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Diracsche Delta-Funktion & ihre Eigenschaften

Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Skizze einer (unendlich hohen) Dirac-Deltafunktion am Ort \( x = c \). Übertrieben breit dargestellt, um die Fläche unter der Kurve anzudeuten.

Diracsche Delta-Funktion (oder Delta-Distribution) - ist eine infinitesimal schmale, unendlich hohe Spitze mit folgender Definition:1\[ \delta(x-c) ~=~ \begin{cases}0 & x \neq c \\ \infty & x = c \end{cases} \]und für das Integral:2\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-c) ~ \text{d}x ~=~ 1 \]Einheit: [\( \frac{1}{\text m} \)]

Um genauer zu sein, ist die Dirac'sche Delta-Funktion, keine Funktion, sondern eine Distribution; weil ihr Wert an der Stelle \( x ~=~ c \) nicht endlich ist.

Betrachtest Du das Produkt der Delta-Distribution mit einer beliebigen, stetigen Funktion3\[ f(x) \,\delta(x-c) \]dann ist dieses Produkt genau dann Null4\[ f(x) \,\delta(x-c) ~=~ 0 \]wenn \( x \neq c \) ist (wegen der Definition der Delta-Distribution). Und das Produkt ist nicht Null, wenn \( x = c \) ist:5\[ f(x) \,\delta(x-c) ~\neq~ 0 \]

Fasst Du nun beide Fälle zusammen, dann darfst Du die Funktion \( f(x) \) durch den Wert ersetzen, den sie an der Stelle \( c \) annimmt, also durch \( f(c) \):6\[ f(x) \,\delta(x-c) ~=~ f(c) \,\delta(x-c) \]Diese Gleichung ist dann für alle Werte von \(x\) erfüllt.Beispiel: Produkt mit Delta-DistributionFür eine Funktion \( f(x) ~=~ x^2 \) ist das Produkt:7\[ x^2 \,\delta(x-c) ~=~ c^2 \, \delta(x-c) \]da \( \delta(x-c) \) nur bei \( x~=~ c \) nicht Null ist.

Integrierst Du nun die Gleichung:8\[ f(x) \,\delta(x-c) ~=~ f(c) \, \delta(x-c) \]Dann hast Du mit eben überlegter Eigenschaft der Delta-Distribution:\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta(x-c) ~ \text{d}x ~=~ \int_{-\infty}^{\infty} f(c) \, \delta(x-c) ~ \text{d}x \]

\( f(c) \) ist aber eine Konstante, weshalb Du sie vor das Integral schreiben darfst:9\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta(x-c) ~ \text{d}x ~=~ f(c) \, \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-c) ~ \text{d}x \]

Setzt Du nur noch die Definition der Dirac'schen Delta-Funktion ein, die besagt dass10\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-c) ~ \text{d}x ~=~ 1 \]dann hast Du:11\[ f(c) \, \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-c) ~ \text{d}x ~=~ f(c) \]

Beispiel: Integral der Delta-FunktionDu möchtest das folgende Integral (mit \( f(x) ~=~ x^2 \) und \( c ~=~ 3 \))12\[ \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \, \delta(x-3) ~ \text{d}x \]berechnen. \( \delta(x-3) \) ist nur bei \( x~=~3 \) nicht Null (bei \( x~\neq~3 \) wäre das Integrall Null). Also ersetzt Du mithilfe der Definition der Dirac'schen Delta-Funktion12.1\[ x^2 \,\delta(x-3) ~=~ 9 \, \delta(x-3) \]und bekommst den Wert für das Integral:12.2\[ \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \, \delta(x-3) ~ \text{d}x ~=~ 9 \]

Beachte! Liegt der Wert, bei dem die Delta-Distribution nicht Null ist - im Beispiel 2 ist es bei \( x ~=~ 3 \) der Fall - außerhalb des Integrationsbereichs, dann wird das Integrall Null.

Mit Integrationsgrenzen 0 und 1 für Beispiel 2, hast Du ja dann:13\[ \int_{0}^{1} x^2 \, \delta(x-3) ~ \text{d}x ~=~ 9 \, \int_{0}^{1} \delta(x-3) ~ \text{d}x \]aber eine Funktion, die nur für \( x \) von 0 bis 1 aufsummiert (integriert) wird, ist14\[ \delta(x-3) ~=~ 0 \]weil Du ja schließlich mit den Integrationsgrenzen 0 bis 1, die Spitze bei \( x ~=~ 3 \) nicht mitaufsummierst; deshalb darfst Du auch keine 3 in \( \delta(x-3) \) einsetzen, weshalb die Delta-Distribution damit immer Null bleibt. Und somit auch das Integral:15\[ \int_{0}^{1} x^2 \, \delta(x-3) ~ \text{d}x ~=~0 \]

Eigenschaften der Deltafunktion

  1. \( \delta(k \, x) ~=~ \frac{1}{|k|} \, \delta(x) \)
  2. \( \delta(-x) ~=~ \delta(x) \)
  3. Dimension der Deltafunktion ist \( \frac{1}{\text{[Einheit von x]}} \)

Die 2. und 3. Eigenschaften folgen aus der 1. Eigenschaft. (Beweis der 1. Eigenschaft als Aufgabe mit Lösung).

Hinweis: Bevor Du die Delta-Distribution benutzt, musst Du sie erst mithilfe dieser Regeln auf die Form bringen, in der sie definiert ist! Das heißt: Zuerst alle Vorfaktoren aus der Klammer ziehen, sodass das Argument der Delta-Distribution die Form \( (x-c) \) hat.

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