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Zustandsdichte (1d, 2d, 3d): Anzahl der Zustände pro Energie

Zustandsdichte \( D(E)\) - ist die Anzahl der Zustände pro Energieintervall (und manchmal auch zusätzlich pro Volumen).
Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Mathematisch formuliert, ist die Zustandsdichte die Ableitung der Anzahl der Zustände \( N \) nach der Energie \(E\):1\[ D(E) ~=~ \frac{\text{d}N}{\text{d}E} \]und je nach Bedarf mit Volumen:2\[ g(E) ~=~ \frac{1}{V} \, \frac{\text{d}N}{\text{d}E} \]

Im Folgenden wirst Du lernen, wie man die Zustandsdichte eines freien Elektronengases in einem zweidimensionalen, dreidimensionalen und eindimensionalen Kristall herausfinden kann.

Zustandsdichte (2d)

Erlaubte Zustände der freien Elektronen im Kristall - reziproker Raum (2d)

Die kleinste reziproke Fläche (im k-Raum), die von einem einzigen Zustand eingenommen wird, ist:3\[ \mathcal{A}_1 ~=~ \frac{(2\pi)^2}{A} \]hierbei ist \( A \) die Fläche des realen zweidimensionalen Gitters.

Reziproke Fläche, welche dagegen von \( N \) Zuständen eingenommen wird, ist zwar N mal Gl. 3, doch dadurch würdest Du nichts gewinnen, weil Du z.B. die genaue Anzahl an Zuständen nicht kennst. Da die Zustände aber sehr dicht beieinander liegen (siehe die Abmessung der 1. Brillouin-Zone), kannst Du die von \( N \) Zuständen eingenommene reziproke Fläche durch einen Kreis annähern, wobei die Kreislinie die Linie konstanter Energie ist. Warum? Weil der Abstand zu allen k-Werten auf der Kreislinie durch den immer gleichen Kreisradius \( k \) gegeben ist. Wie sich die Fläche eines Kreises mit Radius \(k\) berechnet, steht in jeder Formelsammlung:4\[ \mathcal{A}_N ~=~ \pi \, k^2 \]

Um die Anzahl \( N \) der Zustände herauszufinden, musst Du schauen, wie oft \( \mathcal{A}_1 \) in \( \mathcal{A}_N \) hineinpasst. Teile also 4 durch 3:5\[ N^{\small 2\text d} ~=~ \frac{ \mathcal{A}_N }{ \mathcal{A}_1 } ~=~ \pi \, k^2 ~\cdot~ \frac{ A }{ (2\pi)^2 } ~=~ \frac{A}{4\pi} \, k^2 \]

Da die Elektronen noch einen Spin haben, passen in \( \mathcal{A}_1 \) zwei Zustände, nämlich spin-up und spin-down. Bei 5 hast Du also nur die Hälfte der Zustände bekommen (z.B. nur spin-up Zustände). Multipliziere also 5 mit 2, um auch die andere Hälfte der Spinzustände zu berücksichtigen:6\[ N^{\small 2\text d} ~=~ 2 \cdot \frac{ \mathcal{A}_N }{ \mathcal{A}_1 } ~=~ \frac{A}{2\pi} \, k^2 \]

Blöderweise ist \( N^{\small 2\text d} \) in 6 nicht mit der Energie, sondern mit \( k \) ausgedrückt. Um die Zustandsdichte \( D(E) \) in 1 also konkret ausrechnen zu können, musst Du die Beziehung zwischen Energie \( E \) und der Wellenzahl \( k \) kennen. Diese Beziehung ist durch die Dispersionsrelation \( E(k) \) gegeben. Je nach System kann sie linear in \( k \), quadratisch in \( k \) oder eine komplizierte Form haben, die im Experiment bestimmt werden kann.

Quadratische Dispersionsrelation (2d)

Für ein freies Elektronengas gilt die quadratische Dispersionsrelation:7\[ E(k) ~=~ \frac{\hbar^2}{2m} \, k^2 \]hierbei ist \( m \) die Masse des Elektrons (in der Praxis die effektive Masse \( m^* \)) und \( \hbar \) das reduzierte Wirkungsquantum. Wellenzahl \( k \) ist der Betrag des Wellenvektors \( \boldsymbol{k} \) (1d, 2d, 3d je nach dem).

Die Zustandsdichte \( D(E)\) ausgedrückt in Abhängigkeit mit der Energie, ist die Ableitung der Zustandszahl nach der Energie. Zur Zeit ist die Zustandsanzahl \( N^{\small 2\text d}(k) \) in 6 aber in Abhängigkeit von der Wellenzahl gegeben und nicht in Abhängigkeit von der Energie \(N^{\small 2\text d}(E)\). Du musst also \( k \) mit \( E \) in 6 substituieren. Stelle dazu 7 nach \( k \) um:

8\[ k ~=~ \left( \frac{2m \, E}{\hbar^2} \right)^{1/2} \]
Zustandsdichte für ein freies Elektronengas (quadratische Dispersionsrelation) in zwei Dimensionen.

Bei einer quadratischen Dispersionsrelation, deren Wellenzahl durch 8 gegeben ist, wird 6 zu:9\[ N^{\small 2\text d} ~=~ \frac{A}{2\pi} \, \frac{2m \, E}{\hbar^2} \]

Differenziere die Zustandsanzahl 9 nach der Energie, um die Zustandsdichte \( D^{\small 2\text d}(E) \) zu bekommen:

Zustandsdichte (2d) - quadratische Dispersionsrelation10\[ D^{\small 2\text d}(E) ~=~ \frac{A \, m}{\pi \, \hbar^2} ~=~ \text{const.} \]

Zustandsdichte (3d)

Fermi-Kugel im reziproken Raum mit beispielhaft eingezeichnetem Fermi-Wellenvektor als Radius der Fermi-Kugel.

Das kleinste reziproke Volumen, welches von einem einzigen Zustand eingenommen wird, ist:11\[ \mathcal{V}_1 ~=~ \frac{(2\pi)^3}{V} \]

Das reziproke Volumen einer Kugel (hier wird ebenfalls die Näherung gemacht), welches von \( N \) Zuständen eingenommen wird, ist:12\[ \mathcal{V}_N ~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, k^3 \]mit der Wellenzahl \( k \) als Radius der Kugel.

Hierbei ist \( V \) das Volumen des realen Gitters. Die Anzahl der Zustände ergibt sich analog zum zweidimensionalen Fall:13\[ N^{\small 3\text d} ~=~ \frac{\mathcal{V}_N}{\mathcal{V}_1} ~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, k^3 ~\cdot~ \frac{V}{(2\pi)^3} ~=~ \frac{V}{6\pi^2} \, k^3 \]

Mit Berücksichtigung des Elektronen-Spins wird 13 zu:14\[ N^{\small 3\text d} ~=~ 2 \cdot \frac{\mathcal{V}_N}{\mathcal{V}_1} ~=~ \frac{V}{3\pi^2} \, k^3 \]

Quadratische Dispersionsrelation (3d)

Nun kannst Du Wellenzahl 8 in 14 einsetzen:15\[ N^{\small 3\text d} ~=~ \frac{V}{3\pi^2} \, \left( \frac{2m \, E}{\hbar^2} \right)^{3/2} ~=~ \frac{V}{3\pi^2} \, \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \, E^{3/2} \]

Zustandsdichte für ein freies Elektronengas (quadratische Dispersionsrelation) in drei Dimensionen.

Um die Zustandsdichte zu bestimmen, differenziere die Zustandsanzahl 14 nach der Energie:

Zustandsdichte (3d) - quadratische Dispersionsrelation16\[ D(E) ~=~ \frac{V}{2\pi^2} \, \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \, \sqrt{E} \]

Manchmal interessiert Dich die Zustandsdichte \( D(E) \) pro Volumen. Wenn das so ist, dann teile dazu 16 durch das Volumen \( V \), um die Zustandsdichte \( g(E) \) (nun: Anzahl der Zustände pro Energie UND pro Volumen) zu erhalten:17\[ g(E) ~=~ \frac{1}{2\pi^2} \, \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \, \sqrt{E} \]

Zustandsdichte (1d)

Ein einziger Zustand besetzt folgende reziproke Länge:18\[ \mathcal{L}_1 ~=~ \frac{2\pi}{L} \]dabei ist \( L \) die Länge eines eindimensionalen Systems (z.B. von einem Quantendraht).

In eindimensionalen Systemen nehmen \( N^{\small 1\text d} \) Zustände die reziproke Länge ein:19\[ \mathcal{L}_N ~=~ 2k \]

Warum genau \( 2k \)? Weil \( k \) der Radius ist. Die ganze Länge ist ja der Durchmesser, also \( 2k\)! Zeichnet dazu einen Kreis mit dem Radius \( k \). Wie groß ist dann die Länge von einem Weg, der durch den Kreismittelpunkt geht?!

Teile 19 durch 17, um die Anzahl der Zustände, die auf den Längenabschnitt \( \mathcal{L}_N \) passen:20\[ N^{\small 1\text d} ~=~ 2k \cdot \frac{L}{2\pi} ~=~ \frac{k \, L}{\pi} \]

Quadratische Dispersionsrelation (1D)

Setze die nach der Energie umgestellte Wellenzahl 8, mit Berücksichtigung des Spins (d.h. mit 2 multiplizieren) in 20 ein:21\[ N^{\small 1\text d} ~=~ \frac{2L}{\pi} \, \left(\frac{2m \, E}{\hbar^2}\right)^{1/2} ~=~ \frac{2L}{\pi} \, \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{1/2} \, E^{1/2}\]

Zustandsdichte für ein freies Elektronengas (quadratische Dispersionsrelation) in einer Dimensionen.

Leite 21 nach der Energie ab, um die Zustandsdichte \( D^{\small 1\text d}(E) \) zu bekommen:

Zustandsdichte (1D) - quadratische Dispersionsrelation22\[ D^{\small 1\text d}(E) ~=~ \frac{L}{\pi} \, \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{1/2} \, \frac{1}{\sqrt{E}} \]

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