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Die Schrödinger-Gleichung der Quantenmechanik

Schrödinger-Gleichung - (kurz: SGL) ist eine homogene, partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, mit der ein quantenmechanisches System (z.B. ein Elektron oder Atom) beschrieben werden kann.
Was du hier lernst...
  1. Klassische Mechanik vs QuantenmechanikHier wird die klassische Mechanik mit der Quantenmechanik verglichen.
  2. Anwendungen der Schrödinger-Gleichung
  3. Herleitung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung (1d)Hier wird die Schrödinger-Gleichung mithilfe der Energieerhaltung, dem Welle-Teilchen-Dualismus und ebener Welle hergeleitet.
  4. Betragsquadrat, Wahrscheinlichkeit und NormierungHier lernst du, wie die Wellenfunktion interpretiert werden kann und was die Normierungsbedingung ist.
  5. Wellenfunktion im klassisch erlaubten und verbotenen BereichHier lernst du, wie sich die Wellenfunktion für verschiedene Energien verhält und was das mit der Energiequantisierung und Tunneleffekt zu tun hat.
  6. Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (3d)Hier wird die eindimensionale SGL in die dreidimensionale SGL umgewandelt.
  7. Herleitung der zeitabhängigen Schrödinger-GleichungHier wird die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung motiviert.
  8. Energie-Operator (Hamilton-Operator)Hier lernst du, die Schrödinger-Gleichung in Operatordarstellung kennen.
  9. Variablenseparation und stationäre ZuständeHier lernst du, wie das Lösen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung durch Variablenseparation vereinfacht werden kann und was die stationären Zustände sind.
Was du dafür wissen musst...
  • Grundlagen der Differential- und Integralrechnung
  • Grundlagen zu den komplexe Zahlen
  • Grundlagen zu den Vektoren
  • Energieerhaltungssatz

So sieht eine zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in ihrer vollen Pracht aus:\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \nabla^2 \, \mathit{\Psi} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Und so sieht eine zeitabhängige Schrödinger-Gleichung aus:\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \nabla^2 \, \mathit{\Psi} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Lasse die beiden Differentialgleichungen kurz auf dich einwirken.

Nach dieser Lektion wirst du verstehen, woher die berühmte Schrödinger-Gleichung kommt, was sie bedeutet und was du damit anstellen kannst.

Klassische Mechanik vs Quantenmechanik

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Trajektorie eines Teilchens aus der klassischen Mechanik. Eingezeichnet ist seine Position \(\boldsymbol{r}(t)\) zu drei verschiedenen Zeitpunkten.

Die meisten Phänomene unserer alltäglichen Welt lassen sich mit der klassischen Mechanik beschreiben. Das Ziel bei dieser, ist es herauszufinden, wie sich ein Körper der Masse \(m\) im Verlauf der Zeit \(t\) bewegt. Wir wollen die Trajektorie, also die Bahn \(\boldsymbol{r}(t)\) dieses Körpers bestimmen. Damit können wir in der klassischen Mechanik zu jedem Zeitpunkt vorhersagen, wo dieser Körper sein wird. Hier einige Beispiele für die Bewegung der Körper, deren Bahn theoretisch vorhergesagt werden kann:

  • Bewegung unserer Erde um die Sonne
  • Bewegung eines Satelliten um die Erde
  • Bewegung einer Rakete
  • Bewegung eines schwingenden Pendels
  • Bewegung eines geworfenen Steins

Das sind alles einfache Probleme, die mithilfe des zweiten Newton-Axioms gelöst werden können, also mit \(F = m\,a\) oder für Profis: \(m \, \frac{\text{d}^2 \boldsymbol{r}}{\text{d}t^2} = - \nabla W_{\text{pot}}\). Dazu muss für eine gegebene potentielle Energie \(W_{\text{pot}}\) aus dieser Differentialgleichung die Trajektorie \(\boldsymbol{r}(t)\) des betrachteten Körpers mit passenden Anfangsbedingungen bestimmt werden. Eine Anfangsbedingung könnte zum Beispiel die Position des Körpers zum Zeitpunkt Null sein: \(\boldsymbol{r}(0) = (0,0,0)\).

Aus der bekannten Trajektorie \(\boldsymbol{r}(t)\) können dann alle weiteren relevanten Größen herausgefunden werden, wie zum Beispiel:

  • Geschwindigkeit des Körpers: \(\boldsymbol{v} = \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t}\)
  • Impuls des Körpers: \(\boldsymbol{p} = m \, \boldsymbol{v}\)
  • Kinetische Energie des Körpers: \(W_{\text{kin}} = \frac{1}{2}\,m\,v^2\).

In der atomaren Welt dagegen, funktioniert die klassische Mechanik nicht. Die Objekte hier, wie die Elektronen, verhalten sich nicht wie klassische Teilchen, sondern wie Wellen. Der Ort \(\boldsymbol{r}(t)\) und der Impuls \(\boldsymbol{p}(t)\) eines Elektrons lassen sich aufgrund dieses Wellencharakters grundsätzlich nicht gleichzeitig genau bestimmen. Wir können also nicht wie in der klassischen Mechanik eine Trajektorie \(\boldsymbol{r}(t)\) des Teilchens bestimmen und aus dieser alle anderen Bewegungsgrößen herleiten, sondern müssen einen anderen Weg finden, um die Quantenwelt zu beschreiben. Und dieser andere Weg ist die Entwicklung der Quantenmechanik.

Das Ziel der Quantenmechanik ist es nicht mehr die Trajektorie \(\boldsymbol{r}(t)\) des quantenmechanischen Teilchens herauszufinden, sondern seine Wellenfunktion \(\Psi(\boldsymbol{r},t)\), die von \(\boldsymbol{r}\) und \(t\) abhängt. Wobei jetzt der Ort \(\boldsymbol{r}\) eine Ortskoordinate ist und keine gesuchte Trajektorie. Das Werkzeug, mit dem wir die Wellenfunktion finden können, ist die Schrödinger-Gleichung.

Anwendungen der Schrödinger-Gleichung

Erst durch diese neuartige Herangehensweise an die Natur mithilfe der Schrödinger-Gleichung ist es den Menschen gelungen, einen Teil des Mikrokosmos beherrschbar zu machen. Der Mensch ist dadurch in der Lage, Laser zu bauen, die heutzutage in der Medizin und Forschung nicht mehr wegzudenken sind. Oder Rastertunnelmikroskope, die das Auflösungsvermögen der üblichen Lichtmikroskope deutlich übersteigen. Erst durch die Schrödinger-Gleichung wurde das Periodensystem der Elemente und die Kernfusion in unserer Sonne genau verstanden. Doch es ist nur ein Bruchteil der Anwendungen, die die Schrödinger-Gleichung uns beschert hat. Lass uns deshalb diese mächtige Gleichung etwas näher kennenlernen.

Herleitung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung (1d)

Es ist leider nicht möglich die Schrödinger-Gleichung allein aus der klassischen Mechanik herzuleiten. Sie lässt sich aber zum Beispiel durch Einbezug des Welle-Teilchen-Dualismus herleiten, der innerhalb der klassischen Mechanik nicht vorkommt. Die Experimente und die moderne technische Gesellschaft zeigen aber, dass die Schrödinger-Gleichung einwandfrei funktioniert und für die meisten quantenmechanischen Probleme anwendbar ist. Lass uns versuchen zu verstehen, welche fundamentalen Prinzipien in der Schrödinger-Gleichung stecken und wie sie aus einem einfachen Spezialfall hergeleitet werden kann.

Wir machen unser Leben einfacher, indem wir zuerst mal eine eindimensionale Bewegung betrachten. In einer Dimension kann sich ein Teilchen nur entlang einer geraden Linie bewegen, zum Beispiel entlang der Ortsachse \(x\).

Betrachte nun ein Teilchen der Masse \(m\), das mit einer Geschwindigkeit \(v\) in \(x\)-Richtung fliegt. Es hat somit eine kinetische Energie \( W_{\text{kin}} \). Es kann sich außerdem in einem konservativen Feld befinden, z.B. in einem Gravitationsfeld oder im elektrischen Feld eines Plattenkondensators. Konservativ heißt: Wenn sich das Teilchen durch das Feld bewegt, darf sich die Gesamtenergie \(W\) des Teilchens nicht zeitlich verändern. Konservativ bedeutet also energieerhaltend. Es gilt also der Energieerhaltungssatz und das Teilchen hat eine potentielle Energie \( W_{\text{pot}} \).

Die Gesamtenergie \(W\) des Teilchens setzt sich aus der kinetischen und potentiellen Energie zusammen:1\[ W ~=~ W_{\text{kin}} ~+~ W_{\text{pot}} \]

Das ist nichts Neues, das kennst du bereits aus der klassischen Mechanik. Der Energieerhaltungssatz ist ein fundamentales Prinzip der Physik, dass auch in der Quantenmechanik erfüllt ist. Die Eigenartigkeit der Quantenmechanik kommt durch den Welle-Teilchen-Dualismus hinzu. Dieser erlaubt es uns das Teilchen als eine Materiewelle anzusehen. Eine Materiewelle, die durch de-Broglie-Wellenlänge (Materienwellenlänge) charakterisiert wird:

Klassisches Teilchen oder Materiewelle, je nach Situation.
2\[ \lambda ~=~ \frac{h}{p} \]hierbei ist \(h = 6.626 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} \) eine Naturkonstante, das Wirkungsquantum und \(p\) der Impuls des Teilchens, der das Produkt der Geschwindigkeit \(v\) und der Masse \(m\) das Teilchens ist: \(p = m\,v\).

Wir können nach dem Welle-Teilchen-Dualismus ein Teilchen als eine Welle betrachten und diesem Teilchen physikalische Größen zuordnen, die eigentlich nur für Wellen gedacht sind, wie in diesem Fall die Wellenlänge.

In der Quantenmechanik ist es üblich, den Impuls \(p = \frac{h}{\lambda} \) (aus 2) nicht mit der de-Broglie-Wellenlänge auszudrücken, sondern mit der Wellenzahl \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \). Damit wird der Impuls zu \(p = \frac{h \, k}{2\pi} \). Hierbei wird \( \frac{h}{2\pi} \) als reduziertes Wirkungsquantum \(\hbar\) ("h quer") bezeichnet:3\[ p ~=~ \hbar \, k \]

Diese Beziehung werden wir später brauchen.

Die de-Broglie-Wellenlänge 2 ist auch ein Maß dafür, ob sich das Teilchen eher teilchenartig oder wellenartig verhält. Teilchenartiges Verhalten kann mit der klassischen Mechanik beschrieben werden. Interessanter ist der Fall, wenn sich das Teilchen wie eine Welle verhält. Um es von klassischen, punktförmigen Teilchen zu unterscheiden, wird ein solches Teilchen als quantenmechanisches Teilchen bezeichnet. Je größer die de-Broglie-Wellenlänge 2, desto eher verhält sich das Teilchen quantenmechanisch. Eine größere de-Broglie-Wellenlänge 2 hat das Teilchen genau dann, wenn es einen kleineren Impuls \(p\) hat. Also eine möglichst kleine Masse und kleine Geschwindigkeit. Perfekte Kandidaten für derartige quantenmechanische Teilchen sind Elektronen. Sie haben eine winzige Masse \( m_{\text e} = 9.1 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \) und ihre Geschwindigkeit kann mithilfe elektrischer Spannung oder Abkühlung im flüssigen Wasserstoff stark reduziert werden.

Dadurch verhält sich das klassische Teilchen eher wie eine ausgedehnte Materiewelle, die mathematisch mit einer ebenen Welle beschrieben werden kann. Wir bezeichnen sie mal mit dem großen griechischen Buchstaben \(\mathit{\Psi}\) (ausgesprochen: Psi). Eine ebene Materiewelle hängt im Allgemeinen vom Ort \(x\) und von der Zeit \(t\) ab: \(\mathit{\Psi}(x,t)\).

Wir können eine ebene Welle, die die Wellenzahl \(k\), Frequenz \(\omega\) und Amplitude \(A\) hat, durch eine Cosinus-Funktion beschreiben:4\[ \mathit{\Psi}(x,t) ~=~ A \, \cos(k\,x - \omega \, t) \]

Dabei ist es egal, ob du die ebene Welle mit Sinus oder Cosinus-Funktion ausdrückst. Du hättest genauso Sinus nehmen können. Wenn die Zeit \(t\) voranschreitet, bewegt sich die Welle in die positive \(x\)-Richtung, genauso wie unser Teilchen.

Ebene Welle zum Zeitpunkt \(t=0\) und zu einem späteren Zeitpunkt \(t\).

Damit das Rechnen mit solchen Wellen ohne irgendwelche Additionstheoreme geschieht, überführen wir die ebene Welle in eine komplexe Exponentialfunktion. Als erstes: Addiere zur Cosinus-Funktion die imaginäre Sinusfunktion. Die ebene Welle 3 wird dann zu:5\[ \mathit{\Psi}(x,t) ~=~ A \, \left[ \cos(k\,x - \omega \, t) + \mathrm{i} \,\sin(k\,x - \omega \, t)\right] \]

Damit haben wir eine reelle Funktion 4 in eine komplexe Funktion 5 umgewandelt. Hierbei ist \( \mathrm{i} \) die imaginäre Einheit, \(\text{Re}(\mathit{\Psi}) = \cos(k\,x - \omega \, t) \) ist der Realteil und \(\text{Im}(\mathit{\Psi}) = \sin(k\,x - \omega \, t) \) ist der Imaginärteil der komplexen Funktion.

Das Gute ist, dass wir die enormen Vorteile der komplexen Schreibweise ausnutzen können und dann vereinbaren, dass wir im Experiment nur am Realteil 3 (Cosinus-Funktion) interessiert sind. Den Imaginärteil können wir in unserem Fall einfach als nicht physikalisch abstempeln und nicht weiter beachten. Bedenke jedoch, dass auch eine komplexe ebene Welle 5 eine mögliche Lösung der Schrödinger-Gleichung sein kann. Darum kümmern wir uns aber später.

Als nächstes nutzen wir die folgende Euler-Beziehung aus der Mathematik:6\[ A \, e^{\mathrm{i}\,\varphi} ~=~ A \, \left[ \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\right] \]Sie verknüpft die komplexe Exponentialfunktion \(e^{\mathrm{i}\,\varphi}\) mit den trigonometrischen Funktionen.

Mithilfe von 6 kannst du die komplexe ebene Welle 5 in eine Exponentialfunktion umschreiben:7\[ \mathit{\Psi}(x,t) ~=~ A \, e^{\mathrm{i}\,(k\,x - \omega\,t)} \]

Immer, wenn du so einen Ausdruck wie 7 siehst, dann weißt du sofort, es geht um ebene Wellen. Unsere ursprüngliche ebene Welle 4 als Cosinus-Funktion ist in 7 als Information enthalten, nämlich als Realteil von 7.

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Ebene Welle als rotierender Zeiger in der komplexen Zahlenebene.

Du kannst 7 leicht veranschaulichen (siehe Illustration 3). Die komplexe Funktion 7 ist ein Vektor (auch Zeiger genannt) in der komplexen Zahlenebene.

  • Die Amplitude \(A\) entspricht dem Betrag des Vektors (also seiner Länge).
  • Das Argument \( k\,x - \omega\,t \) entspricht dem Winkel \(\varphi\) (auch Phase genannt), der zwischen der reellen Achse und dem \(\mathit{\Psi}\)-Vektor eingeschlossen wird.

Wenn die Zeit \(t\) verstreicht, so ändert sich auch der Winkel \(\varphi = k\,x - \omega\,t \) und der Zeiger rotiert. In unserem Fall gegen den Uhrzeigersinn. Diese Rotation repräsentiert die Ausbreitung der ebenen Welle in die positive \(x\)-Richtung.

Die Die komplexe Exponentialfunktion 7 ist eine Funktion, die eine ebene Welle beschreibt. Deshalb wird sie auch Wellenfunktion genannt, insbesondere im Zusammenhang mit der Quantenmechanik. Natürlich gibt es verschiedene Wellenfunktionen, die keine ebene Welle sind. Die ebene Welle ist nur ein Beispiel für eine einfache Wellenfunktion. Die Wellenfunktion beschreibt ein quantenmechanisches Teilchen. Man sagt dazu auch: Das Teilchen befindet sich im Zustand \(\mathit{\Psi}\). Du kannst \(\mathit{\Psi}\) also auch als Zustand bezeichnen. Wenn wir in der Quantenmechanik vom Zustand sprechen, dann meinen wir damit die Wellenfunktion.

Lass uns als nächstes die Gleichung 1 für Gesamtenergie mit der Wellenfunktion 7 multiplizieren. Dafür gibt es keinen konkreten Grund. Später wird sich aber herausstellen, dass dieser Schritt sinnvoll ist:8\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Es liegt nahe die Wellenfunktion 7 zweimal nach dem Ort \(x\) abzuleiten. Eine ebene Welle 7 ist eine typische Welle, die in der Optik und Elektrodynamik bei der Beschreibung elektromagnetischer Wellen auftaucht. Und von da wissen wir, dass eine ebene Welle eine mögliche Lösung der Wellengleichung ist. Eine eindimensionale ebene Welle wie in unserem Fall, löst die folgende eindimensionale Wellengleichung:9\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial t^2} \]

Hierbei ist \(c\) die Phasengeschwindigkeit der Welle. Im Fall elektromagnetischer Wellen ist es die Lichtgeschwindigkeit. Im Fall von Materiewellen ist es die Phasengeschwindigkeit \( c = \frac{\omega}{k}\). Für uns ist das aber erstmal unwichtig. Wir wollen uns die Wellengleichung nur anschauen, um unseren nächsten Schritt zu motivieren. Auf der linken Seite der Wellengleichung steht die zweite Ableitung der Wellenfunktion nach dem Ort \(x\). Berechnen wir mal die zweite Ableitung für unsere Wellenfunktion:10\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~=~ -k^2 \, A \, e^{\mathrm{i}\,(k\,x - \omega\,t)} \]

Durch die zweimalige Ableitung kommt \(k^2\) und ein Minuszeichen (wegen \(i^2 = -1\)) dazu. Die Wellenfunktion als Exponentialfunktion bleibt bei Ableitung - wie du hoffentlich weißt - unverändert:11\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~=~ -k^2 \, \mathit{\Psi} \]

Als nächstes führen wir wieder auf den ersten Blick willkürliche Schritte durch, die uns am Ende aber zu der Schrödinger-Gleichung führen werden. Wir wollen irgendwie versuchen, die zweite Ableitung 11 der Wellenfunktion mit der konstanten Gesamtenergie 3 zu verknüpfen:

  1. Nutze die umgeschriebene de-Broglie-Beziehung für den Impuls \( p = \hbar \, k \) und ersetze damit \(k^2\) in 11:12\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~=~ -\frac{p^2}{\hbar^2} \, \mathit{\Psi} \]
  2. Um jetzt die im Energieerhaltungssatz vorkommende kinetische Energie \(W_{\text{kin}}\) ins Spiel zu bringen, ersetze den Impuls \(p^2\) mithilfe der Beziehung \( W_{\text{kin}} = \frac{p^2}{2m} \) (Wie kommt man darauf?):13\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~=~ -\frac{2m}{\hbar^2} \, W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi} \]
  3. Wenn du dir jetzt den mit der Wellenfunktion multiplizierten Energieerhaltungssatz 8 anschaust, dann siehst du, dass dort \(W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi}\) vorkommt. Stelle deshalb 13 nach \(W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi}\) um:14\[ W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} \]

Wenn du jetzt nur noch 14 in den Energieerhaltungssatz 8 einsetzt, dann bekommst du die Schrödinger-Gleichung heraus:

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (1d)15\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Das Ergebnis ist eine eindimensionale, zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung.

Fassen wir nochmal kurz zusammen: Um die Schrödinger-Gleichung 15 herzuleiten, haben wir im Grunde zwei fundamentale Prinzipien gebraucht:

  • Energieerhaltungssatz (konstante Gesamtenergie)
  • Welle-Teilchen-Dualismus (De-Broglie-Wellenlänge eines Teilchens)

Weil wir von dem Energieerhaltungssatz ausgegangen sind und diesen umgeschrieben haben, wird die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung 15 auch als Energieerhaltungssatz der Quantenmechanik bezeichnet.

Betragsquadrat, Wahrscheinlichkeit und Normierung

Die Schrödinger-Gleichung ist - mathematisch gesehen - eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung.

  • Partiell bedeutet, dass in ihr Ableitungen nach verschiedenen Variablen vorkommen, wie z.B. Ableitung nach dem Ort \(x\) und der Zeit \(t\).
  • Mit zweiter Ordnung ist gemeint, dass die maximale Ableitung, die in der Gleichung vorkommt, die zweite Ableitung ist.
  • Und der Begriff Differentialgleichung selbst, bedeutet, dass die gesuchte Größe, keine Variable, sondern eine Funktion ist (in unserem Fall ist es die Wellenfunktion) und in der Gleichung kommen Ableitungen dieser Funktion vor.
Das Ziel ist es, die Schrödinger-Differentialglleichung zu lösen und mithilfe gegebener Anfangsbedingungen eine konkrete Wellenfunktion für ein konkretes quantenmechanisches Problem herauszufinden.

Es gibt kein allgemeines Rezept, wie die Schrödinger-Differentialglleichung für ein gegebenes Problem gelöst werden kann. Die meisten Probleme lassen sich nicht mal "per Hand" (analytisch) exakt lösen und lassen sich nur mit Näherungen per Hand lösen oder numerisch mit einem Computer. Aber nehmen wir mal an, dass du die Schrödinger-Gleichung gelöst und dadurch eine konkrete Wellenfunktion herausgefunden hast. Die Wellenfunktion kann außerdem auch noch komplexwertig sein, bei der du nicht den imaginären Anteil, wie bei unserer ebenen Welle anfangs vereinbart, vernachlässigen darfst. Durch das Weglassen des Imaginärteils würde das Ergebnis der Schrödinger-Gleichung nicht mehr mit den Ergebnissen von Experimenten übereinstimmen. Für einen Experimentator sind solche komplexen Funktionen jedoch ganz schlecht, weil sie nicht messbar sind. Doch wie können wir unsere Berechnung im Experiment überprüfen, wenn die komplexe Wellenfunktion gar nicht direkt messbar ist? Was bedeutet die Wellenfunktion überhaupt?

Hier kommt die vorherrschende statistische Interpretation der Quantenmechanik ins Spiel, die sogenannte Kopenhagener Deutung. Sie sagt zwar nicht, was die Wellenfunktion \(\mathit{\mathit{\Psi}}\) bedeutet, aber sie interpretiert ihr Betragsquadrat: \[ |\mathit{\mathit{\Psi}}|^2 \]

Durch die Bildung des Betragsquadrats \(|\mathit{\mathit{\Psi}}|^2\) erhältst du eine reellwertige (für den Experimentator messbare) Funktion.

Außerdem ist das Betragsquadrat immer positiv, deshalb spricht erstmal nichts dagegen dieses als Wahrscheinlichkeitsdichte zu interpretieren. Denn wie du weißt: Wahrscheinlichkeiten sind stets positiv, nie negativ. Im eindimensionalen Fall wäre das Betragsquadrat dann eine Wahrscheinlichkeit pro Länge und im dreidimensionalen Fall eine Wahrscheinlichkeit pro Volumen.

Bleiben wir beim eindimensionalen Fall und der Wellenfunktion eines Teilchens: Integrierst du die Wahrscheinlichkeitsdichte, also das Betragsquadrat der Wellenfunktion, über den Ort \(x\) und zwar innerhalb der Strecke zwischen den Punkten \(x = a\) und \( x = b\), dann bekommst du eine Wahrscheinlichkeit \(P(t)\) heraus:16\[ P(t) ~=~ \int_{a}^{b} |\mathit{\Psi}(x,t)|^2 \, \text{d}x \]

Das Integral des Betragsquadrats \(|\mathit{\Psi}(x,t)|^2\) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit \(P\), sich das Teilchen im Bereich zwischen \(a\) und \(b\) zum Zeitpunkt \(t\) befindet. Man spricht in diesem Zusammenhang von der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens.

Beispiel für das Betragsquadrat. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) das Teilchen zwischen \(a\) und \(b\) zu finden entspricht der eingeschlossenen Fläche zwischen \(a\) und \(b\).

Wenn du das Betragsquadrat \(|\mathit{\Psi}(x,t)|^2\) in Abhängigkeit von \(x\) in einem Diagramm aufzeichnest (siehe Illustration 5), dann kannst du daraus folgende Informationen herauslesen:

  • Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist die Fläche unter der \(|\mathit{\Psi}(x,t)|^2\)-Kurve.
  • Am wahrscheinlichsten ist es, das Teilchen an den Maxima zu finden. Am unwahrscheinlichsten an den Minima.

Beachte jedoch, dass es nicht möglich ist, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens an einem bestimmten Ort \(x = a\) anzugeben, sondern nur für einen Raumbereich (hier zwischen \(x=a\) und \(x=b\)), weil das Integral ansonsten Null wäre. Offensichtlich, denn es gibt unendlich viele Raumpunkte auf der Strecke zwischen \(a\) und \(b\). Wenn jeder Raumpunkt (davon gibts unendlich viele) eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit hätte, dann wäre die Summe (also das Integral) aller Aufenthaltswahrscheinlichkeiten unendlich, was überhaupt keinen Sinn ergäbe. Deshalb berechnen wir stets die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem Raumbereich.

Beispiel für das Betragsquadrat einer Wellenfunktion. Die Fläche unter der Kurve muss 1 ergeben, wenn von \(x=-\infty\) bis \(x=+\infty\) integriert wird.

Damit die statistische Interpretation kompatibel mit der Schrödinger-Gleichung ist, muss die Lösung der Schrödinger-Gleichung, also die Wellenfunktion \( \mathit{\Psi} \) die sogenannte Normierungsbedingung erfüllen. Diese besagt, dass das Teilchen irgendwo im Raum existieren muss. Im eindimensionalen Fall muss es also hundertprozentig irgendwo auf der Strecke zwischen \(x = -\infty\) und \(x = +\infty\) zu finden sein. Mit anderen Worten muss das Integral 49 für die Wahrscheinlichkeit, integriert über den gesamten Raum, 1 ergeben:

Normierungsbedingung17\[ \int_{-\infty}^{\infty} |\mathit{\Psi}|^2 \, \text{d}x ~=~ 1 \]

Die Normierungsbedingung ist eine notwendige Bedingung, die jede physikalisch mögliche Wellenfunktion erfüllen muss. Nach dem Lösen der Schrödinger-Gleichung, muss die herausgefundene Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}\) mithilfe der Normierungsbedingung 17 normiert werden. Normieren heißt, dass du das Integral in 17 berechnen musst und dann die Amplitude der Wellenfunktion so bestimmen musst, dass die Normierungsbedingung erfüllt ist. Die normierte Wellenfunktion bleibt dann für alle Zeitpunkte \(t\) normiert. Das kann sogar bewiesen werden. Wäre dies nicht der Fall, dann wären die Schrödinger-Gleichung und die statistische Interpretation inkompatibel. Es gibt natürlich Lösungen der Schrödinger-Gleichung, z.B. \(\mathit{\Psi} = 0 \), die nicht normierbar sind. Derartige Lösungen sind unphysikalisch, also nicht in der Realität anwesend. Wellenfunktionen, die normierbar sind, werden übrigens in der Mathematik quadratintegrable Funktionen genannt.

Wenn du mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit weißt, dass das Teilchen sich zwischen \(a\) und \(b\) befindet, dann musst du die Normierungsbedingung entsprechend auf den Bereich zwischen \(a\) und \(b\) reduzieren (die allgemeine Normierungsbedingung 17 gilt natürlich weiterhin):18\[ \int_{a}^{b} |\mathit{\Psi}|^2 \, \text{d}x ~=~ 1 \]

Beispiel: Normierungsbedingung benutzenBetrachten wir einen simplen eindimensionalen Fall. Ein Elektron bewegt sich von der negativen Elektrode zur positiven Elektrode eines Plattenkondensators. Die beiden Elektroden haben den Abstand \(d\) zueinander. Du hast die folgende Wellenfunktion durch das Lösen der Schrödinger-Gleichung bestimmt:18.1\[ \mathit{\Psi}(x,t) ~=~ A \, e^{\mathrm{i}\,(k\,x - \omega\,t)} \]

Die Amplitude \(A\) ist dir nicht bekannt. Dafür benutzt du die Normierungsbedingung, um die Wellenfunktion zu normieren und gleichzeitig \(A\) zu bestimmen. Du weißt mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron zwischen den beiden Elektroden sein muss. Wenn die eine Elektrode bei \(x=0\) und die andere bei \(x=d\) ist, dann befindet sich das Elektron irgendwo zwischen diesen beiden Punkten:18.2\[ \int_{0}^{d} |\mathit{\Psi}(x)|^2 \, \text{d}x ~=~ 1 \]

Zuerst musst du das Betragsquadrat \(|\mathit{\Psi}(x)|^2\) bestimmen. Der Betrag der Wellenfunktion wird genauso gebildet wie der Betrag eines Vektors. Hier kommt zum ersten Mal die Mächtigkeit der komplexen Exponentialfunktion zum Vorschein. Es gilt nämlich immer: \( |e^{i\,\varphi}| = 1 \). Perfekt, du musst nichts Kompliziertes rechnen. Damit ist das Betragsquadrat von 18.1:18.3\[ |\mathit{\Psi}|^2 ~=~ A^2 \]

Setze das Betragsquadrat 18.3 in die Normierungsbedingung 18.2 ein:18.4\[ \int_{0}^{d} A^2 \, \text{d}x ~=~ 1 \]

Die Amplitude \(A\) ist unabhängig von \(x\), also ist sie eine Konstante und du kannst sie vor das Integral ziehen. Das Ergebnis (umgestellt nach der Amplitude) ist nach dem Einsetzen der Integrationsgrenzen:18.5\[ A ~=~ \frac{1}{\sqrt{d}} \]

Auf diese Weise normierst du die Wellenfunktion und bestimmst die Amplitude für ein gegebenes Problem.

An dem Beispiel zur Normierungsbedingung kannst du an 18.5 ablesen, dass die Amplitude und damit auch die Wellenfunktion die Einheit "pro Wurzel Meter" hat:19\[ [\mathit{\Psi}] ~=~ \frac{1}{\sqrt{\text m}} \]In drei Dimensionen ist die Einheit \(\frac{1}{\sqrt{\text{m}^3}}\).

Sobald du die Wellenfunktion herausgefunden hast, kannst du daraus den Mittelwert von allen anderen physikalischen Größen bestimmen, wie den Mittelwert des Impulses \(\langle p \rangle\), der Geschwindigkeit \(\langle v\rangle\), der Energie \(\langle W\rangle\) und anderen Größen.

Wellenfunktion im klassisch erlaubten und verbotenen Bereich

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Beispiel für eine potentielle Energiefunktion \(W_{\text{pot}}(x)\).

Die potentielle Energie \(W_{\text{pot}}\) in der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung hängt im Allgemeinen vom Ort \(x\) ab: \(W_{\text{pot}}(x)\). Man könnte sie auch potentielle Energiefunktion (oder eher fälschlicherweise aber kurz: Potential) nennnen, die die potentielle Energie eines Teilchens am Ort \(x\) angibt. Das könnte beispielsweise eine quadratische Funktion sein - genannt harmonisches Potential (siehe Illustration). Die potentielle Energiefunktion könnte aber auch einen ganz anderen Verlauf haben.

Die Gesamtenergie \(W\) des Teilchens ist nach dem Energieerhaltungssatz konstant. Ein klassisches Teilchen kann sie also auf keinen Fall überschreiten. Folglich kann es sich (im eindimensionalen Fall) nur zwischen zwei Umkehrpunkten \(x_1\) und \(x_2\) bewegen und zwischen diesen beiden Punkten seine kinetische in potentielle Energie umwandeln und andersherum - ohne sich dabei außerhalb von \(x_1\) und \(x_2\) zu begeben.

Die kinetische Energie \(W_{\text{kin}}\) des Teilchens ist in der klassischen Physik stets positiv, denn sonst wäre die Geschwindigkeit \(v\) imaginär (also unphysikalisch). In der Quantenmechanik ist es nicht so. Bringe dazu in der Schrödinger-Gleichung 15 den Term mit der potentiellen Energie auf die linke Seite und klammere die Wellenfunktion aus:20\[ (W - W_{\text{pot}}) \, \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} \]

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Klassisch verbotener Bereich (rot) mit negativer kinetischer Energie und erlaubter Bereich (blau) mit positiver kinetischer Energie.

Die Gesamtenergie \(W\) abzüglich der potentiellen Energie \(W_{\text{pot}}\) entspricht der kinetischen Energie: \(W - W_{\text{pot}} = W_{\text{kin}}\). Die kinetische Energie kann in der Quantenmechanik auch negativ werden und zwar genau dann, wenn die potentielle Energie \(W_{\text{pot}}\) des Teilchens größer ist als die dem Teilchen zur verfügung stehende Gesamtenergie \(W\). In der klassischen Mechanik kann, wie bereits gesagt, dieser Fall gar nicht eintreten.

Das Vorzeichen der kinetischen Energie \((W - W_{\text{pot}})\) und der Wellenfunktion \(\mathit{\Psi} \) am Ort \(x\) (siehe linke Seite von 20), bestimmt das Vorzeichen der zweiten Ortsableitung der Wellenfunktion \(\frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2}\) (siehe rechte Seite von 20). Das Vorzeichen der zweiten Ableitung wiederum bestimmt, ob sich die Wellenfunktion zur \(x\)-Achse hin krümmt oder von der \(x\)-Achse weg krümmt. Es können dabei vier Fälle eintreten:

  1. Kinetische Energie und Wellenfunktion sind positiv: 20.1\[ (W - W_{\text{pot}}) > 0 ~~\text{und}~~ \mathit{\Psi} > 0 \]Dann muss nach 20 die Krümmung negativ sein:20.2\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~<~ 0 \]
  2. Kinetische Energie ist positiv und Wellenfunktion ist negativ:20.3\[ (W - W_{\text{pot}}) > 0 ~~\text{und}~~ \mathit{\Psi} < 0 \]Dann muss die Krümmung positiv sein:20.4\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~>~ 0 \]
  3. Kinetische Energie und Wellenfunktion sind negativ: 20.5\[ (W - W_{\text{pot}}) < 0 ~~\text{und}~~ \mathit{\Psi} < 0 \]Dann muss die Krümmung negativ sein:20.6\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~<~ 0 \]
  4. Kinetische Energie ist negativ und Wellenfunktion ist positiv: 20.7\[ (W - W_{\text{pot}}) < 0 ~~\text{und}~~ \mathit{\Psi} > 0 \]Dann muss die Krümmung positiv sein:20.8\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~>~ 0 \]
Im klassisch erlaubten Bereich oszilliert die Wellenfunktion. Im verbotenen Bereich geht sie für bestimmte Energien gegen Null.

Fall #1 und Fall #2 sind klassisch mögliche Fälle, weil die kinetische Energie hier positiv ist. Wenn du bei diesen Fällen das Vorzeichen der Krümmung \(\frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2}\) mit dem Vorzeichen der Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}\) vergleichst, dann siehst du, dass sie immer ein entgegengesetztes Vorzeichen haben. Im klassisch erlaubten Bereich zwischen \(x_1\) und \(x_2\) beobachten wir also:

  • Wenn die Wellenfunktion am Ort \(x\) positiv ist, dann ist die Krümmung negativ. Das bedeutet wiederum, dass die Wellenfunktion sinkt (sich auf die \(x\)-Achse zubewegt).
  • Wenn die Wellenfunktion am Ort \(x\) negativ ist, dann ist die Krümmung positiv. Das bedeutet wiederum, dass die Wellenfunktion steigt (sich von der \(x\)-Achse wegbewegt).

Zusammengefasst ergibt dieses entgegengesetzte Verhalten eine Oszillation der Wellenfunktion. Im klassisch erlaubten Bereich oszilliert die Wellenfunktion des Teilchens zwischen \(x_1\) und \(x_2\). Diese Oszillation ist umso stärker, je größer die positive kinetische Energie des Teilchens ist (kleinere Wellenlänge). Bei einer kleineren kinetischen Energie dagegen, oszilliert die Wellenfunktion weniger stark (größere Wellenlänge).

Bei klassisch verbotenen Fällen (Fall #3, Fall #4) ist die kinetische Energie negativ. In diesen Fällen haben die Wellenfunktion und die Krümmung stets ein gleiches Vorzeichen. Im klassisch verbotenen Bereich, also außerhalb von \(x_1\) und \(x_2\), beobachten wir:

  • Wenn die Wellenfunktion am Ort \(x\) positiv ist, dann ist die Krümmung ebenfalls positiv. Das bedeutet wiederum, dass die Wellenfunktion weiter ins Positive wächst (sich von der \(x\)-Achse weg krümmt).
  • Wenn die Wellenfunktion am Ort \(x\) negativ ist, dann ist die Krümmung ebenfalls negativ. Das bedeutet wiederum, dass die Wellenfunktion weiter ins Negative wächst (sich von der \(x\)-Achse weg krümmt).
Mögliche Energien eines Teilchens, das im harmonischen Potential eingesperrt ist.

Wie du bereits gelernt hast, solche Wellenfunktionen, die unendlich wachsen, können die Normierungsbedingung nicht erfüllen und sind damit unphysikalisch. Physikalisch mögliche Wellenfunktionen müssen daher im verbotenen Bereich gegen Null gehen. Solche physikalischen Wellenfunktion erhalten wir nur für bestimmte Werte der Energie \(W\). Wenn wir also ein quantenmechanisches Teilchen zwischen \(x_1\) und \(x_2\) einsperren, dann ist die Energie dieses Teilchens quantisiert. Es kann dann die Werte \(W_0\), \(W_1\), \(W_2\), \(W_3\) und so weiter annehmen, aber keine Energiewerte dazwischen! Es kann keine beliebige Energie \(W\) haben, weil sonst die gefundene Wellenfunktion nicht normierbar wäre und somit kein Teilchen beschreiben würde.

Beim Lösen der Schrödinger-Gleichung für ein eingesperrtes Teilchen müssen wir auch die möglichen Energien \(W_n\) bestimmen. Hier ist \(n\) eine sogenannte Quantenzahl, die alle möglichen Energiezustände, die das Teilchen einnehmen kann, aufsteigend nummeriert. Wie du gleichzeitig die Wellenfunktion und die dazugehörigen erlaubten Energien eines Teilchens bestimmen kannst, verrät dir ein einfaches Beispiel des Teilchens im unendlichen Potentialkasten. Ein freies Teilchen dagegen (das ist ein Teilchen mit \(W_{\text{pot}} = 0\)) kann beliebige Energien haben.

Eine weitere interessante Sache ist: Da das Betragsquadrat \(|\mathit{\Psi}|^2\) im verbotenen Bereich nicht Null ist, ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im verbotenen Bereich zu finden, ebenfalls nicht Null. Diese Eigenschaft der Wellenfunktion ermöglicht das Tunneln von Teilchen in klassisch verbotene Bereiche. Dieser sogenannte Tunneleffekt wird beispielsweise beim Rastertunnelmikroskop ausgenutzt.

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (3d)

Wir können die eindimensionale Schrödinger-Gleichung 15 zu einer dreidimensionalen Schrödinger-Gleichung verallgemeinern. Wir nehmen dazu an, dass unsere Wellenfunktion \(\Psi(x,t)\) nicht nur von einer Ortskoordinate \(x\), sondern von drei Ortskoordinaten \(x,y,z\) abhängt: \(\Psi(x,y,z,t)\). Du kannst auch die drei Ortskoordinaten etwas kompakter zu einem Vektor \(\boldsymbol{r}\) zusammenfassen (Vektoren werden hier fett dargestellt): \(\Psi(\boldsymbol{r},t)\).

In der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung 15 muss die zweite Ortsableitung nach \(x\) ergänzt werden, sodass auch in der Schrödinger-Gleichung die zweite Ortsableitung nach \(y\) und nach \(z\) vorkommen. Wie die zweite Ableitung einer Funktion, die von mehreren Ortskoordinaten abhängt, gebildet wird, verrät uns die mehrdimensionale Analysis. Wir addieren die zweiten Ortsableitungen \(\frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial y^2}\) und \(\frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial z^2}\) einfach hinzu:21\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \left( \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial z^2} \right) ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Das ist unsere zeitunabhängige dreidimensionale Schrödinger-Gleichung. Wir können sie noch etwas kompakter schreiben. Klammere dazu die Wellenfunktion aus:22\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\,\mathit{\Psi} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Die Summe der Ortsableitungen in der Klammer bilden einen sogenannten Laplace-Operator \(\nabla^2\) (manchmal auch als \(\Delta\) notiert):23\[ \nabla^2 ~=~ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \]

Ein Operator, wie der Laplace-Operator, entfaltet erst dann seine Wirkung, wenn dieser auf eine Funktion angewendet wird. Was soll sonst eine alleinstehende Ortsableitung 23 physikalisch bedeuten?! Hier wenden wir den Laplace-Operator auf die Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}\) an:

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (3d)24\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \nabla^2 \, \mathit{\Psi} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Das Ergebnis \(\nabla^2 \, \mathit{\Psi}\) ist die zweite Ortsableitung der Wellenfunktion, also genau das, was in 16 auch steht.

Mit 24 lassen sich viele Probleme der Quantenmechanik lösen, sei es ein Teilchen im Potentialtopf, quantenmechanischer harmonischer Oszillator, die Beschreibung eines Helium-Atoms und viele andere Probleme.

Herleitung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung

Was ist, wenn der Energieerhaltungssatz nicht erfüllt ist? Oder anders gesagt: Was ist, wenn die Gesamtenergie des quantenmechanischen Teilchens nicht zeitlich konstant ist? Das kann z.B. passieren, wenn das Teilchen durch Reibung Energie verliert. Für derartige Probleme ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung 15 bzw. 24 nicht anwendbar. Hierfür brauchen wir eine allgemeinere Form der Schrödinger-Gleichung, nämlich die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung.

Jetzt gehen wir natürlich davon aus, dass der Energieerhaltungssatz im Algemeinen nicht erfüllt ist. Wir gehen also von einer zeitabhängigen Gesamtenergie \(W(t)\) aus. Wir nehmen zur Vereinfachung an, dass das Teilchen sich in keinem externen Feld befindet und somit keine potentielle Energie \(W_{\text{pot}}\) besitzt. Die Gesamtenergie \(W\) des Teilchens ist somit nur die zeitabhängige kinetische Energie:25\[ W ~=~ W_{\text{kin}} \]

Multipliziere Gl. 25 mit \(\mathit{\Psi}\):26\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi} \]

Kommt dir der Ausdruck\(W_{\text{kin}} \, \mathit{\Psi}\) bekannt vor? Diesen hast du ja schon bei der Herleitung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung gesehen. Und zwar als wir die zweite Ortsableitung der ebenen Welle betrachtet haben. Dadurch haben wir Gl. 14 erhalten. Setze 14 ein:27\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} \]

Jetzt kommt etwas Magie. Aber wie gesagt, es ist bisher niemandem gelungen, die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung aus fundamentalen Prinzipien herzuleiten. Trotzdem funktioniert sie im Experiment einwandfrei.

  1. Leite die ebene Welle 7 nach der Zeit ab:28\[ \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ -\mathrm{i} \, \omega \, \mathit{\Psi} \]
  2. Die Gesamtenergie entspricht in unserem Fall der kinetischen Energie und diese lässt sich wegen des Welle-Teilchen-Dualismus (analog zur de-Broglie-Wellenlänge) mithilfe der Frequenz \(\omega\) schreiben: \( W = \hbar \omega\). Benutze diese Gleichung, um die Frequenz \(\omega\) in 28 mit der Gesamtenergie auszudrücken:29\[ \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \, W \, \mathit{\Psi} \]
  3. Stelle 29 nach \(W \, \mathit{\Psi}\) um:30\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ - \frac{\hbar}{\mathrm{i}} \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} \]
  4. Erweitere den Bruch \(\frac{\hbar}{\mathrm{i}}\) mit \(\mathrm{i}\). Wegen \( \mathrm{i}^2 = -1\) wird Gl. 30 zu:31\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} \]

Jetzt kannst du 31 in 27 einsetzen:32\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} \]

Dadurch haben wir eine zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen erhalten, für ein Teilchen ohne potentieller Energie.

Erwin Schrödinger nahm nun an, dass 32 auch dann erfüllt ist, wenn die zeitabhängige potentielle Energie \( W_{\text{pot}}(x,t)\) zum kinetischen Term hinzuaddiert wird. So hat sie eine ähnliche Form wie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung, mit dem einzigen Unterschied, dass der Term für die Gesamtenergie sich verändert hat:

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (1d)33\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Analog zur eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung 15 lässt sich die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung 33 auf drei Dimensionen erweitern. Ersetze lediglich dazu die zweite Ortsableitung mit dem Laplace-Operator \(\nabla^2\):

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (3d)34\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \nabla^2 \, \mathit{\Psi} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

In der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung kommt eine imaginäre Einheit \( \mathrm{i} \) vor, die es in der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung nicht gab. Wir dürfen also nicht mehr davon ausgehen, dass der komplexe Anteil einer Wellenfunktion, welche die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung löst, für das Experiment nicht relevant ist. Wir müssen also auch den komplexen Anteil im Experiment mitberücksichtigen, damit die Theorie und das Experiment im Einklang sind. Wie das geht, lernst du gleich.

Energie-Operator (Hamilton-Operator)

Bevor du lernst, was du mit der Schrödinger-Gleichung anstellen kannst, vergleiche kurz die zeitabhängige und die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung miteinander:\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \] \[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Auf der rechten Seite haben sie die gleiche Form. Die linke Seite sieht jedoch unterschiedlich aus. Wenn du zum Spaß \( \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial t} \, \mathit{\Psi}\) mit \(W \, \mathit{\Psi}\) gleichsetzt, wirst du feststellen, dass die Gesamtenergie \(W\) einem seltsamen Ausdruck \(\mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial t}\) entspricht. Erinnerst du dich noch an den Laplace-Operator? Dieser seltsame Ausdruck ist auch ein Operator, der Gesamtenergieoperator \(\hat{W}\) genannt wird:35\[ \hat{W} ~=~ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial t} \]Operatoren werden manchmal mit einem Dach notiert, um sie von Nicht-Operatoren, wie die Gesamtenergie \(W\), zu unterscheiden.

Der Gesamtenergieoperator wird also in der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung auf die Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}\) angewendet:36\[ \hat{W} \, \mathit{\Psi} ~=~ -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]

Erkennst du auf der rechten Seite von 36 auch einen Operator? Klammere dazu \(\mathit{\Psi}\) aus:37\[ \hat{W} \, \mathit{\Psi} ~=~ \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2}{\partial x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \right) \, \mathit{\Psi} \]

Der Operator in der Klammer wird als Hamilton-Operator \(\hat{H}\) bezeichnet. Wir können mit den definierten Operatoren die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung sehr kompakt schreiben:

Schrödinger-Gleichung in Operatordarstellung38\[ \hat{W} \, \mathit{\Psi} ~=~ \hat{H} \, \mathit{\Psi} \]

Die Schrödinger-Gleichung ausgedrückt mit Operatoren ist nur eine andere Darstellung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung, die du vorher kennengelernt hast. In dieser Darstellung kannst du auch die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung schreiben. Dazu nimmst du nur das Dach von \(\hat{W}\) weg. So hast du statt einem Operator \(\hat{W}\) eine Gesamtenergie \(W\), genau wie es in der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung ist. Was du dann aus dieser Operatordarstellung auf jeden Fall ablesen kannst, ist:

...für zeitunabhängige Schrödinger-GleichungWird der Hamilton-Operator \(\hat{H}\) auf die Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}\) angewendet, so ergibt sich wieder die Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}\), die jetzt aber mit der Gesamtenergie \(W\) multipliziert ist.

Wie du siehst, die Schrödinger-Gleichung lässt sich auf unterschiedliche Weise darstellen. Lass dich davon nicht abschrecken. Es ist nur eine andere Schreibweise!

Variablenseparation und stationäre Zustände

Das Lösen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung 28 ist gar nicht so einfach. Wir können aber das Lösen dieser partiellen Differentialgleichung deutlich vereinfachen, wenn wir sie in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. Eine Differentialgleichung ist dann nur von der Zeit abhängig und die andere nur vom Ort. Der Trick heißt Variablenseparation, weil wir die Orts- und Zeitabhängigkeit voneinander trennen. Dies ist ein wichtiger Ansatz in der Physik, um Differentialgleichungen zu lösen.

Die einzige Voraussetzung, damit die Variablenseparation funktioniert, ist, dass die potentielle Energie \( W_{\text{pot}}(x) \) nicht von der zeit \(t\) abhängt (sie kann aber sehr wohl vom Ort \(x\) abhängen). Die Wellenfunktion hängt natürlich weiterhin sowohl vom Ort als auch von der Zeit ab.

Mache folgenden Separationsansatz. Teile die Wellenfunktion \( \mathit{\Psi}(x,t) \) in zwei Anteile:

  • Anteil, der nur vom Ort \(x\) abhängt. Bezeichnen wir mal diesen Anteil mit einem kleinen griechischen "Psi": \( \psi(x) \).
  • Anteil, der nur von der Zeit \(t\) abhängt. Bezeichnen wir mal diesen Anteil mit einem kleinen griechischen "Phi" \( \phi(t) \).

Und schreibe als nächstes die ursprüngliche Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}\), als ein Produkt der beiden separierten Wellenfunktionen:39\[ \mathit{\Psi}(x,t) ~=~ \psi(x) \, \phi(t) \]

Nicht alle Wellenfunktion lassen sich derart wie 39 separieren. Da die Schrödinger-Gleichung aber linear ist, können wir eine Linearkombination derartiger Lösungen bilden und so alle Wellenfunktionen (auch diejenigen, die sich nicht separieren lassen) erhalten.

Wie du an der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung 38 siehst, kommen dort die Zeitableitung \( \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} \) und die zweite Ortsableitung \( \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} \) vor. Führe die beiden Ableitungen unabhängig voneinander aus (beachte dabei die Produktregel beim Ableiten). Dadurch erhältst du zwei Gleichungen:

  1. Leite die separierte Wellenfunktion 39 einmal nach der Zeit \(t\) ab:40\[ \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ \psi \, \frac{\partial \phi}{\partial t} \]
  2. Leite die separierte Wellenfunktion 39 zweimal nach dem Ort \(x\) ab:41\[ \frac{\partial^2 \mathit{\Psi}}{\partial x^2} ~=~ \phi \, \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \]

Die Zeitableitung 40 und die Ortsableitung 41 kannst du jetzt in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung 33 einsetzen. Setze außerdem die separierte Wellenfunktion 39 in den Term mit der potentiellen Energie ein. Durch das Einsetzen erhälst du: 42\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \psi \, \frac{\partial \phi}{\partial t} ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \phi \, \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \phi \, \psi \]

Wir können hier noch eine kleine Schönheitsoperation vornehmen. Wir wissen, dass \(\phi(t)\) nur von der Zeit abhängt und, dass \(\psi(x)\) nur vom Ort abhängt. Diese Information können wir damit andeuten, indem wir die partiellen Ableitungen (notiert mit geschwungenem Del \( \partial \)) mit sogenannten totalen Ableitungen (notiert mit \( \text{d} \)) ersetzen. Es ist nicht entscheidend, wenn du nicht weißt, was eine totale oder partielle Ableitung ist. Ersetze einfach die \(\partial\)-Zeichen mit nicht-kursiven \(d\)-Zeichen: 43\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \psi \, \frac{\text{d} \phi}{\text{d} t} ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \phi \, \frac{\text{d}^2 \psi}{\text{d} x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \phi \, \psi \]

Jetzt musst du Differentialgleichung 43 so umformulieren, dass ihre linken Seite nur von der Zeit \(t \) und ihre rechte Seite nur vom Ort \( x \) abhängt. Das erreichst du, indem du 43 durch das Produkt \( \psi \, \phi \) dividierst:44\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{1}{\phi} \, \frac{\text{d} \phi}{\text{d} t} ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{1}{\psi} \, \frac{\text{d}^2 \psi}{\text{d} x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \]

Was hast du davon? Wenn du die Zeit \( t \) (die nur auf der linken Seite vorkommt) veränderst, wird sich nur die linke Seite der Gleichung verändern, während die rechte Seite unverändert bleibt. Wenn sich aber die rechte Seite mit der Zeit nicht verändert, so ist sie konstant. Eine Konstante, die die Einheit der Energie hat. Sie entspricht der zeitlich konstanten Gesamtenergie \(W\). Bezeichne die rechte Seite als eine Konstante \(W\):45\[ \mathrm{i} \, \hbar \, \frac{1}{\phi} \, \frac{\text{d} \phi}{\text{d} t} ~=~ W \]

Bringe am besten noch \( \mathrm{i} \, \hbar \) auf die andere Seite (wobei \( \frac{1}{\mathrm{i}} \) zu \( -\mathrm{i} \) wird):

46\[ \frac{1}{\phi} \, \frac{\text{d} \phi}{\text{d} t} ~=~ -\frac{\mathrm{i} \, W}{\hbar}\]

Genauso ist es, wenn du auf der rechten Seite in 44 den Ort \(x\) veränderst, bleibt die linke Seite konstant, weil sie unabhängig von \(x\) ist. Wegen der Gleichheit, muss die linke Seite der gleichen Konstanten \(W\) entsprechen. Bezeichne die linke Seite von 44 mit der Konstanten \(W\):47\[ W ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{1}{\psi} \, \frac{\text{d}^2 \psi}{\text{d} x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \]

Wenn du die Differentialgleichung 47 nur noch mit \(\psi\) multiplizierst, bekommst du die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung heraus (bei dieser Version ist die Wellenfunktion \(\psi(x)\) natürlich wegen der Variablenseperation nur ortsabhängig, aber nicht zeitabhängig):

48\[ W \, \psi ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\text{d}^2 \psi}{\text{d} x^2} ~+~ W_{\text{pot}} \, \psi \]

Was hast du insgesamt damit erreicht? Wie bereits gesagt: Damit hast du aus einer komplizierteren partiellen Schrödinger-Differentialgleichung, zwei weniger komplizierte, gewöhnliche Differentialgleichungen 41 und 48 erhalten.

Du kannst sogar die Lösung für die zeitliche Differentialgleichung 46 direkt angeben. Sie ist leicht mit Bleistift und Papier lösbar. Multupliziere dazu 46 mit \( \text{d}t \): 49\[ \frac{1}{\phi} \, \text{d} \phi ~=~ -\frac{\mathrm{i} \, W}{\hbar} \, \text{d} t \]

Jetzt musst du nur noch beide Seiten integrieren:50\[ \int \frac{1}{\phi} \, \text{d} \phi ~=~ -\frac{\mathrm{i} \, W}{\hbar} \int \, \text{d} t \]

Auf der linken Seite ergibt die Integration von \(\frac{1}{\phi}\) den natürlichen Logarithmus und auf der rechten Seite \(t\):51\[ \ln(\phi) ~=~ -\frac{\mathrm{i} \, W}{\hbar} \, t \]

Umstellen nach der gesuchten Funktion \(\phi\) ergibt die Lösung der Differentialgleichung 46:

52\[ \phi(t) ~=~ \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i} \, W}{\hbar}t}\]

Die zweite Differentialgleichung, zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung 48, kannst du ohne eine konkrete potentielle Energiefunktion \( W_{\text{pot}} \) gegeben zu haben, nicht weiterverarbeiten.

Das Tolle ist jetzt: Statt eine kompliziertere zeitabhängige Schrödinger-Gleichung 33 lösen zu müssen, kannst du stattdessen die einfachere zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung 48 lösen. Dadurch bekommst du nur den ortsabhängigen Anteil \(\psi(x)\) der Wellenfunktion.

Um die zeitabhängige Gesamtwellenfunktion \(\mathit{\Psi}(x,t)\) zu bekommen, musst du deine gefundene Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung mit der Exponentialfunktion 52 multiplizieren, so wie der Separationsansatz 34 das verlangt:

Zeitabhängige Gesamtwellenfunktion 53\[ \mathit{\Psi}(x,t) ~=~ \psi(x) \, \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i} \, W}{\hbar}t}\]

Eine Wellenfunktion, die sich in einen Orts- und Zeitanteil separieren lässt, beschreibt einen stationären Zustand. Mit stationär ist gemeint, dass die Wellenfunktion selbst, zwar zeitabhängig ist, ihr Betragsquadrat \(|\mathit{\Psi}|^2\) dagegen nicht! Auch alle anderen physikalischen Größen, die das Teilchen beschreiben, sind zeitunabhängig. Zum Beispiel hat ein Teilchen, dessen Wellenfunktion ein stationärer Zustand ist, einen konstanten Mittelwert der Energie \(\langle W\rangle\), konstanten Mittelwert des Impulses \(\langle p\rangle\) und so weiter.

Wie geht es weiter...

Ich hoffe, dass du nach dieser Lektion ein solides Grundwissen zur Schrödinger-Gleichung erlangt hast. Bedenke jedoch, dass die Schrödinger-Gleichung nicht allmächtig ist. Sie ist eine nicht-relativistische Gleichung. Das heißt: Sie versagt für quantenmechanische Teilchen, die sich fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Außerdem berücksichtigt sie nicht auf natürliche Weise den Spin eines Teilchens. All diese Probleme werden erst durch die allgemeinere Gleichung der Quantenmechanik gelöst, nämlich durch die Dirac-Gleichung. Diese lernst du in einer anderen Lektion.

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