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Fermi-Energie: Die maximale Energie eines Elektrons

Banddiagramm: Metall, Halbleiter, Isolator
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Betrachte einen quadratischen Potentialkasten mit den Abmessungen \( L_{\text x} \), \( L_{\text y} \) und \( L_{\text z} \). Sein Volumen beträgt also \( V ~=~ L_{\text x} \, L_{\text y} \, L_{\text z} \). Dieses Potential soll im Inneren Null sein, damit die Elektronen, die wir in den Potentialkasten reinwerfen, keine potentielle, sondern ausschließlich kinetische Energie aufweisen.

Fermi-Energie für Metall, Halbleiter und Isolator skizziert.

Fülle nun diesen Kasten mit \( N \) Elektronen (Fermionen) auf, die keine thermische Energie haben (\( T ~\approx~ 0 \, \text{K} \)). Dabei nehmen wir als Vereinfachung an, dass sie nicht miteinander wechselwirken. Die diskreten Energien im Potentialtopf, werden von den Elektronen (angefangen bei der niedrigsten Energie) angenommen, bis alle \( N \) Elektronen im Potentialtopf sind. Dabei können wegen des Pauli-Prinzips nicht beliebig viele Elektronen den gleichen Zustand einnehmen. Deshalb müssen weitere Elektronen, die in den Potentialkasten reingeworfen werden, auf höherliegende Energiezustände ausweichen. Die höchste all dieser Energien ist die Fermi-Energie. Sie ist also gerade die Grenze zwischen den besetzten (\( W \leq W_{\text F}\)) und unbesetzten (\( W \gt W_{\text F}\)) Zuständen. Je höher die Zahl der Elektronen in einem System (bzw. Elektronendichte), desto größer ist die Fermi-Energie.

Im reziproken Raum (k-Raum) ist die Energie (bei T = 0K) auf einer Kugeloberfläche konstant. Es gibt also eine sogenannte Fermi-Kugel im reziproken Raum, die alle besetzten Zustände einschließt. Sie hat den Radius, der dem Fermi-Wellenvektor \( k_{\text F} \) entspricht.

Jeder Zustand im dreidimensionalen reziproken Raum nimmt folgendes Volumen ein:1\[ V_{\text k} ~=~ \frac{(2\pi)^3}{L_{\text x} \, L_{\text y} \, L_{\text z}} ~=~ \frac{8\pi^3}{V} \]

Das Volumen der Fermi-Kugel ist gegeben durch:2\[ V_{\text F} ~=~ \frac{4}{3} \pi \, k_{\text F}^3 \]

Die Fermi-Kugel enthält ja alle besetzten Zustände, mit jeweils zwei Elektronen (spin up und spin down). Um also die Anzahl der Elektronen \( N \) im Potentialtopf herauszufinden, musst Du schauen, wie oft das Volumen eines Zustands in das Volumen der Fermi-Kugel hineinpasst (Faktor 2 kommt wegen der Spinentartung):3\[ N ~=~ 2* \frac{V_{\text F}}{V_{\text k}} ~=~ \frac{V}{3 \pi^2} \, k_{\text F}^3 \]

Da Du das Volumen \( V \) des Festkörpers und die Elektronenanzahl 3 kennst, kannst Du daraus die Elektronendichte berechnen:4\[ n ~=~ \frac{N}{V} ~=~ \frac{1}{3 \pi^2} \, k_{\text F}^3 \]

Mit der Teilchendichte 4 kannst Du beispielsweise den Fermi-Wellenvektor angeben, in dem Du 4 nach \( k_{\text F} \) umstellst:

Fermi-Wellenvektor5\[ k_{\text F} ~=~ (3\pi^2 \, n)^{1/3} \]Typische Größenordnung: \(10^{10} \, \frac{1}{\text{m}} \)

Mithilfe des Fermi-Wellenvektors 5 kannst Du weitere physikalische Fermi-Größen angeben:

Fermi-Energie eines freien Elektronengases6\[ W_{\text F} ~=~ \frac{\hbar^2}{2m} \, k_{\text F}^2 ~=~ \frac{\hbar^2}{2m} \, (3\pi^2 \, n)^{2/3} \]Typische Größenordnung: \( 4 \, \text{eV} \)
Fermi-Temperatur7\[ T_{\text F} ~=~ \frac{W_{\text F}}{k_{\text B}} \]wobei \( k_{\text B} \) die Boltzmann-Konstante ist. Typische Größenordnung: \( 50 \, 000 \, \text{K} \)
Fermi-Geschwindigkeit8\[ v_{\text F} ~=~ \frac{\hbar \, k_{\text F}}{m} \]Typische Größenordnung: \( 10^6 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \)
Fermi-Wellenlänge9\[ \lambda_{\text F} ~=~ \frac{2\pi}{k_{\text F}} \]Typische Größenordnung: \(10^{-10} \, \text{m} \) (Atomabstände sind auch in dieser Größenordnung)

Wie Du an all diesen Größen siehst, sind sie nur von der Elektronendichte abhängig!

Beispiel: Fermi-Energie eines einfachen Systems

Unendlich hoher eindimensionaler Potentialtopf, der mit \( N \) Elektronen aufgefüllt ist, hat folgende Fermi-Energie:10\[ W_{\text F} ~=~ \frac{\hbar^2}{2m} \, \left( \frac{N \, \pi}{2a} \right)^2 \]

Wie kommt man drauf? 1 bekommst Du durch Einsetzen der \( \frac{N}{2} \) Elektronen (\(\frac{1}{2}\) kommt wegen der Spinentartung) in die Formel für Energie-Niveaus des unendlich hohen eindimensionalen Potentialtopfs11\[ W_n ~=~ \frac{\hbar^2}{2m} \, \left(\frac{n \, \pi}{a}\right)^2 \]welche durch Lösen der Schrödinger-Gleichung bestimmt wurde.