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Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Landau-Niveaus: Quantisierung der Zyklotronbahnen

Landau-Niveaus - sind diskrete Energieniveaus, die aus der Quantisierung der Zyklotronbahn eines geladenen Teilchens im Magnetfeld resultieren.

Stell Dir ein geladenes Teilchen, welches sich senkrecht zum homogenen Magnetfeld \( \boldsymbol{B} = (0,0,B_ {\text z}) \) mit der Geschwindigkeit \( \boldsymbol{v} = (v_ {\text x},0,0) \) bewegt. Wegen der magnetischen Kraft (Lorentzkraft):1\[ \boldsymbol{F}_{\text M} ~=~ q\, \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \]wird das Teilchen auf eine Kreisbahn abgelenkt. Diese Kreisbahn befindet sich - nach dieser Anordnung - in der x-y-Ebene, die senkrecht zum Magnetfeld \( \boldsymbol{B} \) ist.

Landau-Niveaus von einem geladenen (spinlosen) Teilchen im Magnetfeld.

Erhöhst Du nun das Magnetfeld, so wird nach der klassischen Gleichung (Zentripetalkraft = Lorentzkraft) die Kreisbahn kleiner (d.h. Kreisbahnradius wird kleiner)! Wegen der Landau-Quantisierung der Kreisbahn aber, kann das Teilchen jedoch NICHT beliebige Kreisbahnen durchfliegen, sondern nur diejenigen, bei denen es genau die Landau-Energie \( E_n \) hat:

Landau-Energieniveaus2\[ E_n ~=~ \hbar \, \frac{e \, B}{m} \left( n ~+~ \frac{1}{2} \right) \]

Hierbei bezeichnet man \( \omega_{\text c} = \frac{e \, B}{m} \) als Zyklotronfrequenz. Diese sagt aus, wie schnell as Teilchen die Kreisbahn durchläuft.

In z-Richtung (Richtung des Magnetfelds) kann sich das Teilchen frei bewegen. Die Energie ist in z-Richtung nicht quantisiert:3\[ E_{\text z} ~=~ \frac{p_{\text z}}{2m} \]wobei \( p_{\text z} \) der nicht-quantisierte Impuls in z-Richtung ist, d.h. \( p_{\text z} \) und somit auch die Energie des Teilchens kann beliebige Werte annehmen.

Die Gesamtenergie eines (spinlosen) Teilchens ist also die Summe aus 2 und 3:

4\[ E_{n}(p_{\text z}) ~=~ \hbar \, \omega_{\text c} \left( n + \frac{1}{2} \right) ~+~ \frac{p_{\text z}}{2m} \]
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