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Interferenz und wie der Gangunterschied sie verursacht

Konstruktive Interferenz zweier Sinuswellen
Level 2 (ohne höhere Mathematik)
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Wo kommt Interferenz vor? Hier lernst du einige Anwendungen der Welleninterferenz kennen.
  2. Wie wird Interferenz erzeugt?
  3. Konstruktive Interferenz zweier Sinuswellen Hier schauen wir uns an, wie zwei Wellen mathematisch addiert werden, um eine größere Welle zu erzeugen.
  4. Destruktive Interferenz zweier Sinuswellen
  5. Partielle Interferenz
  6. Gangunterschied als Phasendifferenz schreiben

Video - Interferenz von Wellen in 8 Minuten einfach erklärt!

Interferenz ist ein Fachwort für Überlagerung von Wellen. In dieser Lektion schauen wir uns genau mathematisch an, wie zwei Sinuswellen miteinander interferieren und damit eine größere Sinuswelle bilden (konstruktive Interferenz) oder sich komplett auslöschen (destruktive Interferenz).

Wo kommt Interferenz vor?

Interferenz ist ein grundlegendes Phänomen, welches überall dort in der Natur und Technik vorkommt, wo es um Wellen geht. Und aus Wellen besteht vieles um uns drum herum.

  • Wasserwellen am Meer.

  • Schallwellen, die uns beispielsweise die verbale Kommunikation mit anderen Menschen erlauben.

  • Lichtwellen, die z.B. unsere Sonne aussendet.

  • Materiewellen von kleinsten Teilchen, wie Elektronen, die ebenfalls Interferenzerscheinungen zeigen.

Andere Anwendungen sind zum Beispiel Antireflexbeschichtungen, wie die Entspiegelung bei Brillen. Aber auch Interferometer, mit denen man kleinste Längenänderungen vermessen kann. Dazu gehören zum Beispiel Michelson-Interferometer, Mach-Zehnder-Interferometer, Sagnac-Interferometer und Weißlichtinterferometrie, die du vielleicht später in deinem Leben kennenlernen wirst, wenn du den Weg der Physik beschreitest.

In der Physik findest Du die Interferenz wieder beim Doppelspaltexperiment, bei akustischer Schwebung oder bei der Bragg-Reflexion.

Wie wird Interferenz erzeugt?

Um zu verstehen, was bei der Überlagerung von Wellen passiert, musst Du erstmal Wellen erzeugen.

  • Du kannst beispielsweise zwei Steine nebeneinander ins Wasser werfen. Diese erzeugen Wasserwellen, treffen aufeinander und interferieren.

  • Du kannst zwei Lautsprecher anmachen. Diese erzeugen Schallwellen, die miteinander interferieren können.

Damit es nicht zu kompliziert wird, schauen wir uns Interferenz an einem sehr einfachen, aber sehr grundlegenden Beispiel an:

Eindimensionale Sinuswelle, die sich entlang der \(x\)-Achse ausbreitet.

Die Sinuswelle ist eine Abfolge von Wellenbergen und Wellentälern und hat zwei für die Interferenz wichtige Eigenschaften:

  1. Wellenlänge \( \lambda \) ("Lamm-da!") - das ist der Abstand zweier Wellenberge (oder Wellentäler).

  2. Amplitude \( A \) - diese gibt an, wie hoch der der Ausschalg einer Welle ist. Eine Schallwelle mit einer größeren Amplitude ist lauter.

Amplitude und Wellenlänge einer Welle
Eine Sinuswelle breitet sich im Raum, entlang der \(x\)-Achse aus.

Schaltest Du einen Lautsprecher-Sinuston an, so wird der Ton in unterschiedliche Richtungen ausgesendet, sodass ihn jeder im Raum hören kann. Lass uns die Amplitude auf den Wert \( A ~=~ 1\) setzen, damit wir mit ihr leicht zwei Wellen überlagern können.

Eine Welle allein reicht nicht aus, um Interferenz zu untersuchen. Wir brauchen dazu noch eine weitere Welle. Diese kann beispielsweise von einem anderen daneben stehenden Lautsprecher erzeugt werden. Lass uns beim zweiten Lautsprecher genau den gleichen Sinuston anschalten. Das hat den Vorteil, dass die Wellenlängen der beiden Sinuswellen gleich sind und das Rechnen dadurch etwas einfacher wird. Natürlich kannst du auch beliebige andere Wellen betrachten.

Konstruktive Interferenz zweier Sinuswellen

Sobald die beiden Sinuswellen aufeinandertreffen, überlagern sie sich. Wir haben sie so losgeschickt, dass ein Wellenberg der einen Sinuswelle auf einen Wellenberg der anderen Sinuswelle trifft. Auch jedes Wellental trifft auf entsprechendes Wellental am gleichen Ort.

Um die Interferenz mathematisch durchzuführen, gehst du folgendermaßen vor:

  1. Wähle irgendeine Position \(x\) aus, an der du die beiden Wellen überlagern möchtest.

  2. Addiere die Amplitude der einen Welle \( A_1 \) zu der Amplitude \(A_2\) der anderen Welle bei der gleichen Position \(x\). Die Summe der beiden Amplituden ergibt die Amplitude \(A(x)\) der resultierenden Welle an dem betrachteten Ort: \( A(x) = A_1(x) + A_2(x) \).

  3. Zeichne den Wert der neuen Amplitude in ein \(A\)-\(x\)-Diagramm an der betrachteten Position \(x\) ein.

Nimm beispielsweise zwei Maxima (Wellenberge) am gleichen Ort \(x\). Da beide Wellenberge die Amplitude 1 haben, beträgt die resultierende Amplitude:

Resultierende Amplitude zweier Wellenberge
Anker zu dieser Formel

Nimm dann zum Beispiel zwei Minima (Wellentäler) am gleichen Ort \(x\). Da beide Wellentäler die Amplitude -1 haben, beträgt die resultierende Amplitude:

Resultierende Amplitude zweier Wellentäler
Anker zu dieser Formel

Analog gehst du mit allen anderen Positionen \(x\) vor. Wenn du all die resultierenden Punkte in ein Diagramm einträgst und diese miteinander verbindest, bekommst du eine resultierende Welle.

Konstruktive Interferenz zweier Sinuswellen
Visier das Bild an! Illustration bekommen
Konstruktive Interferenz: so verstärken sich zwei Sinuswellen.

In diesem Beispiel war es eine sogenannte konstruktive Interferenz, weil die Amplitude der neuen Sinuswelle doppelt so groß geworden ist wie die Amplitude der ursprünglichen Wellen. Der resultierende Ton, den diese Schallwelle beschreibt, ist doppelt so laut!

Wann tritt konstruktive Interferenz auf?

Konstruktive Interferenz tritt immer auf, wenn ein Wellenberg der einen Welle auf den Wellenberg der anderen Welle trifft und sich die Wellen somit verstärken.

Gangunterschied zweier Sinuswellen

Ob zwei Wellen konstruktiv interferieren, hängt davon ab, wie die beiden Wellen relativ zueinander positioniert sind. Im obigen Beispiel lag die eine Welle genau "über der anderen" Welle. Wir sagen dazu auch: Die eine Welle eilt der anderen nicht vor und nicht nach.

Konstruktive Interferenz hast Du aber auch dann, wenn die eine Welle um \(\lambda\) nach rechts oder nach links verschiebst. In diesem Fall liegt ebenfalls ein Wellenberg über einem Wellenberg. Eine weitere Verschiebung um \(\lambda\), also um insgesamt \( 2\lambda\) ergibt wieder einen Fall, wo Wellenberge übereinander liegen und konstruktive Interferenz eintritt.

Konstruktive Interferenz tritt auch bei allen anderen ganzzahligen Verschiebung \( 3 \, \lambda \), \( 4 \, \lambda \) und so weiter. Aber auch bei negativen Verschiebungen um \( -1 \, \lambda \), \( -2 \, \lambda \), \( -3 \, \lambda \) und so weiter.

Dieser Wert der Verschiebung wird Gangunterschied \( \Delta s \) genannt.

Was gibt der Gangunterschied an?

Der Gangunterschied gibt an, um welchen Weg eine Welle gegenüber einer anderen Welle vorauseilt oder nacheilt.

Halten wir also allgemein fest: Damit konstruktive Interferenz zweier Wellen eintreten kann, muss der Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge sein:

Anker zu dieser Formel

Hierbei ist \(m\) eine Zahl, die negative und positive ganze Zahlen annehmen kann: \( m ~=~ ...-2,-1,0,1,2... \).

Destruktive Interferenz zweier Sinuswellen

Was ist aber, wenn die eine Sinuswelle der anderen Welle nicht um ein Vielfaches \( m \, \lambda \) , sondern um genau die Hälfte der Wellenlänge, also um \( \lambda/2 \) vorauseilt? Dann trifft jeder Wellenberg auf ein Wellental. Die Auslenkungen am Wellental und Wellenberg addieren sich stets an jedem Ort zu Null. An den Nullstellen addieren sich die Auslenkungen ebenfalls zu Null: 0 + 0 = 0. Und auch an jeder anderen Stelle addieren sich die Auslenkungen zu Null. Die beiden Wellen löschen sich komplett aus. In diesem Fall haben wir eine destruktive Interferenz. Sie tritt immer auf, wenn die eine Welle der anderen um \( \lambda/2 \) vorauseilt. Oder aber auch um \( \lambda/2 +1\lambda \). Oder \( \lambda/2 +2\lambda \), oder \( \lambda/2 +3\lambda \) und so weiter.

Destruktive Interferenz - Superposition zweier Sinuswellen
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Destruktive Interferenz: so löschen sich zwei Sinuswellen aus.
Bedingung für destruktive Interferenz zweier gleicher Wellen mit ausmultiplizierter Wellenlänge
Anker zu dieser Formel
Anker zu dieser Formel

Hierbei ist \( m \) wieder eine ganze Zahl mit den Werten: \( m ~=~ ...-2,-1,0,1,2... \)

Partielle Interferenz

Bis jetzt haben wir zwei Spezialfälle betrachtet: wo ein Wellenberg perfekt auf den anderen Wellenberg getroffen ist, also konstruktive Interferenz, und wo ein Wellenberg perfekt auf ein Wellental getroffen ist, also destruktive Interferenz. Das muss aber nicht immer so sein! Die Wellen könnten genauso gut nur teilweise (partiell) miteinander interferieren. Das würde bedeuten, dass der Wellenberg eben NICHT GENAU auf den anderen Wellenberg trifft… Aber diese Fälle sind eher unwichtig, da in Anwendungen meistens nur komplette Verstärkung oder komplette Auslöschung interessant ist.

Gangunterschied als Phasendifferenz schreiben

Manchmal wird der Gangunterschied \( \Delta s \) als Phasendifferenz \( \Delta \varphi \) angegeben. Was ist überhaupt eine Phase, fragst du dich?

Wir können unsere Sinuswellen mathematisch folgendermaßen ausdrücken:

Gleichungen für zwei Sinuswellen
Anker zu dieser Formel

Hierbei sind \(A_1\) und \(A_2\) ihre Amplituden, \(\omega\) ist die Kreisfrequenz und \(y_1(t)\) sowie \(y_2(t)\) geben die Auslenkung der Welle zum Zeitpunkt \(t\) an. Die Kreisfrequenz ist in diesem Fall bei beiden Sinuswellen gleich und sie enthält die Information über die Wellenlänge. Die Winkel \(\varphi_1\) der einen Welle und der Winkel \(\varphi_2 \) der anderen Welle gibt die Verschiebung der Welle nach links oder nach rechts an - gegenüber einer zuvor festgelegten Startposition. Dieser Winkel wird Phase der Welle genannt.

Die Phasendifferenz ist, wie der Name schon sagt, der Unterschied der beiden Winkel (Phasen):

Definition der Phasendifferenz
Anker zu dieser Formel

Jeder Gangunterschied \( \Delta s \) entspricht einer bestimmten Phasendifferenz \( \Delta \phi \). Die Phasendifferenz kannst Du entweder im Bogenmaß (von \( 0 \) bis \( 2\pi \)) oder im Gradmaß (von 0 bis 360°) angeben.

Die Phasendifferenz im Gradmaß kannst du folgendermaßen mithilfe des Gangunterschieds berechnen:

Phasendifferenz im Bogenmaß mittels Gangunterschied
Anker zu dieser Formel

Und den Gangunterschied in Phasendifferenz im Bogenmaß umrechnen, kannst du folgendermaßen:

Phasendifferenz im Gradmaß mittels Gangunterschied
Anker zu dieser Formel

Einen Ausdruck für den Gangunterschied bei konstruktiver (Gl. 3) und destruktiver Interferenz (Gl. 5) haben wir bereits hergeleitet. Du kannst sie jetzt einfach in die Gleichungen für Phasendifferenz im Grad- oder Bogenmaß einsetzen.

Phasendifferenz für destruktive Interferenz im Gradmaß, sieht beispielsweise so aus:

Formel: Phasendifferenz bei destruktiver Interferenz
Anker zu dieser Formel

Hierbei kürzt sich die Wellenlänge \(\lambda\) weg.

Beispiele für Phasendifferenzen
  • Gangunterschied \( \Delta s ~=~ 1\lambda \) entspricht der folgenden Phasendifferenz im Gradmaß:

    Beispielrechnung: Phasendifferenz von 360 Grad
    Anker zu dieser Formel

    Im Bogenmaß ausgedrückt: \( \Delta \varphi = 2 \pi \).

  • Gangunterschied \( \Delta s ~=~ \frac{\lambda}{2} \) entspricht der folgenden Phasendifferenz im Bogenmaß:

    Beispielrechnung für Phasendifferenz im Bogenaß
    Anker zu dieser Formel

    Im Gradmaß ausgedrückt: \( \Delta \varphi = 180^{\circ} \).