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Mengenfunktionen

Mengenfunktion \( \varphi \) - ist eine Funktion, die den Elementen eines Mengensystems eine reelle oder komplexe Zahl zuordnet.

(1) Sei \( X \) eine nicht-leere Menge.
(2) Sei \( \mathcal{M} \subseteq \mathcal{P}(X) \) ein Mengensystem mit \( \emptyset \in \mathcal{M} \) als Teilmenge der Potenzmenge von \( X \).

Dann ist \[ \varphi: \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{C} \] eine Mengenfunktion auf \( \mathcal{M} \). Je nach Notwendigkeit kann \( \mathbb{C} \) auf die erweiterte reelle Zahlen \( \bar{\mathbb{R}} \) oder auf positive reelle Zahlen \( \mathbb{R}_+ \) eingeschränkt werden.

Beispiel: Elemente-zählende Mengenfunktion

Sei das Mengensystem \( \mathcal{M} = \{ \emptyset,~ \{7\},~ \{42, 17, 0\} \} \). Dann kann die Mengenfunktion beispielsweise die Einträge der Elemente von \( \mathcal{M} \) zählen:\[ \varphi(\emptyset) ~=~ 0, ~~~ \varphi(\{7\}) ~=~ 1, ~~~ \varphi(\{42,~ 17,~ 0\}) ~=~ 3 \]

Additive Mengenfunktion

Seien \( M_1, M_2 \in \mathcal{M} \) disjunkt.

Eine Mengenfunktion \( \varphi \) heißt additiv, wenn gilt:2\[ \varphi(M_1 \cup M_2) ~=~ \varphi(M_1) ~+~ \varphi(M_2) \]

\(\sigma\)-additive Mengenfunktion

Seien \( M_j \in \mathcal{M} \) paarweise disjunkt mit \( j ~\in~ \{ 1,2,3...\} \).

Eine Mengenfunktion \( \varphi \) heißt \( \sigma \)-additiv, wenn gilt:3\[ \varphi\left( \bigcup_{j=1}^{\infty} M_j \right) ~=~ \sum_{j=1}^{\infty} \varphi\left( M_j \right) \]

5 Eigenschaften additiver Mengenfunktionen auf einem Ring

Sei \( \varphi: \mathcal{R} ~\rightarrow~ \bar{\mathbb{R}} \) eine additive Mengenfunktion auf einem Ring \( \mathcal{R} \). Und seien \( M_j ~\in~ \mathcal{R} \) mit \( j ~\in~ \{ 1,2,3...n \} \). Dann hat die Mengenfunktion folgende Eigenschaften:

  1. \( \varphi\left(\varnothing\right) ~=~ 0 \)
  2. \[ \varphi\left( \bigcup_{j=1}^n M_j \right) ~=~ \sum_{j=1}^n \varphi\left( M_j \right) \] mit paarweise disjunkten Mengen \( M_j \).
  3. \[ \varphi\left( M_1 ~\cup~ M_2 \right) ~+~ \varphi\left( M_1 ~\cap~ M_2 \right) ~=~ \varphi\left( M_1 \right) ~+~ \varphi\left( M_2 \right) \]
  4. (Monotonie) Mit \( M_1 ~\subseteq~ M_2 \) und \( \varphi\left( M_2 \right) ~\geq~ 0 \) gilt: \[ \varphi\left( M_1 \right) ~\leq~ \varphi\left( M_2 \right) \]
  5. (Subtraktivität) Mit \( M_1 ~\subseteq~ M_2 \) und \( M_2 \setminus M_1 ~\in~ \mathcal{R} \) gilt: \[ \varphi\left( M_2 \setminus M_1 \right) ~=~ \varphi\left( M_2 \right) ~-~ \varphi\left( M_1 \right) \] Um nicht definierte Differenz "\( \infty ~-~ \infty \)" zu vermeiden, wird außerdem \( \varphi\left( M_1 \right) ~\lt~ \infty \) vorausgesetzt.
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