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Die Schrödinger-Gleichung der Quantenmechanik

Schrödinger-Gleichung - (kurz: SGL) ist eine homogene, partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, mit der ein quantenmechanisches System (z.B. ein Elektron oder Atom) beschrieben werden kann.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Nach dieser Lektion wirst du verstehen, woher die berühmte Schrödinger-Gleichung kommt, was sie bedeutet und was du damit anstellen kannst.

So sieht eine zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in ihrer vollen Pracht aus:\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Und so sieht eine zeitabhängige Schrödinger-Gleichung aus:\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Lasse die beiden Differentialgleichungen kurz auf dich einwirken.

Wir können jetzt schon mal festhalten, dass die Schrödinger-Gleichung - mathematisch gesehen - eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung ist.

  • Differentialgleichung heißt, dass die gesuchte Größe, keine Variable, sondern eine Funktion ist und in der Gleichung kommen Ableitungen dieser Funktion vor. Die in der Schrödinger-Gleichung gesuchte Funktion ist die sogenannte Wellenfunktion.
  • Partiell bedeutet, dass in ihr Ableitungen nach verschiedenen Variablen vorkommen, wie z.B. Ableitung nach dem Ort \(x\) und nach der Zeit \(t\).
  • Mit zweiter Ordnung ist gemeint, dass die maximale Ableitung, die in der Differentialgleichung vorkommt, die zweite Ableitung ist.
Das Ziel ist es, die Schrödinger-Differentialglleichung zu lösen und mithilfe gegebener Anfangsbedingungen eine konkrete Wellenfunktion für ein konkretes quantenmechanisches Problem herauszufinden.

Es gibt kein allgemeines Rezept, wie die Schrödinger-Differentialglleichung für ein gegebenes Problem gelöst werden kann. Die meisten Probleme lassen sich nicht mal "per Hand" (analytisch) exakt lösen und lassen sich nur mit Näherungen per Hand lösen oder numerisch mit einem Computer.

Klassische Mechanik vs. Quantenmechanik

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Trajektorie eines Teilchens aus der klassischen Mechanik. Eingezeichnet ist seine Position \(\boldsymbol{r}(t)\) zu drei verschiedenen Zeitpunkten.

Die meisten Phänomene unserer alltäglichen Welt lassen sich mit der klassischen Mechanik beschreiben. Das Ziel bei dieser, ist es herauszufinden, wie sich ein Körper der Masse \(m\) im Verlauf der Zeit \(t\) bewegt. Wir wollen die Trajektorie, also die Bahn \(\boldsymbol{r}(t)\) dieses Körpers bestimmen. Damit können wir in der klassischen Mechanik zu jedem Zeitpunkt vorhersagen, wo dieser Körper sein wird. Hier einige Beispiele für die Bewegung der Körper, deren Bahn theoretisch vorhergesagt werden kann:

  • Bewegung unserer Erde um die Sonne
  • Bewegung eines Satelliten um die Erde
  • Bewegung einer Rakete
  • Bewegung eines schwingenden Pendels
  • Bewegung eines geworfenen Steins

Das sind alles klassische Probleme, die mithilfe des zweiten Newton-Axioms gelöst werden können, also mit \(F = m\,a\) oder für die Profis unter euch, mit der Differentialgleichung: \(m \, \frac{\text{d}^2 \boldsymbol{r}(t)}{\text{d}t^2} = - \nabla W_{\text{pot}}\). Durch das Lösen dieser Differentialgleichung kannst du die gesuchte Trajektorie für ein bestimmtes Problem herausfinden. Um diese Differentialgleichung überhaupt lösen zu können, muss natürlich die potentielle Energie \(W_{\text{pot}}\) gegeben sein. Außerdem müssen die Anfangsbedingungen, die das zu lösende Problem charakterisieren, ebenfalls bekannt sein. Wenn du beispielsweise die Bewegung eines Teilchens beschreibst, dann könnte eine Anfangsbedingung die Position und die Geschwindigkeit des Teilchens zum Zeitpunkt Null sein: \(\boldsymbol{r}(0) = (0,0,0)\) und \(\boldsymbol{v}(0) = (0,0,0)\).

Sobald du die Trajektorie \(\boldsymbol{r}(t)\) durch das Lösen der Differentialgleichung bestimmt hast, kannst du dann daraus alle weiteren relevanten Größen herausfinden, wie zum Beispiel:

  • Geschwindigkeit des Körpers: \(\boldsymbol{v} = \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t}\)
  • Impuls des Körpers: \(\boldsymbol{p} = m \, \boldsymbol{v}\)
  • Kinetische Energie des Körpers: \(W_{\text{kin}} = \frac{1}{2}\,m\,v^2\).

In der atomaren Welt dagegen, funktioniert die klassische Mechanik nicht. Die winzigen Teilchen hier, wie die Elektronen, verhalten sich nicht unter allen Bedingungen wie klassische punktförmige Teilchen, sondern sie können sich auch wie Wellen verhalten. Der Ort \(\boldsymbol{r}(t)\) eines Elektrons lässt sich aufgrund dieses Wellencharakters nicht punktgenau bestimmen, weil eine Welle nicht an einem einzigen Ort konzentriert ist. Und, wenn wir versuchen sie auf einen festen Ort zu quetschen, dann wird nach der Unbestimmtheitsrelation der Impuls \(\boldsymbol{p}(t)\) nicht mehr genau bestimmbar. Wir können also nicht wie in der klassischen Mechanik eine Trajektorie des Elektrons bestimmen und aus dieser alle anderen Bewegungsgrößen herleiten, sondern müssen einen anderen Weg finden, um die Quantenwelt zu beschreiben. Und dieser andere Weg ist die Entwicklung der Quantenmechanik und der Schrödinger-Gleichung.

In der Quantenmechanik wird keine Trajektorie \(\boldsymbol{r}(t)\) berechnet, sondern eine sogenannte Wellenfunktion \(\Psi\). Das ist eine Funktion, die im Allgemeinen vom Ort \(\boldsymbol{r}\) und der Zeit \(t\) abhängt. Wobei jetzt der Ort \(\boldsymbol{r}\) eine Ortskoordinate ist und keine gesuchte Trajektorie. Das Werkzeug, mit dem wir die Wellenfunktion finden können, ist die Schrödinger-Gleichung.

Anwendungen der Schrödinger-Gleichung

Erst durch diese neuartige Herangehensweise an die Natur mithilfe der Schrödinger-Gleichung ist es den Menschen gelungen, einen Teil des Mikrokosmos beherrschbar zu machen. Der Mensch ist dadurch in der Lage, Laser zu bauen, die heutzutage in der Medizin und Forschung nicht mehr wegzudenken sind. Oder Rastertunnelmikroskope, die das Auflösungsvermögen der üblichen Lichtmikroskope deutlich übersteigen. Erst durch die Schrödinger-Gleichung wurde das Periodensystem der Elemente und die Kernfusion in unserer Sonne genau verstanden. Doch es ist nur ein Bruchteil der Anwendungen, die die Schrödinger-Gleichung uns beschert hat. Lass uns deshalb diese mächtige Gleichung etwas näher kennenlernen.

Herleitung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung (1d)

Es ist leider nicht möglich die Schrödinger-Gleichung allein aus der klassischen Mechanik herzuleiten. Sie lässt sich aber zum Beispiel durch Einbezug des Welle-Teilchen-Dualismus herleiten, der innerhalb der klassischen Mechanik nicht vorkommt. Die Experimente und die moderne technische Gesellschaft zeigen aber, dass die Schrödinger-Gleichung einwandfrei funktioniert und für die meisten quantenmechanischen Probleme anwendbar ist. Lass uns versuchen zu verstehen, welche fundamentalen Prinzipien in der Schrödinger-Gleichung stecken und wie sie aus einem einfachen Spezialfall hergeleitet werden kann.

Wir machen unser Leben einfacher, indem wir zuerst mal eine eindimensionale Bewegung betrachten. In einer Dimension kann sich ein Teilchen nur entlang einer geraden Linie bewegen, zum Beispiel entlang der Ortsachse \(x\).

Betrachte nun ein Teilchen der Masse \(m\), das mit einer Geschwindigkeit \(v\) in \(x\)-Richtung fliegt. Es hat somit eine kinetische Energie \( W_{\text{kin}} \). Es kann sich außerdem in einem konservativen Feld befinden, z.B. in einem Gravitationsfeld oder im elektrischen Feld eines Plattenkondensators. Konservativ heißt: Wenn sich das Teilchen durch das Feld bewegt, darf sich die Gesamtenergie \(W\) des Teilchens nicht zeitlich verändern. Konservativ bedeutet also energieerhaltend. Es gilt also der Energieerhaltungssatz und das Teilchen hat eine potentielle Energie \( W_{\text{pot}} \).

Die Gesamtenergie \(W\) des Teilchens setzt sich aus der kinetischen und potentiellen Energie zusammen:1\[ W ~=~ W_{\text{kin}} ~+~ W_{\text{pot}} \]

Das ist nichts Neues, das kennst du bereits aus der klassischen Mechanik. Der Energieerhaltungssatz ist ein fundamentales Prinzip der Physik, dass auch in der Quantenmechanik in abgewandelter Form in konservativen Feldern erfüllt ist. Die Eigenartigkeit der Quantenmechanik kommt durch den Welle-Teilchen-Dualismus hinzu. Dieser erlaubt es uns das Teilchen als eine Materiewelle anzusehen. Eine Materiewelle, die durch de-Broglie-Wellenlänge (Materienwellenlänge) charakterisiert wird:

Klassisches Teilchen oder Materiewelle, je nach Situation.
2\[ \lambda ~=~ \frac{h}{p} \]

\(p\) ist der Impuls des Teilchens, der das Produkt der Geschwindigkeit \(v\) und der Masse \(m\) das Teilchens ist: \(p = m\,v\). Und \(h\) ist das Wirkungsquantum, eine Naturkonstante, die in quantenmechanischen Gleichungen auftaucht. Übrigens: Wegen seines winzigen Werts von nur \( 6.626 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} \) ist es verständlich, warum wir keine quantenmechanischen Effekte in unserem makroskopischen Alltag beobachten.

Wir können nach dem Welle-Teilchen-Dualismus ein Teilchen als eine Welle betrachten und diesem Teilchen physikalische Größen zuordnen, die eigentlich nur für Wellen gedacht sind, wie in diesem Fall die Wellenlänge.

In der Quantenmechanik ist es üblich, den Impuls \(p = \frac{h}{\lambda} \) (aus 2) nicht mit der de-Broglie-Wellenlänge auszudrücken, sondern mit der Wellenzahl \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \). Damit wird der Impuls zu \(p = \frac{h \, k}{2\pi} \). Hierbei wird \( \frac{h}{2\pi} \) als reduziertes Wirkungsquantum \(\hbar\) ("h quer") bezeichnet:3\[ p ~=~ \hbar \, k \]

Diese Beziehung werden wir später brauchen.

Die de-Broglie-Wellenlänge 2 ist auch ein Maß dafür, ob sich das Teilchen eher teilchenartig oder wellenartig verhält. Teilchenartiges Verhalten kann mit der klassischen Mechanik beschrieben werden. Interessanter ist der Fall, wenn sich das Teilchen wie eine Welle verhält. Um es von klassischen, punktförmigen Teilchen zu unterscheiden, wird ein solches Teilchen als quantenmechanisches Teilchen bezeichnet. Je größer die de-Broglie-Wellenlänge 2, desto eher verhält sich das Teilchen quantenmechanisch. Eine größere de-Broglie-Wellenlänge 2 hat das Teilchen genau dann, wenn es einen kleineren Impuls \(p\) hat. Also eine möglichst kleine Masse und kleine Geschwindigkeit. Perfekte Kandidaten für derartige quantenmechanische Teilchen sind Elektronen. Sie haben eine winzige Masse \( m_{\text e} = 9.1 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \) und ihre Geschwindigkeit kann mithilfe elektrischer Spannung oder Abkühlung im flüssigen Wasserstoff stark reduziert werden.

Dadurch verhält sich das klassische Teilchen eher wie eine ausgedehnte Materiewelle, die mathematisch mit einer ebenen Welle beschrieben werden kann. Wir bezeichnen sie mal mit dem großen griechischen Buchstaben \(\mathit{\Psi}\) (ausgesprochen: Psi). Eine ebene Materiewelle hängt im Allgemeinen vom Ort \(x\) und von der Zeit \(t\) ab: \(\mathit{\Psi}(x,t)\).

Du kannst eine ebene Welle, die die Wellenzahl \(k\), Frequenz \(\omega\) und Amplitude \(A\) hat, durch eine Cosinus-Funktion beschreiben:4\[ \mathit{\Psi}(x,t) ~=~ A \, \cos(k\,x - \omega \, t) \]

Dabei ist es egal, ob du die ebene Welle mit Sinus oder Cosinus-Funktion ausdrückst. Du hättest genauso Sinus nehmen können. Wenn die Zeit \(t\) voranschreitet, bewegt sich die Welle in die positive \(x\)-Richtung, genauso wie das von uns betrachtete Teilchen.

Ebene Welle zum Zeitpunkt \(t=0\) und zu einem späteren Zeitpunkt \(t\).

Damit das Rechnen mit solchen Wellen ohne irgendwelche Additionstheoreme geschieht, überführen wir die ebene Welle in eine komplexe Exponentialfunktion. Als erstes: Addiere zur Cosinus-Funktion die imaginäre Sinusfunktion. Die ebene Welle 3 wird dann zu:5\[ \mathit{\Psi}(x,t) ~=~ A \, \left[ \cos(k\,x - \omega \, t) + \mathrm{i} \,\sin(k\,x - \omega \, t)\right] \]

Damit hast du eine reelle Funktion 4 in eine komplexe Funktion 5 umgewandelt. Hierbei ist \( \mathrm{i} \) die imaginäre Einheit, \(\text{Re}(\mathit{\Psi}) = \cos(k\,x - \omega \, t) \) ist der Realteil und \(\text{Im}(\mathit{\Psi}) = \sin(k\,x - \omega \, t) \) ist der Imaginärteil der komplexen Funktion.

Das Gute ist, dass wir die enormen Vorteile der komplexen Schreibweise ausnutzen können und dann vereinbaren, dass wir im Experiment nur am Realteil 3 (Cosinus-Funktion) interessiert sind. Den Imaginärteil können wir in unserem Fall einfach als nicht physikalisch abstempeln und nicht weiter beachten. Bedenke jedoch, dass auch eine komplexe ebene Welle 5 eine mögliche Lösung der Schrödinger-Gleichung ist. Darum kümmern wir uns aber später.

Als nächstes, nutze die folgende Euler-Beziehung aus der Mathematik:6\[ A \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\varphi} ~=~ A \, \left[ \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\right] \]Sie verknüpft die komplexe Exponentialfunktion \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\varphi}\) mit den trigonometrischen Funktionen (mit Cosinus und Sinus).

Mithilfe von 6 kannst du die komplexe ebene Welle 5 in eine Exponentialfunktion umschreiben:7\[ \mathit{\Psi}(x,t) ~=~ A \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,(k\,x - \omega\,t)} \]

Immer, wenn du so einen Ausdruck wie 7 siehst, dann weißt du sofort, es geht um ebene Wellen. Unsere ursprüngliche ebene Welle 4 als Cosinus-Funktion ist in 7 als Information enthalten, nämlich als Realteil von 7.

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Ebene Welle als rotierender Zeiger in der komplexen Zahlenebene.

Du kannst 7 leicht veranschaulichen (siehe Illustration 3). Die komplexe Funktion 7 ist ein Vektor (auch Zeiger genannt) in der komplexen Zahlenebene.

  • Die Amplitude \(A\) entspricht dem Betrag des Vektors (also seiner Länge).
  • Das Argument \( k\,x - \omega\,t \) entspricht dem Winkel \(\varphi\) (auch Phase genannt), der zwischen der reellen Achse und dem \(\mathit{\Psi}\)-Vektor eingeschlossen wird.

Wenn die Zeit \(t\) verstreicht, so ändert sich auch der Winkel \(\varphi = k\,x - \omega\,t \) und der Zeiger rotiert. In unserem Fall gegen den Uhrzeigersinn. Diese Rotation repräsentiert die Ausbreitung der ebenen Welle in die positive \(x\)-Richtung.

Die komplexe Exponentialfunktion 7 ist eine Funktion, die eine ebene Welle beschreibt. Deshalb wird sie auch Wellenfunktion genannt, insbesondere im Zusammenhang mit der Quantenmechanik. Öfters wird die Wellenfunktion \(\mathit{\Psi }\) auch als Zustand des Teilchens bezeichnet. Wir sagen: Das Teilchen befindet sich im Zustand \(\mathit{\Psi}\). Denk also immer dran: Wenn wir in der Quantenmechanik vom Zustand sprechen, dann meinen wir damit die Wellenfunktion. Es gibt natürlich verschiedenste Zustände, die verschiedenste Teilchen unter verschiedensten Bedingungen annehmen können. Die ebene Welle ist nur ein einfaches Beispiel für einen möglichen Zustand.

Multipliziere als nächstes die Gleichung 1 für die Gesamtenergie mit der Wellenfunktion 7. Auf diese Weise bringst du den Energieerhaltungssatz und den Welle-Teilchen-Dualismus, der in der Wellenfunktion drinsteckt, in eine Gleichung:8\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Diese Gleichung bringt dir aber noch nicht viel. Du musst sie noch irgendwie in eine Differentialgleichung umwandeln. Es liegt nahe die Wellenfunktion 7 zweimal nach dem Ort \(x\) abzuleiten. Eine ebene Welle 7 ist eine typische Welle, die in der Optik und Elektrodynamik bei der Beschreibung elektromagnetischer Wellen auftaucht. Und von da wissen wir, dass eine ebene Welle eine mögliche Lösung der Wellengleichung ist. Eine eindimensionale ebene Welle wie in unserem Fall, löst die folgende eindimensionale Wellengleichung:9\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial t^2} \]

Hierbei ist \(c\) die Phasengeschwindigkeit der Welle. Im Fall elektromagnetischer Wellen ist es die Lichtgeschwindigkeit. Im Fall von Materiewellen ist es die Phasengeschwindigkeit \( c = \frac{\omega}{k}\). Für uns ist das aber erstmal unwichtig. Wir wollen uns die Wellengleichung nur anschauen, um unseren nächsten Schritt zu motivieren. Auf der linken Seite der Wellengleichung steht die zweite Ableitung der Wellenfunktion nach dem Ort \(x\). Berechne die zweite Ableitung unserer Wellenfunktion, unserer ebenen Welle:10\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~=~ -k^2 \, A \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,(k\,x - \omega\,t)} \]

Durch die zweimalige Ableitung kommt \(k^2\) und ein Minuszeichen (wegen \(i^2 = -1\)) dazu. Die Wellenfunktion als Exponentialfunktion bleibt bei Ableitung - wie du hoffentlich weißt - unverändert:11\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~=~ -k^2 \, \mathit{\Psi} \]

Als nächstes führen wir wieder auf den ersten Blick willkürliche Schritte durch, die uns am Ende aber zu der Schrödinger-Gleichung führen werden. Wir wollen irgendwie versuchen, die zweite Ableitung 11 der Wellenfunktion mit der konstanten Gesamtenergie 8 zu verknüpfen:

  1. Nutze die umgeschriebene de-Broglie-Beziehung für den Impuls \( p = \hbar \, k \) und ersetze damit \(k^2\) in 11:12\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~=~ -\frac{p^2}{\hbar^2} \, \mathit{\Psi} \]
  2. Um jetzt die im Energieerhaltungssatz vorkommende kinetische Energie \(W_{\text{kin}}\) ins Spiel zu bringen, ersetze den Impuls \(p^2\) mithilfe der Beziehung \( W_{\text{kin}} = \frac{p^2}{2m} \) (Wie kommt man darauf?):13\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~=~ -\frac{2m}{\hbar^2} \, W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi} \]
  3. Wenn du dir jetzt den mit der Wellenfunktion multiplizierten Energieerhaltungssatz 8 anschaust, dann siehst du, dass dort \(W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi}\) vorkommt. Stelle deshalb 13 nach \(W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi}\) um:14\[ W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} \]

Wenn du jetzt nur noch 14 in den Energieerhaltungssatz 8 einsetzt, dann bekommst du die Schrödinger-Gleichung heraus:

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (1d)15\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Genauer gesagt ist es eine eindimensionale, zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Die Eindimensionalität erkennst du sofort daran, dass hier nur die Ableitung nach einer einzigen Ortskoordinate \(x\) vorkommt. Und die Zeitunabhängigkeit der Schrödinger-Gleichung erkennst du daran, dass hier eine konstante Gesamtenergie \(W\) vorkommt. Die Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}\) darf im Allgemeinen aber zeitabhängig sein: \(\mathit{\Psi}(x,t)\).

Fassen wir nochmal kurz zusammen: Um die Schrödinger-Gleichung 15 herzuleiten, haben wir im Grunde zwei fundamentale Prinzipien gebraucht:

  • Energieerhaltungssatz (konstante Gesamtenergie)
  • Welle-Teilchen-Dualismus, den wir mithilfe der Annahme einer ebenen Materiewelle eingeführt haben.

Weil wir von dem Energieerhaltungssatz ausgegangen sind und diesen umgeschrieben haben, wird die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung 15 auch als Energieerhaltungssatz der Quantenmechanik bezeichnet.

Betragsquadrat, Wahrscheinlichkeit und Normierung

Nehmen wir mal an, dass du die Schrödinger-Gleichung gelöst und dadurch eine konkrete Wellenfunktion herausgefunden hast. Wie genau du das angestellt hast, ist erstmal egal. Die herausgefundene Wellenfunktion kann außerdem auch noch komplexwertig sein. Bei der darfst du nicht den imaginären Anteil, wie bei unserer ebenen Welle anfangs vereinbart, vernachlässigen. Durch das Weglassen des Imaginärteils würde das Ergebnis der Schrödinger-Gleichung nicht mehr mit den Ergebnissen von Experimenten übereinstimmen. Für einen Experimentator sind solche komplexen Funktionen jedoch ganz schlecht, weil sie nicht messbar sind. Doch wie kannst du deine Berechnung im Experiment überprüfen, wenn die komplexe Wellenfunktion gar nicht direkt messbar ist? Was bedeutet die Wellenfunktion überhaupt?

Hier kommt die vorherrschende statistische Interpretation der Quantenmechanik ins Spiel, die sogenannte Kopenhagener Deutung. Sie sagt zwar nicht, was die Wellenfunktion \(\mathit{\mathit{\Psi}}\) bedeutet, aber sie interpretiert ihr Betragsquadrat: \[ |\mathit{\mathit{\Psi}}|^2 \]

Durch die Bildung des Betragsquadrats \(|\mathit{\mathit{\Psi}}|^2\) erhältst du eine reellwertige (für den Experimentator messbare) Funktion.

Außerdem ist das Betragsquadrat immer positiv, deshalb spricht erstmal nichts dagegen dieses als Wahrscheinlichkeitsdichte zu interpretieren. Denn wie du weißt: Wahrscheinlichkeiten sind stets positiv, nie negativ. Im eindimensionalen Fall wäre das Betragsquadrat dann eine Wahrscheinlichkeit pro Länge und im dreidimensionalen Fall eine Wahrscheinlichkeit pro Volumen.

Bleiben wir beim eindimensionalen Fall und der Wellenfunktion eines Teilchens: Integrierst du die Wahrscheinlichkeitsdichte, also das Betragsquadrat der Wellenfunktion, über den Ort \(x\) und zwar innerhalb der Strecke zwischen den Punkten \(x = a\) und \( x = b\), dann bekommst du eine Wahrscheinlichkeit \(P(t)\) heraus:16\[ P(t) ~=~ \int_{a}^{b} |\mathit{\Psi}(x,t)|^2 \, \text{d}x \]

Das Integral des Betragsquadrats \(|\mathit{\Psi}(x,t)|^2\) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit \(P\), sich das Teilchen im Bereich zwischen \(a\) und \(b\) zum Zeitpunkt \(t\) befindet. Man spricht in diesem Zusammenhang von der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens.

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit kann sich im Allgemeinen mit der Zeit verändern.

Beispiel für das Betragsquadrat. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) das Teilchen zwischen \(a\) und \(b\) zu finden entspricht der eingeschlossenen Fläche zwischen \(a\) und \(b\).

Wenn du das Betragsquadrat \(|\mathit{\Psi}(x,t)|^2\) in Abhängigkeit von \(x\) in einem Diagramm aufzeichnest (siehe Illustration 5), dann kannst du daraus folgende Informationen herauslesen:

  • Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist die Fläche unter der \(|\mathit{\Psi}(x,t)|^2\)-Kurve.
  • Am wahrscheinlichsten ist es, das Teilchen an den Maxima zu finden. Am unwahrscheinlichsten an den Minima.

Beachte jedoch, dass es nicht möglich ist, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens an einem bestimmten Ort, z.B. bei \(x = a\), anzugeben, sondern nur für einen Raumbereich (hier zwischen \(x=a\) und \(x=b\)), weil das Integral ansonsten Null wäre. Offensichtlich, denn es gibt unendlich viele Raumpunkte auf der Strecke zwischen \(a\) und \(b\). Wenn jeder dieser Raumpunkte eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit hätte, dann wäre die Summe (also das Integral) aller Aufenthaltswahrscheinlichkeiten unendlich, was überhaupt keinen Sinn ergäbe. Deshalb berechnen wir stets die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem Raumbereich.

Beispiel für das Betragsquadrat einer Wellenfunktion. Die Fläche unter der Kurve muss 1 ergeben, wenn von \(x=-\infty\) bis \(x=+\infty\) integriert wird.

Damit die statistische Interpretation kompatibel mit der Schrödinger-Gleichung ist, muss die Lösung der Schrödinger-Gleichung, also die Wellenfunktion \( \mathit{\Psi} \) die sogenannte Normierungsbedingung erfüllen. Diese besagt, dass das Teilchen irgendwo im Raum existieren muss. Im eindimensionalen Fall muss es also hundertprozentig irgendwo auf der Strecke zwischen \(x = -\infty\) und \(x = +\infty\) zu finden sein. Mit anderen Worten muss das Integral 49 für die Wahrscheinlichkeit, integriert über den gesamten Raum, 1 ergeben:

Normierungsbedingung17\[ \int_{-\infty}^{\infty} |\mathit{\Psi}|^2 \, \text{d}x ~=~ 1 \]

Die Normierungsbedingung ist eine notwendige Bedingung, die jede physikalisch mögliche Wellenfunktion erfüllen muss. Nach dem Lösen der Schrödinger-Gleichung, muss die herausgefundene Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}\) mithilfe der Normierungsbedingung 17 normiert werden. Normieren heißt, dass du das Integral in 17 berechnen musst und dann die Amplitude der Wellenfunktion so bestimmen musst, dass die Normierungsbedingung erfüllt ist. Die normierte Wellenfunktion bleibt dann für alle Zeitpunkte \(t\) normiert. Das kann sogar bewiesen werden. Wäre dies nicht der Fall, dann wären die Schrödinger-Gleichung und die statistische Interpretation inkompatibel. Es gibt natürlich Lösungen der Schrödinger-Gleichung, z.B. \(\mathit{\Psi} = 0 \), die nicht normierbar sind. Derartige Lösungen sind unphysikalisch, also nicht in der Realität anwesend. Wellenfunktionen, die normierbar sind, werden übrigens in der Mathematik quadratintegrable Funktionen genannt.

Wenn du mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit weißt, dass das Teilchen sich zwischen \(a\) und \(b\) befindet, dann musst du die Normierungsbedingung entsprechend auf den Bereich zwischen \(a\) und \(b\) reduzieren:18\[ \int_{a}^{b} |\mathit{\Psi}|^2 \, \text{d}x ~=~ 1 \]

Beispiel: Normierungsbedingung benutzenBetrachten wir einen simplen eindimensionalen Fall. Ein Elektron bewegt sich von der negativen Elektrode zur positiven Elektrode eines Plattenkondensators. Die beiden Elektroden haben den Abstand \(d\) zueinander. Du hast die folgende Wellenfunktion durch das Lösen der Schrödinger-Gleichung bestimmt:18.1\[ \mathit{\Psi}(x,t) ~=~ A \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,(k\,x - \omega\,t)} \]

Die Amplitude \(A\) ist dir nicht bekannt. Dafür benutzt du die Normierungsbedingung, um die Wellenfunktion zu normieren und gleichzeitig \(A\) zu bestimmen. Du weißt mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron zwischen den beiden Elektroden sein muss. Wenn die negative Elektrode bei \(x=0\) und die positive bei \(x=d\) ist, dann befindet sich das Elektron irgendwo zwischen diesen beiden Punkten:18.2\[ \int_{0}^{d} |\mathit{\Psi}(x)|^2 \, \text{d}x ~=~ 1 \]

Zuerst musst du das Betragsquadrat \(|\mathit{\Psi}(x)|^2\) bestimmen. Der Betrag der Wellenfunktion wird genauso gebildet wie der Betrag eines Vektors. Hier kommt zum ersten Mal die Mächtigkeit der komplexen Exponentialfunktion zum Vorschein. Es gilt nämlich immer: \( |\mathrm{e}^{i\,\varphi}| = 1 \). Perfekt, du musst nichts Kompliziertes rechnen. Damit ist das Betragsquadrat von 18.1:18.3\[ |\mathit{\Psi}|^2 ~=~ A^2 \]

Setze das Betragsquadrat 18.3 in die Normierungsbedingung 18.2 ein:18.4\[ \int_{0}^{d} A^2 \, \text{d}x ~=~ 1 \]

Die Amplitude \(A\) ist unabhängig von \(x\), also ist sie eine Konstante und du kannst sie vor das Integral ziehen. Das Ergebnis (umgestellt nach der Amplitude) ist nach dem Einsetzen der Integrationsgrenzen:18.5\[ A ~=~ \frac{1}{\sqrt{d}} \]

Auf diese Weise normierst du die Wellenfunktion und bestimmst die Amplitude für ein gegebenes Problem.

An dem Beispiel zur Normierungsbedingung kannst du an 18.5 ablesen, dass die Amplitude und damit auch die Wellenfunktion die Einheit "pro Wurzel Meter" hat:19\[ [\mathit{\Psi}] ~=~ \frac{1}{\sqrt{\text m}} \]In drei Dimensionen ist die Einheit \(\frac{1}{\sqrt{\text{m}^3}}\).

Sobald du die Wellenfunktion normiert hast, kannst du daraus nicht nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens herausfinden, sondern auch den Mittelwert \(\langle x\rangle\) des Ortes und den von allen anderen physikalischen Größen. Zum Beispiel den Mittelwert des Impulses \(\langle p \rangle\), der Geschwindigkeit \(\langle v\rangle\) oder der kinetischen Energie \(\langle W_{\text{kin}} \rangle\). Der Mittelwert wird in der Quantenmechanik in eckigen Klammern notiert. Warum nur ein Mittelwert und kein exakter Wert und wie dieser bestimmt werden kann ist ein Thema für sich. Das lernst du am besten ausführlich in einer anderen Lektion. Wichtig ist erstmal nur zu wissen, dass du mit der Wellenfunktion genauso ein quantenmechanisches Teilchen beschreiben kannst, wie du mit der Trajektorie ein klassisches Teilchen beschreiben kannst.

Wellenfunktion im klassisch erlaubten und verbotenen Bereich

Wir können etwas über das Verhalten der Wellenfunktion aus der Schrödinger-Gleichung herauslesen, ohne sie bereits gelöst zu haben. Bringe dazu in der Schrödinger-Gleichung den Term mit der potentiellen Energie auf die linke Seite und klammere die Wellenfunktion aus: 20\[ (W - W_{\text{pot}}) \, \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} \]

Die potentielle Energie \(W_{\text{pot}}\) hängt im Allgemeinen vom Ort \(x\) ab. Man könnte sie auch potentielle Energiefunktion (oder doppeldeutig aber kurz: Potential) nennen. Sie gibt die potentielle Energie eines Teilchens am Ort \(x\) an. Diese Funktion könnte beispielsweise quadratisch in \(x\) sein - genannt harmonisches Potential. Die potentielle Energiefunktion könnte aber auch einen ganz anderen Verlauf haben.

In dieser Lektion schauen wir uns beispielhaft eine quadratische potentielle Energiefunktion an. Wenn sich ein Teilchen in diesem Potential befindet, dann hat es eine umso größere potentielle Energie, je weiter weg es sich vom Koordinatenursprung befindet. Die potentielle Energiefunktion sollte, bevor du die Schrödinger-Gleichung überhaupt lösen kannst, gegeben sein.

Die Gesamtenergie \(W\) ist nach dem Energieerhaltungssatz ein bestimmter konstanter Wert und zwar unabhängig davon, wo sich das Teilchen im Potential befindet. In einem Diagramm ist sie eine waagerechte Linie, die unsere eindimensionale potentielle Energiefunktion in zwei Punkten \(x_1\) und \(x_2\) schneidet. Ein klassisches Teilchen kann seine Gesamtenergie auf keinen Fall überschreiten! Folglich kann es sich nur zwischen den Umkehrpunkten \(x_1\) und \(x_2\) bewegen. Zwischen diesen beiden Punkten kann es seine kinetische Energie komplett in potentielle Energie umwandeln und andersherum - ohne sich dabei in den Bereich außerhalb von \(x_1\) und \(x_2\) zu begeben. Das Teilchen ist in diesem Bereich eingesperrt.

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Klassisch verbotener Bereich (rot) mit negativer kinetischer Energie und erlaubter Bereich (blau) mit positiver kinetischer Energie.

Würden wir das Teilchen außerhalb von \(x_1\) und \(x_2\) finden, dann wäre seine potentielle Energie größer als seine Gesamtenergie. Damit wäre die kinetische Energie \(W - W_{\text{pot}}\) negativ. Eine negative kinetische Energie könnte das Teilchen nur mit einer imaginären Geschwindigkeit haben. Imaginäre Geschwindigkeit ist aber nicht messbar, nicht physikalisch. Daher ist eine negative kinetische Energie auch nicht physikalisch. Genau deshalb können wir erwarten, dass ein klassisches Teilchen niemals außerhalb von \(x_1\) und \(x_2\) sein kann. Wir bezeichnen den Bereich außerhalb von \(x_1\) und \(x_2\) als klassisch verbotenen Bereich. Und den Bereich innerhalb von \(x_1\) und \(x_2\) als klassisch erlaubten Bereich.

In der Quantenmechanik hast du jedoch öfters den Fall, dass die Wellenfunktion im klassisch verbotenen Bereich nicht Null ist. Wenn aber die Wellenfunktion und damit auch das Betragsquadrat \(|\mathit{\Psi}|^2\) nicht Null ist, ist folglich auch die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im klassisch verbotenen Bereich zu finden, ebenfalls nicht Null. Diese Eigenschaft der Wellenfunktion ermöglicht es dem Teilchen, Bereiche zu durchqueren, die klassisch nicht erlaubt sind. Dieses Verhalten der Wellenfunktion ist die Grundlage für den Tunneleffekt.

Dies scheint auf den ersten Blick ein gravierender Widerspruch zu sein, denn, wenn die Wellenfunktion in den verbotenen Bereich eindringt, kann das quantenmechanische Teilchen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit dort gefunden werden. Dort ist aber seine potentielle Energie größer als seine Gesamtenergie. Folglich müsste das quantenmechanische Teilchen eine negative kinetische Energie besitzen.

Dieser Widerspruch wird jedoch durch die Heisenberg-Unbestimmtheitsrelation aufgelöst: Ihr zufolge ist die potentielle und kinetische Energie eines Teilchens nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit bestimmbar. Für den Fall, dass das Teilchen eine potentielle Energie hätte, die größer wäre als seine Gesamtenergie, lässt sich mit ihr ausrechnen, dass die Unsicherheit bei der Messung der kinetischen Energie stets mindestens so groß wird, wie die Energiedifferenz \(W - W_{\text{pot}}\). Diese Energiedifferenz ist zwar die kinetische Energie eines klassischen Teilchens, aber nicht eines quantenmechanischen Teilchens. Du musst dich in der Quantenmechanik von der Vorstellung verabschieden, dass ein quantenmechanisches Teilchen gleichzeitig eine exakte potentielle und exakte kinetische Energie besitzt. Wegen der Unbestimmtheitsrelation kannst du nicht behaupten, dass die kinetische Energie im verbotenen Bereich negativ wird, weil \(W - W_{\text{pot}}\) keine kinetische Energie IST. Daher kann sich ein quantenmechanisches Teilchen mit einer geringen Wahrscheinlichkeit auch im klassisch verbotenen Bereich aufhalten, ohne die Grundsätze der Physik zu verletzen.

Aus der Schrödinger-Gleichung kannst du eine interessante Information über das Verhalten der Wellenfunktion herauslesen. Und zwar, wenn du die Vorzeichen der Energiedifferenz \(W - W_{\text{pot}}\) und der Wellenfunktion \(\mathit{\Psi} \) betrachtest (siehe linke Seite von 20).

Ihre beiden Vorzeichen, zusammen mit dem Minuszeichen auf der anderen Seite der Gleichung, bestimmen das Vorzeichen der zweiten Ortsableitung der Wellenfunktion. Die zweite Ortsableitung \(\frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2}\) wird Krümmung genannt. Du kannst dir die Krümmung folgendermaßen veranschaulichen: Stell dir vor die Wellenfunktion wäre eine Straße, die du mit dem Fahrrad entlangfahren willst. Eine negative Krümmung bedeutet die Wellenfunktion krümmt sich nach rechts. Dein Fahrrad müsstest du also nach rechts lenken. Eine positive Krümmung dagegen, bedeutet, dass die Wellenfunktion sich nach links krümmt. Dein Fahrrad müsstest du folglich nach links lenken. Wenn du den Lenker gar nicht drehst, dann ist die Krümmung natürlich Null.

Schauen wir uns zuerst die beiden Fälle an, bei denen die Energiedifferenz \(W - W_{\text{pot}}\) positiv ist. Hierbei ist die Gesamtenergie größer als die potentielle Energie. Wir befinden uns also im klassisch erlaubten Bereich.

  1. Die Wellenfunktion an Ort \(x\) ist positiv:20.1\[ \mathit{\Psi} ~>~ 0 \] Dann muss die rechte Seite von 20 mit dem Minuszeichen davor, auch positiv sein, damit die Gleichung erfüllt ist. Folglich muss die Krümmung an diesem Ort negativ sein:20.2\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~<~ 0 \] Die Krümmung bewirkt, dass die positive Wellenfunktion sich letztendlich immer zu x-Achse hin biegt. Selbst falls sie zunächst etwas ansteigt, so wird dieser Anstieg immer geringer, bis die Wellenfunktion unweigerlich abfällt.
  2. Die Wellenfunktion am Ort \(x\) ist negativ: 20.3\[ \mathit{\Psi} ~<~ 0 \]Dann muss die Krümmung an diesem Ort positiv sein: 20.4\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~>~ 0 \]Auch hier bewirkt die Krümmung, dass sich die nun negative Wellenfunktion von unten zur x-Achse hin biegt.

Wenn du bei diesen beiden klassisch erlaubten Fällen das Vorzeichen der Krümmung mit dem Vorzeichen der Wellenfunktion vergleichst, dann siehst du, dass sie immer ein entgegengesetztes Vorzeichen haben. Zusammengefasst ergibt dieses Verhalten eine Oszillation der Wellenfunktion um die \(x\)-Achse. Im klassisch erlaubten Bereich zwischen den Orten \(x_1\) und \(x_2\) können wir über jede Wellenfunktion sagen, dass sie oszilliert.

Im klassisch erlaubten Bereich oszilliert die Wellenfunktion. Im verbotenen Bereich geht sie für bestimmte Energien gegen Null.

Die Wellenfunktion oszilliert umso mehr, je größer die Gesamtenergie \(W\) des Teilchens ist. Die Materiewelle besitzt dann eine kleinere de-Broglie-Wellenlänge. Bei einer kleineren Gesamtenergie dagegen, oszilliert die Wellenfunktion weniger. Die Materiewelle besitzt dann eine größere de-Broglie-Wellenlänge.

Im klassisch verbotenen Bereich haben dadurch die Wellenfunktion und die Krümmung nicht mehr stets das entgegengesetzte Vorzeichen, sondern gleiches Vorzeichen. Deshalb wird die Wellenfunktion hier nicht mehr gezwungen sich stets zur \(x\) -Achse hin zu biegen. Stattdessen kann sie zwei andere Verhaltensweisen zeigen. Sie könnte einerseits ins positiv oder negativ Unendliche wachsen. Dieses Verhalten ist aber unphysikalisch, da es die Normierungsbedingung 17 verletzt. Andererseits kann sie exponentiell abfallen. Dieses Verhalten ist mit der Normierungsbedingung vereinbar und somit physikalisch möglich.

Visier mich an!Illustration bekommen
Energiequantisierung im harmonischen Potential \(W_{\text{pot}}(x)\).

Wenn man sich das noch genauer anschaut, stellt man fest, dass dieses Verhalten nur für bestimmte Werte der Gesamtenergie erreicht wird. Das nennt man Quantisierung, also die Tatsache, dass die erlaubten Gesamtenergien nur diskrete Werte annehmen können. Wenn du ein quantenmechanisches Teilchen irgendwo einsperrst, wie z.B. in unserem Fall zwischen \(x_1\) und \(x_2\), dann ist die Gesamtenergie dieses Teilchens immer quantisiert. Es kann dann die Werte \(W_0\), \(W_1\), \(W_2\), \(W_3\) und so weiter annehmen, aber keine Energiewerte dazwischen. Zu jeder dieser erlaubten Energien gibt es eine dazugehörige Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}_0\), \(\mathit{\Psi}_1\), \(\mathit{\Psi}_2\), \(\mathit{\Psi}_3\) und so weiter.

Die verschiedenen möglichen Wellenfunktionen und die dazugehörigen erlaubten Energien, nummerieren wir mit einer natürlichen Zahl \(n\): \(\mathit{\Psi}_n\) und \(W_n\). Hier ist \(n\) eine sogenannte Quantenzahl.

Wir sagen: Ein Teilchen mit der kleinstmöglichen Energie \(W_0\) befindet sich im Grundzustand \(\mathit{\Psi}_0\) Und ein Teilchen, dass eine größere Energie als \(W_0\) hat, befindet sich im angeregten Zustand. Im klassisch erlaubten Bereich oszilliert die Wellenfunktion und im klassisch verbotenen Bereich fällt die Wellenfunktion exponentiell ab. Und die Gesamtenergie des eingesperrten Teilchens ist quantisiert.

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (3d)

Du kannst die eindimensionale Schrödinger-Gleichung 15 zu einer dreidimensionalen Schrödinger-Gleichung verallgemeinern. Wir nehmen dazu an, dass die Wellenfunktion \(\Psi(x,t)\) nicht nur von einer Ortskoordinate \(x\), sondern von drei Ortskoordinaten \(x,y,z\) abhängt: \(\Psi(x,y,z,t)\). Du kannst auch die drei Ortskoordinaten etwas kompakter zu einem Vektor \(\boldsymbol{r}\) zusammenfassen (Vektoren werden hier fett dargestellt): \(\Psi(\boldsymbol{r},t)\).

In der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung 15 muss die zweite Ortsableitung nach \(x\) ergänzt werden, sodass in der Schrödinger-Gleichung auch die zweite Ortsableitung nach \(y\) und nach \(z\) vorkommen. Wie die zweite Ableitung einer Funktion, die von mehreren Ortskoordinaten abhängt, gebildet wird, verrät uns die mehrdimensionale Analysis. Wir addieren die zweiten Ortsableitungen \(\frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial y^2}\) und \(\frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial z^2}\) einfach hinzu:21\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \left( \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial z^2} \right) ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Das ist unsere zeitunabhängige dreidimensionale Schrödinger-Gleichung. Du kannst sie noch etwas kompakter schreiben. Klammere dazu die Wellenfunktion aus:22\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\,\mathit{\Psi} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Die Summe der Ortsableitungen in der Klammer bilden einen sogenannten Laplace-Operator \(\nabla^2\) (manchmal auch als \(\Delta\) notiert):23\[ \nabla^2 ~=~ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \]

Ein Operator, wie der Laplace-Operator, entfaltet erst dann seine Wirkung, wenn dieser auf eine Funktion angewendet wird. Was soll sonst eine alleinstehende Ortsableitung 23 physikalisch bedeuten?! Hier wenden wir den Laplace-Operator auf die Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}\) an:

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (3d)24\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \nabla^2 \, \mathit{\Psi} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Das Ergebnis \(\nabla^2 \, \mathit{\Psi}\) ist die zweite Ortsableitung der Wellenfunktion, also genau das, was in 21 auch steht. Mit der dreidimensionalen zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung 24 lassen sich viele zeitunabhängige Probleme der Quantenmechanik lösen, sei es ein Teilchen im Potentialtopf, quantenmechanischer harmonischer Oszillator, die Beschreibung eines Helium-Atoms und viele andere Probleme.

Erkennst du auf der rechten Seite von 24 einen weiteren möglichen Operator? Klammere dazu \(\mathit{\Psi}\) aus:25\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \, \nabla^2 ~+~ W_{\text{pot}} \right) \, \mathit{\Psi} \]

Der Operator in der Klammer auf der rechten Seite wird als Hamilton-Operator \(\hat{H}\) bezeichnet. Du kannst mit ihm die Schrödinger-Gleichung sehr kompakt schreiben:

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung mittels Hamilton-Operator26\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ \hat{H} \, \mathit{\Psi} \]

Mit dem Hamilton-Operator hast du die Schrödinger-Gleichung als eine Eigenwertgleichung formuliert, die du wahrscheinlich aus der linearen Algebra kennst. Du wendest den Hamilton-Operator (stell dir diesen als Matrix vor) auf die Eigenfunktion \(\mathit{\Psi}\) an (stell dir diese als Eigenvektor vor). Dann bekommst du unverändert wieder den Eigenvektor \(\mathit{\Psi}\) heraus, der mit dem dazugehörigen Energieeigenwert \(W\) skaliert ist. An diesem Eigenwertproblem kannst du mathematisch einsehen, warum die Energie \(W\) in der Quantenmechanik quantisiert sein kann. Die Energieeigenwerte sind abhängig vom verwendeten Hamilton-Operator \(\hat{H}\). Diese Eigenwerte sind für die meisten Hamilton-Operatoren, denen du begegnen wirst, diskret.

Herleitung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung

Was ist, wenn die Gesamtenergie des quantenmechanischen Teilchens nicht zeitlich konstant ist? Das kann z.B. passieren, wenn das Teilchen mit seiner Umgebung wechselwirkt und dadurch seine Gesamtenergie sich verändert. Für derartige Probleme ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung 15 bzw. 24 nicht anwendbar. Hierfür brauchst du eine allgemeinere Form der Schrödinger-Gleichung, nämlich die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung.

Jetzt gehen wir von einer zeitabhängigen Gesamtenergie \(W(t)\) aus. Wir nehmen zur Vereinfachung an, dass das Teilchen sich in keinem externen Feld befindet und somit keine potentielle Energie \(W_{\text{pot}}\) besitzt. Die Gesamtenergie \(W\) des Teilchens ist somit nur die zeitabhängige kinetische Energie:27\[ W(t) ~=~ W_{\text{kin}}(t) \]

Wir lassen "von t" weg, um die Gleichungen etwas übersichtlicher zu halten. Multipliziere Gl. 27 mit \(\mathit{\Psi}\):28\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi} \]

Kommt dir der Ausdruck\(W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi}\) bekannt vor? Diesen hast du ja schon bei der Herleitung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung gesehen. Und zwar als wir die zweite Ortsableitung der ebenen Welle betrachtet haben. Dadurch haben wir Gl. 14 erhalten. Setze 14 ein:29\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} \]

Jetzt kommt etwas Magie. Aber wie gesagt, es ist bisher niemandem gelungen, die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung aus fundamentalen Prinzipien herzuleiten. Das Entscheidende ist aber, dass sie im Experiment trotzdem einwandfrei funktioniert.

  1. Leite die ebene Welle 7 nach der Zeit ab:30\[ \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ -\mathrm{i} \, \omega \, \mathit{\Psi} \]
  2. Die Gesamtenergie entspricht in unserem Fall der kinetischen Energie und diese lässt sich wegen des Welle-Teilchen-Dualismus (analog zu der de-Broglie-Wellenlänge) mithilfe der Frequenz \(\omega\) schreiben: \( W = \hbar \omega\). Benutze diese Gleichung, um die Frequenz \(\omega\) in 30 mit der Gesamtenergie auszudrücken:31\[ \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \, W \, \mathit{\Psi} \]
  3. Stelle 31 nach \(W \, \mathit{\Psi}\) um:32\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ - \frac{\hbar}{\mathrm{i}} \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} \]
  4. Um die Gleichung 32 etwas zu verschönern, erweitere den Bruch \(\frac{\hbar}{\mathrm{i}}\) mit \(\mathrm{i}\). Dabei wird \(\mathrm{i}^2\) zu -1. Dadurch eliminierst du den Bruch und das Minuszeichen: 33\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} \]

Jetzt kannst du 33 in 29 einsetzen:34\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} \]

Und schon hast du die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für einen Spezialfall erhalten, nämlich für ein Teilchen ohne potentieller Energie.

Erwin Schrödinger nahm nun an, dass 34 auch dann erfüllt ist, wenn die zeitabhängige potentielle Energie \( W_{\text{pot}}(x,t)\) zum kinetischen Term hinzuaddiert wird. So hat sie eine ähnliche Form wie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung, mit dem einzigen Unterschied, dass der Term für die Gesamtenergie sich verändert hat:

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (1d)35\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Analog zur eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung 15 lässt sich die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung 35 auf drei Dimensionen erweitern. Ersetze lediglich dazu die zweite Ortsableitung mit dem Laplace-Operator \(\nabla^2\):

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (3d)36\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \nabla^2 \, \mathit{\Psi} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Variablenseparation und stationäre Zustände

Das Lösen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung 35 ist gar nicht so einfach. Du kannst aber das Lösen dieser partiellen Differentialgleichung deutlich vereinfachen, wenn du sie in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen umwandelst. Eine Differentialgleichung ist dann nur von der Zeit abhängig und die andere nur vom Ort. Der Trick heißt Variablenseparation, weil du die Orts- und Zeitabhängigkeit voneinander trennst. Dies ist ein sehr wichtiger Ansatz in der Physik, um Differentialgleichungen zu vereinfachen und zu lösen.

Die einzige Voraussetzung, damit die Variablenseparation funktioniert, ist, dass die potentielle Energie \( W_{\text{pot}}(x) \) nicht von der Zeit \(t\) abhängt (sie kann aber sehr wohl vom Ort \(x\) abhängen). Die Wellenfunktion selbst, kann natürlich weiterhin sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängen.

Mache folgenden Separationsansatz. Teile die Wellenfunktion \( \mathit{\Psi}(x,t) \) in zwei Anteile:

  • Anteil, der nur vom Ort \(x\) abhängt. Bezeichnen wir mal diesen Anteil mit einem kleinen griechischen "Psi": \( \psi(x) \).
  • Anteil, der nur von der Zeit \(t\) abhängt. Bezeichnen wir mal diesen Anteil mit einem kleinen griechischen "Phi" \( \phi(t) \).

Und schreibe als nächstes die ursprüngliche Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}\), als ein Produkt der beiden separierten Wellenfunktionen:37\[ \mathit{\Psi}(x,t) ~=~ \psi(x) \, \phi(t) \]

Nicht alle Wellenfunktion lassen sich derart wie 37 separieren. Da die Schrödinger-Gleichung aber linear ist, können wir eine Linearkombination derartiger Lösungen bilden und so alle Wellenfunktionen (auch diejenigen, die sich nicht separieren lassen) erhalten.

Wie du an der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung 35 siehst, kommen dort die Zeitableitung \( \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} \) und die zweite Ortsableitung \( \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} \) vor. Führe die beiden Ableitungen unabhängig voneinander aus (beachte dabei die Produktregel beim Ableiten). Dadurch erhältst du zwei Gleichungen:

  1. Leite die separierte Wellenfunktion 37 einmal nach der Zeit \(t\) ab:38\[ \frac{\partial \mathit{\Psi}(x,t)}{\partial t} ~=~ \psi(x) \, \frac{\partial \phi(t)}{\partial t} \]
  2. Leite die separierte Wellenfunktion 37 zweimal nach dem Ort \(x\) ab:39\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}(x,t)}{\partial x^2} ~=~ \phi(t) \, \frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} \]

Die Zeitableitung 38 und die Ortsableitung 39 kannst du jetzt in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung 35 einsetzen. Setze außerdem die separierte Wellenfunktion 37 in den Term mit der potentiellen Energie ein. Durch das Einsetzen erhältst du: 40\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \psi(x) \, \frac{\partial \phi(t)}{\partial t} ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \phi(t) \, \frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} ~+~ W_{\text{pot}}(x) \, \psi(x)\, \phi(t) \]

Wir können hier noch eine kleine Schönheitsoperation vornehmen. Wir wissen, dass \(\phi(t)\) nur von der Zeit abhängt und, dass \(\psi(x)\) nur vom Ort abhängt. Diese Information können wir damit andeuten, indem wir die partiellen Ableitungen (notiert mit geschwungenem Del \( \partial \)) mit sogenannten totalen Ableitungen (notiert mit \( \text{d} \)) ersetzen. So musst du nicht ständig \(\phi(t)\) oder \(\psi(x)\) schreiben, sondern kannst einfach \(\phi\) und \(\psi\) schreiben. Aus der Notation der Ableitung ist dann klar, dass die Funktion nur von einer Variablen abhängt, nämlich von der, nach der sie abgeleitet wird. Es ist nicht entscheidend, wenn du nicht weißt, was eine totale oder partielle Ableitung ist. Ersetze einfach die \(\partial\)-Zeichen mit nicht-kursiven \(d\)-Zeichen: 41\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \psi \, \frac{\text{d} \phi}{\text{d} t} ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \phi \, \frac{\text{d}^2 \psi}{\text{d} x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \psi \, \phi \]

Jetzt musst du Differentialgleichung 41 so umformulieren, dass ihre linke Seite nur von der Zeit \(t \) und ihre rechte Seite nur vom Ort \( x \) abhängt. Das erreichst du, indem du 41 durch das Produkt \( \psi \, \phi \) dividierst:42\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{1}{\phi} \, \frac{\text{d} \phi}{\text{d} t} ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{1}{\psi} \, \frac{\text{d}^2 \psi}{\text{d} x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \]

Was hast du davon? Wenn du die Zeit \( t \) (die nur auf der linken Seite vorkommt) veränderst, wird sich nur die linke Seite der Gleichung verändern, während die rechte Seite unverändert bleibt. Wenn sich aber die rechte Seite mit der Zeit nicht verändert, so ist sie konstant. Diese Konstante ist reell, da eine komplexwertige Konstante die Normierungsbedingung verletzen würde. Sie entspricht der zeitlich konstanten Gesamtenergie \(W\). Bezeichne die rechte Seite als eine Konstante \(W\):43\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{1}{\phi} \, \frac{\text{d} \phi}{\text{d} t} ~=~ W \]

Bringe am besten noch \( \mathrm{i} \, \hbar \) auf die andere Seite (wobei \( \frac{1}{\mathrm{i}} \) zu \( -\mathrm{i} \) wird):

DGL für den zeitabhängigen Anteils der Gesamtwellenfunktion 44\[ \frac{1}{\phi} \, \frac{\text{d} \phi}{\text{d} t} ~=~ -\frac{\mathrm{i} \, W}{\hbar}\]

Genauso ist es, für die Ortskoordinate. Wenn du auf der rechten Seite in 42 den Ort \(x\) veränderst, bleibt die linke Seite konstant, weil sie unabhängig von \(x\) ist. Wegen der Gleichheit, muss die linke Seite der gleichen Konstanten \(W\) entsprechen. Bezeichne die linke Seite von 42 mit der Konstanten \(W\):45\[ W ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{1}{\psi} \, \frac{\text{d}^2 \psi}{\text{d} x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \]

Wenn du die Differentialgleichung 45 nur noch mit \(\psi\) multiplizierst, bekommst du die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung heraus (bei dieser Version ist die Wellenfunktion \(\psi(x)\) natürlich wegen der Variablenseperation nur ortsabhängig, aber nicht zeitabhängig):

DGL für den ortsabhängigen Anteil der Gesamtwellenfunktion 46\[ W \, \psi ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\text{d}^2 \psi}{\text{d} x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \psi \]

Was hast du insgesamt damit erreicht? Wie bereits gesagt: Damit hast du aus einer komplizierteren partiellen Schrödinger-Differentialgleichung 35, zwei weniger komplizierte, gewöhnliche Differentialgleichungen 44 und 46 erhalten.

Du kannst sogar die Lösung für die zeitliche Differentialgleichung 44 direkt angeben. Sie ist leicht mit Bleistift und Papier lösbar. Multipliziere dazu 44 mit \( \text{d}t \): 47\[ \frac{1}{\phi} \, \text{d} \phi ~=~ -\frac{\mathrm{i} \, W}{\hbar} \, \text{d} t \]

Jetzt musst du nur noch beide Seiten integrieren:48\[ \int \frac{1}{\phi} \, \text{d} \phi ~=~ -\frac{\mathrm{i} \, W}{\hbar} \int \, \text{d} t \]

Auf der linken Seite ergibt die Integration von \(\frac{1}{\phi}\) den natürlichen Logarithmus und auf der rechten Seite \(t\). (Die Integrationskonstanten können wir hier weglassen und sie einfach in den ortsabhängigen Anteil \(\psi(x)\) integrieren):49\[ \ln(\phi) ~=~ -\frac{\mathrm{i} \, W}{\hbar} \, t \]

Umstellen nach der gesuchten Funktion \(\phi\) ergibt die Lösung der Differentialgleichung 44:

Lösung des zeitabhängigen Anteil der Gesamtwellenfunktion 50\[ \phi(t) ~=~ \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i} \, W}{\hbar}t}\]

Die zweite Differentialgleichung, die zeitunabhängige, stationäre Schrödinger-Gleichung 46, kannst du ohne eine konkrete potentielle Energiefunktion \( W_{\text{pot}} \), nicht weiterverarbeiten.

Das Tolle ist jetzt: Statt eine kompliziertere zeitabhängige Schrödinger-Gleichung 35 lösen zu müssen, kannst du stattdessen die einfachere stationäre Schrödinger-Gleichung 46 lösen. Dadurch bekommst du nur den ortsabhängigen Anteil \(\psi(x)\) der Wellenfunktion.

Um die zeitabhängige Gesamtwellenfunktion \(\mathit{\Psi}(x,t)\) zu bekommen, musst du deine gefundene Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung mit der Exponentialfunktion 50 multiplizieren, so wie der Separationsansatz 39 das verlangt:

Zeitabhängige Gesamtwellenfunktion 51\[ \mathit{\Psi}(x,t) ~=~ \psi(x) \, \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i} \, W}{\hbar}t}\]

Eine Wellenfunktion, die sich in einen Orts- und Zeitanteil separieren lässt, beschreibt einen stationären Zustand. Mit stationär ist gemeint, dass die Wellenfunktion selbst, zwar zeitabhängig ist, ihr Betragsquadrat \(|\mathit{\Psi}|^2\) dagegen nicht! Auch alle anderen physikalischen Größen, die das Teilchen beschreiben, sind zeitunabhängig. Zum Beispiel hat ein Teilchen, dessen Wellenfunktion ein stationärer Zustand ist, einen konstanten Mittelwert der Energie \(\langle W\rangle\), konstanten Mittelwert des Impulses \(\langle p\rangle\) und so weiter.

Bedenke, dass die Schrödinger-Gleichung nicht allmächtig ist. Sie ist eine nicht-relativistische Gleichung. Das heißt: Sie versagt für quantenmechanische Teilchen, die sich fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Außerdem berücksichtigt sie nicht auf natürliche Weise den Spin eines Teilchens. All diese Probleme werden erst durch die allgemeinere Gleichung der Quantenmechanik gelöst, nämlich durch die Dirac-Gleichung.

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