E-Feld betrachtet wird) gerichtet ist. Der Ortsvektor \(\boldsymbol{r}\) dagegen geht vom Koordinatenursprung zum Ort der Ladung \(Q\). Ihre Differenz \( \boldsymbol{R} - \boldsymbol{r} \) ist damit ein Verbindungsvektor, der vom Ort der Ladung \(Q\) zum Ort, an dem das E-Feld berechnet werden soll, geht.

Zwei Punktladungen an den Orten \(\boldsymbol{r}_1\) und \(\boldsymbol{r}_2\) sowie ein Feldpunkt am Ort \(\boldsymbol{R}\).

Um mehr als eine Ladung betrachten zu können, bezeichne die Ladung in 3 als \(Q_1\) (erste Ladung):4\[ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{R}) ~=~ \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{ |\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}_1|^2 } \, \frac{\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}_1}{|\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}_1|} \]

Also nochmal: Hierbei ist \(\boldsymbol{R}\) der Ortsvektor, der vom Koordinatenursprung zum beliebigen Feldpunkt (an dem das E-Feld betrachtet wird) gerichtet ist. Der Ortsvektor \(\boldsymbol{r}_1\) geht vom Koordinatenursprung zum Ort der Ladung \(Q_1\). Ihre Differenz \( \boldsymbol{R} - \boldsymbol{r}_1 \) ist damit ein Verbindungsvektor, der vom Ort der Ladung \(Q_1\) zum Ort, an dem das E-Feld berechnet werden soll, geht.

Wenn es im Raum nicht nur eine Ladung \(Q_1\) existiert, sondern beispielsweise noch eine Ladung \(Q_2\) am Ort \( \boldsymbol{r}_2 \), dann wird natürlich das elektrische Feld \( \boldsymbol{E} \) am Ort \( \boldsymbol{R} \) anders sein, da noch ein Beitrag zum elektrischen Feld von der Ladung \(Q_2\) dazu kommt. Um das neue E-Feld an dem betrachteten Ort herauszufinden, wird das Superpositionsprinzip ausgenutzt. Analog lässt es sich das elektrische Feld von beliebiger Anzahl an Ladungen \(Q_1\), \(Q_2\) ... \(Q_n\) berechnen. Das Superpositionsprinzip besagt, dass das resultierende E-Feld an einem Ort \( \boldsymbol{R} \) durch die Überlagerung, also die Summe, der elektrischen Felder gegeben ist, welche von den einzelnen Ladungen erzeugt werden:5\[ \boldsymbol{E} ~=~ \boldsymbol{E}_1 ~+~ \boldsymbol{E}_2 ~+~ ... ~+~ \boldsymbol{E}_n \]

Damit ist das elektrische Feld am Ort \(\boldsymbol{R}\), welches von den Ladungen \(Q_1\) und \(Q_2\) erzeugt wird, gegeben, nach der Gl. 3 und nach dem Superpositionsprinzip 5, durch:6\[ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{R}) ~=~ \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}_1}{|\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}_1|^3} ~+~ \frac{Q_2}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}_2}{|\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}_2|^3} \]

Die Gl. 6 für zwei Ladungen lässt sich auf den Fall mit \(n\) Ladungen vereinfachen. Dabei wird der Index \(1, 2, ... n\) der Ladung durch den Summationsindex \(i\) ersetzt:7\[ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{R}) ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \underset{i=1}{\overset{n}{\boxed{+}}} \, \frac{\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}_i}{|\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}_i|^3} \, Q_i \]hierbei wurde der konstante Vorfaktor vor die Summe gezogen. Wie an 6 zu sehen ist, wird über \(i\) bis \(n\) summiert.

Kontinuierliche Ladungsverteilung

Was ist, wenn die Ladungsverteilung nicht diskret ist, sondern kontinuierlich. Kontinuierliche Ladungsverteilung kann als 'verschmierte' Ladung visualisiert werden und sie wird durch die elektrische Raumladungsdichte \(\rho(\boldsymbol{r})\) charakterisiert. Die Funktion \(\rho(\boldsymbol{r})\) gibt an, wie groß die Ladung am Ort \(\boldsymbol{r}\) ist pro Volumen. Die Ladung am \(\boldsymbol{r}\) ist somit \(\rho(\boldsymbol{r})\) multipliziert mit Volumen oder allgemein, ausgedrückt mithilfe eines Integrals über das Volumen \(V\):8\[ Q = \int_{V} \rho(\boldsymbol{r}) \, \text{d}v \]

Elektrisches Feld - kontinuierliche Ladungsverteilung (Raumladungsdichte)

Hierbei ist \(Q\) in Gl. 8 die Ladungsmenge, die im Volumen \(V\) eingeschlossen wird. Einsetzen von 8 in 2 ergibt das elektrische Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung im dreidimensionalen Raum:

E-Feld mittels Raumladungsdichte (3D)9\[ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{R}) ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \int_{V} \frac{\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}|^3} \, \rho(\boldsymbol{r}) \, \text{d}v \]
E-Feld - kontinuierliche Ladungsverteilung (Flächenladungsdichte)

Wenn die Ladung innerhalb einer Ebene \(A\) 'verschmiert' ist, also zweidimensional ist, dann wird die Raumladungsdichte in 8 zu einer Flächenladungsdichte \(\sigma(\boldsymbol{r})\) und es wird nicht über ein Volumen \(V\), sondern über eine Fläche \(A\) integriert: 10\[ Q = \int_{A} \sigma(\boldsymbol{r}) \, \text{d}a \]

Das elektrische Feld 9 wird zu:

E-Feld mittels Flächenladungsdichte (2D)11\[ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{R}) ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \int_{A} \frac{\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}|^3} \, \sigma(\boldsymbol{r}) \, \text{d}a \]
E-Feld - kontinuierliche Ladungsverteilung (Linienladungsdichte)

Wenn die Ladung innerhalb einer Linie \(L\) 'verschmiert' ist, also eindimensional ist, dann wird die Raumladungsdichte in 8 zu einer Linienladungsdichte \(\lambda(\boldsymbol{r})\) und es wird nicht über ein Volumen \(V\), sondern über eine Linie \(L\) integriert: 12\[ Q = \int_{L} \lambda (\boldsymbol{r}) \, \text{d}l \]

Das elektrische Feld 9 wird zu:

E-Feld mittels Linienladungsdichte (1D)13\[ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{R}) ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \int_{L} \frac{\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}|^3} \, \lambda(\boldsymbol{r}) \, \text{d}l \]
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