Zustandsdichte (1d, 2d, 3d): Anzahl der Zustände pro Energie

Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Inhalt der Lektion

Zustandsdichte (2d) Hier lernst du, wie die zweidimensionale Zustandsdichte hergeleitet wird und wie die 2d-Dispersionsrelation eines freien Elektronengases aussieht.
Zustandsdichte (3d) Hier lernst du, wie die dreidimensionale Zustandsdichte hergeleitet wird und wie die 3d-Dispersionsrelation eines freien Elektronengases aussieht.
Zustandsdichte (1d) Hier lernst du, wie die eindimensionale Zustandsdichte hergeleitet wird und wie die 1d-Dispersionsrelation eines freien Elektronengases aussieht.

Mathematisch formuliert, ist die Zustandsdichte $ D(W) $ die Ableitung der Anzahl der Zustände $ N $ nach der Energie $W$:

$$ \begin{align} D(W) ~=~ \frac{\text{d}N}{\text{d}W} \end{align} $$

Manchmal wird auch die Zustandsdichte pro Volumen $ V $ des betrachteten Kristalls angeben:

$$ \begin{align} g(W) ~=~ \frac{1}{V} \, \frac{\text{d}N}{\text{d}W} \end{align} $$

Im Folgenden wirst Du lernen, wie man die Zustandsdichte eines freien Elektronengases in einem zweidimensionalen, dreidimensionalen und eindimensionalen Kristall herausfinden kann.

Zustandsdichte (2d)

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Illustration : Erlaubte Zustände der freien Elektronen im Kristall - reziproker Raum (2d)

Die kleinste reziproke Fläche $ \mathcal{A}_1 $ (im k-Raum), die von einem einzigen Zustand eingenommen wird, ist:

$$ \begin{align} \mathcal{A}_1 ~=~ \frac{(2\pi)^2}{A} \end{align} $$

Hierbei ist $ A $ die Fläche eines realen zweidimensionalen Kristallgitters.

Reziproke Fläche, welche von $ N $ Zuständen eingenommen wird, ist $N$ multipliziert mit der Gl. 3. Doch dadurch würdest Du nichts gewinnen, weil Du in den meisten Fällen die genaue Anzahl $ N $ an Zuständen nicht kennst. Da die Zustände aber sehr dicht beieinander liegen (siehe die Abmessung der 1. Brillouin-Zone), kannst Du die von $ N $ Zuständen eingenommene reziproke Fläche durch einen Kreis annähern, wobei die Kreislinie die Linie konstanter Energie ist. Warum? Weil der Abstand zu allen k-Werten auf der Kreislinie durch den immer gleichen Kreisradius $ k $ gegeben ist. Wie sich die Fläche eines Kreises mit Radius $k$ berechnet, steht in jeder Formelsammlung:

$$ \begin{align} \mathcal{A}_N ~=~ \pi \, k^2 \end{align} $$

Um die Anzahl $ N $ der Zustände herauszufinden, musst Du schauen, wie oft $ \mathcal{A}_1 $ in $ \mathcal{A}_N $ hineinpasst. Teile also Gl. 4 durch Gl. 3:

$$ \begin{align} N^{\small 2\text d} &~=~ \frac{ \mathcal{A}_N }{ \mathcal{A}_1 } \\\\
&~=~ \pi \, k^2 ~\cdot~ \frac{ A }{ (2\pi)^2 } \\\\
&~=~ \frac{A}{4\pi} \, k^2 \end{align} $$

Da die Elektronen noch einen Spin haben, passen in $ \mathcal{A}_1 $ zwei Zustände, nämlich spin-up und spin-down. In Gl. 5 hast Du also nur die Hälfte der Zustände bekommen (z.B. nur spin-up Zustände). Multipliziere also Gl. 5 mit 2, um auch die andere Hälfte der Spinzustände zu berücksichtigen:

$$ \begin{align} N^{\small 2\text d} &~=~ 2 \cdot \frac{ \mathcal{A}_N }{ \mathcal{A}_1 } \\\\
&~=~ \frac{A}{2\pi} \, k^2 \end{align} $$

Blöderweise ist $ N^{\small 2\text d} $ in Gl. 6 nicht mit der Energie, sondern mit $ k $ ausgedrückt. Um die Zustandsdichte $ D(W) $ in 1 also konkret ausrechnen zu können, musst Du die Beziehung zwischen der Energie $ W $ und der Wellenzahl $ k $ kennen. Diese Beziehung ist durch die Dispersionsrelation $ W(k) $ gegeben. Je nach System kann sie linear in $ k $, quadratisch in $ k $ oder eine komplizierte Form haben, die im Experiment bestimmt werden kann. Wir schauen uns hier die quadratische Dispersionsrelation eines freien Elektronengases an.

Für ein freies Elektronengas gilt die quadratische Dispersionsrelation:

$$ \begin{align} W(k) ~=~ \frac{\hbar^2}{2m} \, k^2 \end{align} $$

Hierbei ist $ m $ die Masse des Elektrons (in der Praxis die effektive Masse $ m^* $) und $ \hbar $ das reduzierte Wirkungsquantum. Wellenzahl $ k $ ist der Betrag des Wellenvektors $ \boldsymbol{k} $.

Die Zustandsdichte $ D(W)$ ausgedrückt in Abhängigkeit mit der Energie, ist die Ableitung der Zustandszahl nach der Energie. Zur Zeit ist die Zustandsanzahl $ N^{\small 2\text d}(k) $ in 6 aber in Abhängigkeit von der Wellenzahl gegeben und nicht in Abhängigkeit von der Energie $N^{\small 2\text d}(W)$. Du musst also $ k $ mit $ W $ in 6 substituieren. Stelle dazu die Dispersionsrelation 7 nach $ k $ um:

$$ \begin{align} k ~=~ \left( \frac{2m \, W}{\hbar^2} \right)^{1/2} \end{align} $$

Wir können nun die Wellenzahl einer quadratischen Dispersionsrelation, die durch Gl. 8 gegeben ist, in Gl. 6 einsetzen:

$$ \begin{align} N^{\small 2\text d} ~=~ \frac{A}{2\pi} \, \frac{2m \, W}{\hbar^2} \end{align} $$

Differenziere die Zustandsanzahl 9 nach der Energie, um die Zustandsdichte $ D^{\small 2\text d}(W) $ eines zweidimensionalen freien Elektronengases zu bekommen:

Zustandsdichte (2d) - quadratische Dispersionsrelation

$$ \begin{align} D^{\small 2\text d}(W) ~=~ \frac{A \, m}{\pi \, \hbar^2} ~=~ \text{const.} \end{align} $$

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Illustration : Zustandsdichte für ein freies Elektronengas (quadratische Dispersionsrelation) in zwei Dimensionen.

Zustandsdichte (3d)

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Illustration : Fermi-Kugel im reziproken Raum mit beispielhaft eingezeichnetem Fermi-Wellenvektor als Radius der Fermi-Kugel.

Das kleinste reziproke Volumen $ \mathcal{V}_1 $, welches von einem einzigen Zustand eingenommen wird, ist:

$$ \begin{align} \mathcal{V}_1 ~=~ \frac{(2\pi)^3}{V} \end{align} $$

Das reziproke Volumen einer Kugel (hier wird ebenfalls die Näherung gemacht), welches von $ N $ Zuständen eingenommen wird, ist:

$$ \begin{align} \mathcal{V}_N ~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, k^3 \end{align} $$

Mit der Wellenzahl $ k $ als Radius der Kugel. Hierbei ist $ V $ das Volumen des realen Kristallgitters.

Die Anzahl der Zustände ergibt sich analog zum zweidimensionalen Fall:

$$ \begin{align} N^{\small 3\text d} &~=~ \frac{\mathcal{V}_N}{\mathcal{V}_1} \\\\
&~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, k^3 ~\cdot~ \frac{V}{(2\pi)^3} \\\\
&~=~ \frac{V}{6\pi^2} \, k^3 \end{align} $$

Berücksichtigen wir außerden den Spin des Elektrons, indem wir Gl. 13 mit 2 multiplizieren:

$$ \begin{align} N^{\small 3\text d} ~=~ \frac{V}{3\pi^2} \, k^3 \end{align} $$

Nun kannst Du Wellenzahl 8 aus der quadratischen Dispersionsrelation in Gl. 14 einsetzen:

$$ \begin{align} N^{\small 3\text d} &~=~ \frac{V}{3\pi^2} \, \left( \frac{2m \, W}{\hbar^2} \right)^{3/2} \\\\
&~=~ \frac{V}{3\pi^2} \, \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \, W^{3/2} \end{align} $$

Um die Zustandsdichte zu bestimmen, differenziere die Zustandsanzahl 14 nach der Energie $W$:

Zustandsdichte (3d) - quadratische Dispersionsrelation

$$ \begin{align} D(W) ~=~ \frac{V}{2\pi^2} \, \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \, \sqrt{W} \end{align} $$

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Illustration : Zustandsdichte für ein freies Elektronengas (quadratische Dispersionsrelation) in drei Dimensionen.

Manchmal interessiert Dich die Zustandsdichte $ D(W) $ pro Volumen. Wenn das so ist, dann teile dazu 16 durch das Volumen $ V $, um die Zustandsdichte $ g(W) $ (nun: Anzahl der Zustände pro Energie UND pro Volumen) zu erhalten:

$$ \begin{align} g(W) ~=~ \frac{1}{2\pi^2} \, \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \, \sqrt{W} \end{align} $$

Zustandsdichte (1d)

Ein einziger Zustand besetzt folgende reziproke Länge $ \mathcal{L}_1 $:

$$ \begin{align} \mathcal{L}_1 ~=~ \frac{2\pi}{L} \end{align} $$

Dabei ist $ L $ die Länge eines eindimensionalen Systems (z.B. von einem Quantendraht), indem sich ein freies Elektronengas befindet.

In eindimensionalen Systemen nehmen $ N^{\small 1\text d} $ Zustände die folgende reziproke Länge ein:

$$ \begin{align} \mathcal{L}_N ~=~ 2k \end{align} $$

Warum genau $ 2k $? Weil $ k $ der Radius ist. Die ganze Länge ist ja der Durchmesser, also $ 2k$! Zeichnet dazu einen Kreis mit dem Radius $ k $. Wie groß ist dann die Länge von einem Weg, der durch den Kreismittelpunkt geht?!

Teile 19 durch 17, um die Anzahl der Zustände, die auf den Längenabschnitt $ \mathcal{L}_N $ passen:

$$ \begin{align} N^{\small 1\text d} &~=~ 2k \cdot \frac{L}{2\pi} \\\\
&~=~ \frac{k \, L}{\pi} \end{align} $$

Setze die nach der Energie umgestellte Wellenzahl 8 der quadratischen Dispersionsrelation, mit Berücksichtigung des Spins (d.h. mit 2 multiplizieren) in 20 ein:

$$ \begin{align} N^{\small 1\text d} &~=~ \frac{2L}{\pi} \, \left(\frac{2m \, W}{\hbar^2}\right)^{1/2} \\\\
&~=~ \frac{2L}{\pi} \, \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{1/2} \, W^{1/2} \end{align} $$

Leite 21 nach der Energie ab, um die Zustandsdichte $ D^{\small 1\text d}(E) $ zu bekommen:

Zustandsdichte (1D) - quadratische Dispersionsrelation

$$ \begin{align} D^{\small 1\text d}(W) ~=~ \frac{L}{\pi} \, \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{1/2} \, \frac{1}{\sqrt{W}} \end{align} $$

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Illustration : Zustandsdichte für ein freies Elektronengas (quadratische Dispersionsrelation) in einer Dimensionen.

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