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Heisenberg-Gleichung: Quantenmechanik im Heisenberg-Bild

Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Heisenberg-Gleichung\[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \textbf{A} ~=~ \frac{\textbf{i}}{\hbar}\left[\textbf{H}, \textbf{A} \right] ~+~ \frac{\partial \textbf{A}}{\partial t} \]

Heisenberg-Bild ist neben dem Schrödinger-Bild und Wechselwirkungsbild (Dirac-Bild) eine der üblichen Repräsentationen der zeitlichen Entwicklung eines quantenmechanischen Zustands. Der Wechsel von der Schrödinger-Gleichung zur Heisenberg-Gleichung passiert durch eine unitäre Transformation.

Was ist eine unitäre Transformation?

Die unitäre Transformation wird durch Anwendung eines unitären Operators \( \textbf{U} \) auf einen Zustand durchgeführt. Dabei bleibt das Skalarprodukt (und damit auch die Norm) erhalten:\[ \langle \textbf{U} \,x, ~ \textbf{U}\,y\rangle ~=~ \langle x, ~ y\rangle \]

Mit \( x,y \in \mathcal{H} \). Außerdem, wenn ein Operator \( \textbf{U} \) unitär ist, dann gilt: \[ \textbf{U} \, \textbf{U}^{\dagger} ~=~ \textbf{U}^{\dagger} \, \textbf{U} ~=~ \textbf{I} \]hierbei ist \( \textbf{I} \) die Identitätsmatrix und \( \textbf{U}^{\dagger} \) die Adjungierte von \( \textbf{U} \).

Eine unitäre Transformation kannst Du Dir als eine Art Rotation eines Zustands im Hilbert-Raum vorstellen, ohne, dass dabei seine Norm verändert wird. Durch die Transformation einer Basis im Hilbert-Raum, kannst Du beispielsweise vom Schrödinger-Bild zum Heisenberg-Bild wechseln.

Beispiel: unitäre Matrix

Die folgende Matrix ist unitär:\[ \textbf{U} ~=~ \begin{pmatrix}0 & \bf{i} \\\bf{i} & 0 \end{pmatrix} \]Warum? Weil:\[ \textbf{U} \, \textbf{U}^{\dagger} ~=~ \begin{pmatrix}0 & \bf{i} \\ \bf{i} & 0 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix}0 & -\bf{i} \\-\bf{i} & 0 \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} \]

Was zeichnet das Heisenberg-Bild aus?

Beim Schrödinger-Bild sind die Zustände \( \Psi_{\text S}(\boldsymbol{r},t) \) zeitabhängig, während die Operatoren \( \textbf{A}_{\text S} \) zeitunabhängig sind. Beim Heisenberg-Bild ist es genau andersherum: Die Zustände \( \Psi_{\text H}(\boldsymbol{r}) \) sind zeitunabhängig und die Operatoren \( \textbf{A}_{\text H}(t) \) sind zeitabhängig. (Die Indizes "S" und "H" sollen andeuten, ob der Zustand bzw. der Operator im Schrödinger oder Heisenberg-Bild betrachtet wird).

Unter der Annahme, dass ein Operator \( \textbf{A}_{\text S} \) im Schrödinger-Bild zeitunabhängig ist, kannst Du diesen Operator im Heisenberg-Bild \( \textbf{A}_{\text H} \) folgendermaßen darstellen:\[ \textbf{A}_{\text H} ~=~ e^{\textbf{i}\frac{\textbf H}{\hbar}t} \, \textbf{A}_{\text S} \, e^{\textbf{-i}\frac{\textbf H}{\hbar}t} \]

Die Zeitabhängigkeit im \( \textbf{A}_{\text H} \) steckt also in den unitären Operatoren links und rechts von \( \textbf{A}_{\text S} \). Beachte auch, dass dieser Operator ein Matrixexponential ist - im Exponenten steckt der Energie-Operator \( \textbf{H} \), welches KEINE gewöhnliche Zahl ist.

Die zeitunabhängigen Heisenberg-Zustände \( \Psi_{\text H}(\boldsymbol{r}) \) können ganz einfach aus dem Grundzustand \( \Psi_{\text S}(\boldsymbol{r}, 0) \) im Schrödinger-Bild gewonnen werden:\[ \Psi_{\text H}(\boldsymbol{r}) ~=~ \Psi_{\text S}(\boldsymbol{r}, 0) \]