Direkt zum Inhalt
  1. Startseite
  2. Lektionen
  3. #236

Spezielle Relativitätstheorie (Zeitdilatation und Längenkontraktion)

Das spezielle Relativitätstheorie beschäftigt sich mit der Bewegung von Körpern in Raum und Zeit, unter der Annahme des speziellen Relativitätsprinzips und der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.

ACHTUNG! Das hier ist eine Baustelle...

Stell Dir ein grünes und ein blaues Raumschiff vor. Du befindest Dich im grünen Raumschiff und Dein Kollege im blauen. Euere Raumschiffe sind in einem komplett leeren Raum, in dem es keine weiteren Objekte außer den beiden Raumschiffen gibt.

Du beobachtest wie das blaue Raumschiff sich mit konstanter Geschwindigkeit an Dir vorbeibewegt. Woher weißt Du aber, dass Dein Raumschiff in Ruhe ist? Es kann ja genauso gut sein, dass Dein Raumschiff sich bewegt, während das blaue Raumschiff nicht.

Klar, wenn Dein Raumschiff beschleunigt wäre, dann wäre das eine ganz andere Situation... Eine Änderung der Geschwindigkeit (sprich: Beschleunigung) würdest Du spüren, weil Du beispielsweise in den Sitz hineingedrückt wärst. Aber ohne Beschleunigung kann weder Du noch Dein Kollege im blauen Raumschiff jemals feststellen, ob das grüne oder das blaue Raumschiff im Ruhezustand ist. Genauso wenig könnt ihr feststellen, ob das blaue oder das grüne Raumschiff sich gleichförmig bewegt.

Eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (\( v ~=~ \text{const.} \)) ist vom Ruhezustand (\( v ~=~ 0 \)) nicht unterscheidbar!

In der SRT betrachtet man Ereignisse aus verschiedenen Inertialsystemen. Deshalb musst du zuerst verstehen, was ein Ereignis und ein Inertialsystem sind.

Was ist ein Ereignis?Ein Ereignis ist ein beliebiger physikalischer Vorgang, der zum Zeitpunkt \(t\) am Ort \(x\) passiert. Ein Ereignis gibt also an, wann und wo etwas geschehen ist.
Beispiele für Ereignisse
  • Eine Explosion zur Zeit \(t\) am Ort \(x\).
  • Zwei Autos fahren zur Zeit \(t\) am Ort \(x\) aneinander vorbei.
  • Ein radioaktiver Kern zerfällt zur Zeit \(t\) am Ort \(x\).
  • Ein Ball landet am Boden zur Zeit \(t\) am Ort \(x\).

Eine Explosion, der radioaktive Zerfall eines Kerns, aneinander vorbeifahrende Autos und so weiter - das sind alles physikalische Vorgänge, die irgendwann und irgendwo stattfinden können.

Durch die Beschreibung eines Ereignisses mithilfe einer Zeit- und Ortsangabe, sind wir in der Lage, zwei Ereignisse miteinander zu vergleichen. Ein Ereignis könnte früher passiert sein als ein anderes Ereignis. Oder sie könnten gleichzeitig stattgefunden haben, aber an verschiedenen Orten.

Aus unserer alltäglichen Sicht heraus würden wir behaupten, dass für alle Beobachter, die irgendein bestimmtes Ereignis beobachtet haben, dass dieses Ereignis für alle am gleichen Ort \(x\) zur gleichen Zeit \(t\) passiert ist. Ganz egal, ob ein herumstehender oder ein am Ereignis vorbeifahrender Beobachter - beide würden auf ihre Uhr schauen und die Zeit \(t\) messen. Außerdem würden sie sagen, dass es dort, am Ort \(x\) stattgefunden hat.

Diese Übereinstimmung in der Beobachtung von Ereignissen, stimmt mit unserem alltäglichen Zeit- und Ortsempfinden gut überein. Doch stimmen die beiden Beobachtungen auch dann überein, wenn die Beobachter die Zeit nicht mit Armbanduhren, sondern mit hochpräzisen Atomuhren messen, die einen Zeitpunkt bis zur 15ten Nachkommastelle genau messen können? Stimmen die Beobachtungen auch dann überein, wenn sich einer der Beobachter mit einer unvorstellbar großen Geschwindigkeit im Vergleich zum stehenden Beobachter bewegt?

Wie sich herausstellt: Unsere alltägliche Beobachtung ist genau genommen falsch. Sie wäre ungeeignet dafür, sehr schnelle Teilchen oder zeitlich hochpräzise Vorgänge zu beschreiben. Nicht mal ein um die Erde kreisender Satellit könnte deinem GPS-Gerät metergenau mitteilen, wo du dich gerade befindest, wenn wir unsere alltägliche Vorstellung in ein GPS-System implementieren würden.

Was ist ein Inertialsystem?Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, das sich mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt.
Beispiele für Inertialsysteme
  • Ein Auto, das mit 130 km/h auf einer Autobahn fährt, ist ein Inertialsystem.
  • Ein herumstehender Mensch ist ein Inertialsystem.

Ein Inertialsystem beschleunigt nicht und rotiert nicht. Auf so ein nicht beschleunigendes und nicht rotierendes System wirkt keine Kraft. Das ist genau die Aussage des Trägheitsprinzips (1. Newton-Axiom). Wir können also alternativ auch sagen: Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem das Trägheitsprinzip gilt.

Beispiele für keine Inertialsysteme
  • Ein Auto, das von 0 auf 100 km/h beschleunigt ist kein Inertialsystem.
  • Ein rotierender Planet ist kein Inertialsystem.

Postulate der speziellen Relativitätstheorie

Die spezielle Relativitätstheorie baut auf zwei Prinzipien auf (auch Postulate genannt):

  1. Spezielles Relativitätsprinzip
  2. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Die beiden Prinzipien sind nicht theoretisch herleitbar, sondern können nur experimentell überprüft werden. Bisher gab es kein Experiment, dass eines oder beide Prinzipien widerlegt.

Prinzip #1: Spezielles Relativitätsprinzip

Es existiert kein ausgezeichnetes Inertialsystem. Die Gesetze der Physik haben in allen Inertialsystemen dieselbe Form.
Drei Bezugssysteme, die sich relativ zueinander unterschiedlich bewegen. Welches BS ist ein Inertialsystem?

Betrachte eine Kugel, die aus Sicht von B1 sich mit konstanter Geschwindigkeit \( u_{1}~=~\text{const.} \) nach rechts bewegt. Aus Deiner Sicht ruht das Bezugssystem B1: \( v_{1} ~=~ 0 \). Das blaue Bezugssystem B2 bewegt sich relativ zu B1 mit einer konstanten Geschwindigkeit: \( v_{2} ~=~ \text{const.} \). Aus seiner Sicht bewegt sich die Kugel mit der Geschwindigkeit: \( u_{2} ~=~ u_1 ~-~ v_2 \), denn die Kugel und das blaue System bewegen sich in gleiche Richtung, weshalb die Geschwingkeit der Kugel für das blaue System um \( v_2 \) kleiner ist. Die Geschwindigkeit der Kugel ist aus Sicht von B2 auch konstant, denn sowohl \( u_1 \) als auch \( v_1 \) sind konstant; damit ist B2 ein Inertialsystem.

Das rote System scheint aus Deiner Sicht mit \( v_3 ~=~ a \, t \) beschleunigt. Die Kugel fliegt also aus Sicht des roten Systems (B3) mit der Geschwindigkeit \( u_3 ~=~ u_1 ~-~ a \, t \). Die Kugel bewegt sich also aus dieser Sicht nicht mit konstanter Geschwindigkeit, da sich seine Geschwindigkeit \( u_3 (t) \) zeitlich abhängig ist und das obwohl auf die Kugel keine Kräfte wirken. Damit ist B3 kein Inertialsystem.

Prinzip #2: Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Das zweite Prinzip, auf dem die spezielle Relativitätstheorie aufgebaut ist, geht davon aus, dass die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum konstant ist. Egal, in welchem Inertialsystem du dich befindest, die Lichtgeschwindigkeit hat stets einen unveränderlichen Wert hat:\[ c ~=~ 299\,792\,458 \, \frac{\text m}{\text s} \]

Das ist eine krasse Aussage, denn bis jetzt sind wir immer davon ausgegangen, dass die Relativgeschwindigkeit immer unterschiedlich ist, je nachdem, in welchem Inertialsystem die Geschwindigkeit gemessen wird. Die Lichtgeschwindigkeit ist also keine Relativgeschwindigkeit, sondern eine absolute Geschwindigkeit.

Um das Ganze zu verdeutlichen, nehmen wir mal eine Lasekanone, die kurze Lichtpulse in eine bestimmte Richtung aussendet. Was würdest du beobachten, wenn in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung mit der Hälfte der Lichtgeschwindigkeit (\( c/2\)) fliegen würdest?

Ohne Berücksichtigung des Prinzips von der konstanten Lichtgeschwindigkeit:

  • Bewegst du dich in die gleiche Richtung wie der Lichtpuls, so wäre die Geschwindigkeit des Lichtpulses aus deiner Sicht: \( c - c/2\).
  • Bewegst du dich in die entgegengesetzte Richtung wie der Lichtpuls, so wäre die Geschwindigkeit des Lichtpulses aus deiner Sicht: \( c + c/2 \).

Mit Berücksichtigung des Prinzips von der konstanten Lichtgeschwindigkeit:

  • Bewegst du dich in die gleiche Richtung wie der Lichtpuls, so wäre die Geschwindigkeit des Lichtpulses aus deiner Sicht: \( c \).
  • Bewegst du dich in die entgegengesetzte Richtung wie der Lichtpuls, so wäre die Geschwindigkeit des Lichtpulses aus deiner Sicht: \( c \).
Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist immer gleich groß - unabhängig von der Wahl eines Inertialsystems.

Zeitdilatation

Zeitdilatation (ugs. Zeitdehnung genannt) - ist ein Phänomen aus der Relativitätstheorie und besagt, dass in einem relativ zu Dir bewegten System die Zeit - aus Deiner Sicht - langsamer vergeht. Die Zeit und damit auch in dem betrachteten System stattfindenden physikalischen Vorgänge sind umso langsamer je größer euere Relativgeschwindigkeit ist.

Zeitdilatation berechnen
Zeit \( \Delta t' \), die im bewegten System vergangen ist
\[ \Delta t' ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} } \, \Delta t \]
Mehr zur Formel
  • Zeit \( \Delta t \): die für den Ruhebeobachter verstrichen ist.
  • Relativgeschwindigkeit \( v \): ist die Geschwindigkeit, mit der der Ruhebeobachter das bewegte System fliegen sieht.
  • Lichtgeschwindigkeit \( c \): eine Konstante und hat den Wert im Vakuum \( 299 \, 792 \, 458 \, \frac{m}{s} \).

Mit einem Minkowski-Diagramm kannst Du die Zeitdilatation veranschaulichen! Dazu schaust Du beispielsweise im Diagramm nach, wie viel Zeit im unbewegten System (z.B. Du als Ruhebeobachter) vergangen ist, nachdem eine Zeiteinheit (z.B. eine Sekunde) im bewegten System (welches Du beobachtest) verstrichen ist.

Alles, was Du zur Veranschaulichung brauchst, ist ein eingezeichneter Ruhebeobachter (hier: rechtwinkliges Koordinatensystem) und relativ zum Ruhebeobachter bewegtes Inertialsystem (hier: gestauchtes Koordinatensystem). Mit einer Einheitshyperbel findest Du die Skalierung des gestauchten Koordinatensystems heraus.

Einheitshyperbel für die Skalierung der Zeitachse, sowie zwei für den Ruhebeobachter gleichzeitige Ereignisse E0 und E1. Für den Ruhebeobachter ist mehr als eine Zeiteinheit vergangen, während im bewegten System genau eine Zeiteinheit verstrichen ist.

Der Schnittpunkt E1 der Zeitachse des bewegten Systems mit der Einheitshyperbel stellt den Zeitpunkt "1 Zeiteinheit" (z.B. 1 Sekunde) im bewegten System dar. Um herauszufinden, wie viel Zeit während dieser einen Sekunde im Ruhesystem verstrichen ist, musst Du ein zu E1 aus Sicht des Ruhesystems gleichzeitiges Ereignis auf seiner Zeitachse finden. Dazu zeichnest Du durch E1 eine zur Ortsachse parallele Linie - also eine Linie der Gleichzeitigkeit für den Ruhebeobachter.

Du bekommst einen Schnittpunkt E0 mit der Zeitachse des Ruhesystems. Dieser Schnittpunkt ist ein Ereignis, welches aus Sicht des Ruhesystems gleichzeitig mit E1 stattfindet.

Wenn Du die Zeitangaben von E1 im bewegten System (1 Sekunde) und E0 im Ruhesystem miteinander vergleichst, dann stellst Du fest, dass im Ruhesystem mehr Zeit vergangen ist als im bewegten System. Denn der Schnittpunkt der Hyperbel mit der Zeitachse des Ruhesystems, welcher in unserem Fall "1 Sekunde" darstellt, ist schon vergangen.

Der Ruhebeobachter sieht also, dass, nach einer Sekunde, die im bewegten System vergangen ist, auf der Uhr des Ruhebeobachters etwas mehr als eine Sekunde verstrichen ist. Für den Ruhebeobachter scheint die Zeit im bewegten System langsamer zu vergehen.

Nach dem Relativitätsprinzip muss aber auch das bewegte Inertialsystem die Zeit im Ruhesystem langsamer vergehen sehen als in seinem eigenen System. Denn nach dem Relativitätsprinzip kann sich das bewegte System selbst als ruhend betrachten!

Analog wie beim Ruhesystem, stellen Parallelen zur Ortsachse des bewegten Systems die Linien der Gleichzeitigkeit für dar. Alles, was auf einer dieser Parallelen liegt, passiert für das bewegte System gleichzeitig. Finde also zwei Ereignisse, die dieses Mal aus Sicht des bewegten Systems gleichzeitig stattfinden!

Du zeichnest also die zur Ortsachse des bewegten Systems parallele Linie durch das Ereignis E1, das zur Zeit "1 Sekunde" stattfand. Betrachte dann den Schnittpunkt E3 der Linie der Gleichzeitigkeit mit der Zeitachse des Ruhesystems.

E1 und E3 fanden für das bewegte System zur selben Zeit statt. Aus seiner Sicht ist in seinem eigenen System mehr Zeit (Eigenzeit) vergangen als im Ruhesystem. Nach dem Relativitätsprinzip kann auch das bewegte System aus seiner Sicht behaupten, dass die Zeit um Ruhesystem langsamer vergeht.

Lägenkontraktion: bewegte Maßstäbe sind verkürzt

Längenkontraktion - ist ein Phänomen aus der Relativitätstheorie und besagt, dass in einem relativ zu Dir bewegten Bezugssystem die Länge in Bewegungsrichtung verkürzt ist.

Längenkontraktion berechnen
Länge \( l \) ist vom bewegten Beobachter gemessene Länge eines Objekts
\[ l ~=~ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} \, l_0 \]

Neben der Zeitdilatation kannst Du die Längenkontraktion in einem Minkowski-Diagramm veranschaulichen. Dazu musst Du Dich wie in der Relativitätstheorie üblich, eine Beobachtung aus verschiedenen Perspektiven machen, um einen Unterschied in der Länge eines Objekts festzustellen.

Eingezeichnete Einheitshyperbel für die Skalierung der Ortsachse, sowie zwei Ereignisse E0 und E1, die für den bewegten Beobachter gleichzeitig stattfinden und ihr räumlicher Abstand zueinander, die Länge des Stabs repräsentiert. Die Länge des Stabs scheint für den Ruhebeobachter im bewegten System verkürzt.

Du bist ein ruhender Beobachter. Du hast ein rechtwinkliges Koordinatensystem. Dann nimmst Du irgendeinen Stab, der in Deinem Inertialsystem eine Längeneinheit hat. Ob das ein Meter, ein Zentimter oder etwas anderes ist, ist egal!

Der Stab ist in Deinem Inertialsystem in Ruhe, weshalb seine Enden zwei zur Zeitachse parallele Weltlinien erzeugen. Denn die Stabenden befinden sich in Ruhe und ruhende Objekte erzeugen immer parallele Weltlinien in Minkowski-Diagrammen. Platziere das eine Ende des Stabs in den Ursprung Deines Koordinatensystems. Dadurch wird die Weltlinie dieses Endpunkts genau entlang Deiner Zeitachse verlaufen. Das bringt Dir einen Vorteil, wenn Du die Koordinatenursprünge von anderen (insbesondere bewegten) Koordinatensystemen, in Deinen eigenen Koordinatenursprung legst. Alle Ursprungsereignise für jeden Beobachter finden somit zur selben Zeit am selben Ort statt. Du musst Dich also nur um das andere Ende des Stabs kümmern. Die Frage ist also, wenn der Stab für Dich eine Längeneinheit hat, welche Länge beobachtet ein relativ zu Dir bewegter Beobachter?

Wie Du weißt, der Schnittpunkt der Ortsachse eines Inertialsystems mit der Einheitshyperbel (für den Ort), ergibt eine Längeneinheit in dem jeweiligen Inertialsystem.

Damit eine Messung Deines Stabs (vom bewegten System aus gemessen) richtig ist, müssen die beiden Orte der Enden gleichzeitig abgelesen werden. Alles, was für das bewegte System gleichzeitig passiert, liegt auf Parallelen zu seiner Ortsachse. Schaue also, wo die Weltlinien der Stabenden die Ortsachse des bewegten Systems schneiden. Das ist einmal im Ursprung bei \( \mathcal{O} \) der Fall und bei \( \mathcal{E}_s \). Die Strecke \( \overline{\mathcal{OE}}_s \) ist aber kürzer als eine Längeneinheit im bewegten System. Wie Du siehst, ist für das bewegte Raumschiff die Länge des Stabs kleiner als in dessen Ruhesystem.

Eingezeichnete Einheitshyperbel für die Skalierung der Ortsachse, sowie zwei Ereignisse E0 und E1, die für den ruhenden Beobachter gleichzeitig stattfinden und ihr räumlicher Abstand zueinander, die Länge des Stabs repräsentiert. Die Länge des Stabs scheint für den bewegten Beobachter im ruhenden System verkürzt.

Nach dem Relativitätsprinzip sollte aber auch der ruhende Beobachter die Stablänge im bewegten System verkürzt messen. Zeichne dazu den gleichen Stab mit der Einheitslänge auf die Ortsachse des bewegten Systems. Die Weltlinien der Stabenden erzeugen Parallelen zur Zeitachse (Du weißt ja...Linien der Gleichortigkeit). Ihre Schnittpunkte mit der Ortsachse des ruhenden Beobachters ergeben die vom ruhenden System gemessene Länge des Stabs. Wie Du siehst, ist sie kürzer als im Ruhesystem des Raumschiffs.

Details zum Inhalt
  • Copyright: ©2020
  • Lizenz: CC BY 4.0Diese Lektion darf mit der Angabe des Copyrights weiterverwendet werden!
  • Dieser Inhalt wurde hinzugefügt von FufaeV am .
  • Dieser Inhalt wurde aktualisiert von FufaeV am .

Feedback geben

Hey! Ich bin Alexander FufaeV, der Physiker und Autor hier. Es ist mir wichtig, dass du stets sehr zufrieden bist, wenn du hierher kommst, um deine Fragen und Probleme zu klären. Da ich aber keine Glaskugel besitze, bin ich auf dein Feedback angewiesen. So kann ich Fehler beseitigen und diesen Inhalt verbessern, damit auch andere Besucher von deinem Feedback profitieren können.

Wie zufrieden bist Du?