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Effektive Masse der Ladungsträger - im Kristallgitter

Bandkrümmung und effektive Masse
Level 4 (für sehr fortgeschrittene Studenten)
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Wozu braucht man effektive Masse?
Mithilfe der effektiven Masse kann ein Bandelektron als ein freies Elektron beschrieben werden, wobei die Wechselwirkung des Bandelektrons mit dem gitterperiodischen Potential in die k-abhängige effektive Masse überführt wird.

Effektive Masse (richtungsabhängig) - im Kristallgitter1\[ \left(\frac{1}{m^*}\right)_{ij} ~=~ \frac{1}{\hbar^2} \, \frac{\partial^2 W(k) }{\partial k_i \, \partial k_j} \]mit \( i,j \in \{ x,y,z \} \).
Größe und Vorzeichen der effektiven Masse hängt von der Bandkrümmung ab.

An der Formel 1 für die effektive Masse kannst du folgende Erkenntnisse gewinnen:

  • Die effektive Masse ist im Allgemeinen richtungsabhängig.
  • Je kleiner die Bandkrümmung \( \frac{\partial^2 W(k) }{\partial k_i \, \partial k_j} \), desto größer die effektive Masse.
  • Je größer die Bandkrümmung \( \frac{\partial^2 W(k) }{\partial k_i \, \partial k_j} \), desto kleiner die effektive Masse.
  • Wenn die Bandkrümmung positiv ist \( \frac{\partial^2 W(k) }{\partial k_i \, \partial k_j} \gt 0 \), dann ist die effektive Masse ebenfalls positiv. Der elektrische Transport wird in diesem Bereich durch Elektronen bestimmt.
  • Wenn die Bandkrümmung negativ ist \( \frac{\partial^2 W(k) }{\partial k_i \, \partial k_j} \lt 0 \), dann ist die effektive Masse ebenfalls negativ. Der elektrische Transport wird in diesem Bereich durch Löcher bestimmt.

Falls die effektiven Massen in jede Richtung gleich sind, dann vereinfacht sich die Formel 1 zu:

Effektive Masse (richtungsunabhängig) - im Kristallgitter2\[ m^* ~=~ \hbar^2 \, \left( \frac{\partial^2 W(k) }{\partial k^2} \right)^{-1} \]

Beispielsweise an der Ober- bzw. Unterkante eines Bands (in der Umgebung von Maxima und Minima) sind die effektiven Massen gleich, was die Nutzung der Formel 2 ermöglicht. Die Maxima und Minima des Bandverlaufs können harmonisch angenähert werden (isotroper, parabolischer Verlauf):3\[ W(k) ~=~ W_0 ~\pm~ \frac{\hbar^2}{2 m^*} \, \left( k_{\text x}^2 +k_{\text y}^2 + k_{\text z}^2 \right) \]

Im Falle einer parabolischen Dispersion 3 ist das Konzept der effektiven Masse insbesondere sinnvoll, weil die effektive Masse nämlich an diesen Stellen konstant ist.

Wenn sich der Ladungsträger aus der Ober- bzw. Unterkante wegbewegt, dann kann der Bandverlauf nicht mehr wie in 3 angenommen werden, was dazu führt, dass die effektive Masse abhängig vom Wellenvektor \( \boldsymbol{k} \) wird.