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Kirchhoff-Regeln: Knotenregel + Maschenregel

Kirchoff-Regeln - sind zwei Rechenregeln (Knotenregel und Maschenregel) für Strom und Spannung in einem elektrischen Stromkreis.

1. Kirchoffsche Regel - Knotenregel

Aus einem Knoten kann nicht mehr Strom herausfließen, als dort hineinfließt. Der hineinfließende elektrische Strom \( I_{\text{IN}} \) ist gleich dem herausfließenden Strom \( I_{\text{OUT}} \):1\[ I_{\text{IN}} ~=~ I_{\text{OUT}} \]

Ein Knoten ist ein Punkt (oder sogar ein ganzes Netzwerk) in einer Schaltung, in den elektrische Ströme hinein- und hinausfließen.

Knotenregel veranschaulicht: zwei Ströme, die in einen Netzwerk-Knoten hineingehen und 3 Ströme, die aus dem Knoten herausgehen. Die Ladung bleibt erhalten!

Wenn beispielsweise die Ströme \( I_1 \) und \( I_2 \) durch eine Leitung in einen Knotenpunkt hineinfließen und die Ströme \( I_3 \), \( I_4 \) und \( I_5 \) aus diesem Knotenpunkt herausfließen, dann folgt nach der Knotenregel 1, dass der gesamte hineinfließende Strom \( I_{\text{IN}} = I_1 + I_2 \) genauso groß sein muss wie der gesamte herausfließende Strom \( I_{\text{OUT}} = I_3 + I_4 + I_5 \):2\[ I_1 ~+~ I_2 ~=~ I_3 ~+~ I_4 ~+~ I_5 \]

Die Knotenregel kann auch etwas "praxisnäher" formuliert werden (an der Aussage ändert sich aber nichts). Bringe dazu einfach die herausfließenden Ströme in 2 auf die linke Seite der Gleichung:3\[ I_1 ~+~ I_2 ~-~ I_3 ~-~ I_4 ~-~ I_5 ~=~ 0 \]und schreib 3 so um, als würdest Du vorzeichenbehaftete Ströme addieren ("+" MAL "-" ist immernoch "-"):4\[ I_1 ~+~ I_2 ~+~ (-I_3) ~+~ (-I_4) ~+~ (-I_5) ~=~ 0 \]

Der Vorteil der Schreibweise wie in 4 ist: Du kannst die Gleichung für die Knotenregel 1 nun mit einem Summenzeichen kompakter und allgemeiner aufschreiben:

Formel: Knotenregel 5 \[ \underset{j}{\boxed{+}} \, I_j ~=~ 0 \] Es gibt bei \(n\) Knoten \((n-1)\) linear unabhängige Gleichungen für Knotenpunkte.

Der Summationsindex \( j \) kann nicht nur von 1 bis 5 gehen, wie in dem obigen Beispiel, sondern kann auch bis 10 oder 20 oder 1000 gehen, je nach dem, wieviele Ströme in einen Knoten hinein- und herausgehen.

Um die Knotenregel anwenden zu können, muss die Richtung der elektrischen Ströme bekannt sein, sonst weißt Du gar nicht, ob der jeweilige Strom in einen Knoten hineingeht oder herausgeht! Die Summe in 5 würde dann niemals NULL ergeben, wenn Du nur positive Strombeiträge summierst.

Beispiel: Strom mit Knotenregel berechnen

Gegeben sind die in einen Knoten hineingehenden Ströme \( I_1 = 1 \, \text{A} \) und \( I_2 = 5 \, \text{A} \). Aus dem Knoten gehen drei andere Ströme raus: \( I_3 = -1 \, \text{A} \), \( I_4 = -2 \, \text{A} \) und \( I_5 \). Der Strom \( I_5 \) ist Dir blöderweise nicht bekannt, also wendest Du die Knotenregel an:\[ I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + I_5 ~=~ 1 \, \text{A} + 5 \, \text{A} - 1 \, \text{A} - 2 \, \text{A} + I_5 ~\overset{!}{=}~ 0 \]

Durch Umstellen der Gleichung findest Du den unbekannten Strom heraus: \( I_5 = -3 \, \text{A} \).

Aber Achtung! Natürlich wird diese Regel nicht funktionieren, wenn durch irgendein Mechanismus im Knoten (z.B. ein schwarzes Loch, ein Kondensator, ein Leck oder sonst irgendetwas) der Strom verschwindet oder stecken bleibt. Dann fehlt ja bei \( I_{\text{OUT}} \) ein Teil des hineingeflossenen Stroms \( I_{\text{IN}} \). Die StromERHALTUNG, die durch die Knotenregel vorausgesetzt wird, ist dann dementsprechend nicht mehr gegeben.

2. Kirchoffsche Regel - Maschenregel

Maschenregel veranschaulicht - hier wurden beispielshaft drei Maschen A, B und C eingezeichnet. Es gibt natürlich noch mehr!

Die Maschenregel funktioniert ähnlich wie die Knotenregel, nur, dass Du in diesem Fall Spannungen statt Ströme addierst und nicht einen Knotenpunkt betrachtest, sondern eine bestimmte Leiterschleife (Masche) in Deinem Netzwerk.

Die 2. Kirchoffsche Regel besagt: Alle elektrischen Spannungen in einem Teilnetzwerk (oder ganzen Netzwerk) addieren sich bei Durchlaufen einer Leiterschleife (Masche) zu Null!

Formel: Maschenregel6\[ \underset{j}{\boxed{+}} \, U_j ~=~ U_1 + U_2 + U_3 +~ ... ~=~ 0 \]

Betrachte beispielsweise eine Wheatstonesche Messbrücke, mit der Du einen Dir unbekannten Widerstand bestimmen kannst. Dort gibt es drei nützliche Maschen. Masche A im Bild enthält die Quellspannung \( U_0 \) und die anderen Spannungen \( U_1 \), \( U_3 \) an den Widerständen \( R_1 \) und \( R_3 \). Mithilfe der vorgegebenen Richtung der Quellspannung (durch ein Pfeil gekennzeichnet) gehst Du die Masche durch, summierst alle Teilspannungen auf und setzt die Summe gleich Null (wegen der Maschenregel 6). In der betrachteten Masche sind es \( U_1 \), \( U_3 \) und \( U_0 \):9\[ U_0 ~+~ U_1 ~+~ U_3 ~=~ 0 \]

Das Coole ist: Wenn Du beispielsweise \( U_0 \) und \( U_3 \) kennst, kannst Du mithilfe der Maschenregel sofort \( U_1 \) berechnen, indem Du die Gleichung 9 nach der gesuchten Spannung umstellst. Auch der Strom oder Widerstände sind damit bestimmbar (unter Zuhilfenahme des Ohmschen Gesetzes).

Ein kleiner Tipp Wenn Du in einer Schaltung etwas wie Spannung oder Strom berechnen musst und in der Schaltung Richtungspfeile für Strom bzw. Spannung eingezeichnet sind, dann ist das ein deutliches Zeichen dafür, dass Du Knotenregel und / oder Maschenregel anwenden musst, um das Problem zu lösen.

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