Zustandsdichte (1d, 2d, 3d): Anzahl der Zustände pro Energie
Level 4
Mathematisch formuliert, ist die Zustandsdichte die Ableitung der Anzahl der Zustände \( N \) nach der Energie \(E\):1\[ D(E) ~=~ \frac{\text{d}N}{\text{d}E} \]und je nach Bedarf mit Volumen:2\[ g(E) ~=~ \frac{1}{V} \, \frac{\text{d}N}{\text{d}E} \]
Im Folgenden wirst Du lernen, wie man die Zustandsdichte eines freien Elektronengases in einem zweidimensionalen, dreidimensionalen und eindimensionalen Kristall herausfinden kann.
Zustandsdichte (2d)
Die kleinste reziproke Fläche (im k-Raum), die von einem einzigen Zustand eingenommen wird, ist:3\[ \mathcal{A}_1 ~=~ \frac{(2\pi)^2}{A} \]hierbei ist \( A \) die Fläche des realen zweidimensionalen Gitters.
Reziproke Fläche, welche dagegen von \( N \) Zuständen eingenommen wird, ist zwar N mal Gl. 3
, doch dadurch würdest Du nichts gewinnen, weil Du z.B. die genaue Anzahl an Zuständen nicht kennst. Da die Zustände aber sehr dicht beieinander liegen (siehe die Abmessung der 1. Brillouin-Zone), kannst Du die von \( N \) Zuständen eingenommene reziproke Fläche durch einen Kreis annähern, wobei die Kreislinie die Linie konstanter Energie ist. Warum? Weil der Abstand zu allen k-Werten auf der Kreislinie durch den immer gleichen Kreisradius \( k \) gegeben ist. Wie sich die Fläche eines Kreises mit Radius \(k\) berechnet, steht in jeder Formelsammlung:4\[ \mathcal{A}_N ~=~ \pi \, k^2 \]
Um die Anzahl \( N \) der Zustände herauszufinden, musst Du schauen, wie oft \( \mathcal{A}_1 \) in \( \mathcal{A}_N \) hineinpasst. Teile also 4
durch 3
:5\[ N^{\small 2\text d} ~=~ \frac{ \mathcal{A}_N }{ \mathcal{A}_1 } ~=~ \pi \, k^2 ~\cdot~ \frac{ A }{ (2\pi)^2 } ~=~ \frac{A}{4\pi} \, k^2 \]
Da die Elektronen noch einen Spin haben, passen in \( \mathcal{A}_1 \) zwei Zustände, nämlich spin-up und spin-down. Bei 5
hast Du also nur die Hälfte der Zustände bekommen (z.B. nur spin-up Zustände). Multipliziere also 5
mit 2, um auch die andere Hälfte der Spinzustände zu berücksichtigen:6\[ N^{\small 2\text d} ~=~ 2 \cdot \frac{ \mathcal{A}_N }{ \mathcal{A}_1 } ~=~ \frac{A}{2\pi} \, k^2 \]
Blöderweise ist \( N^{\small 2\text d} \) in Für ein freies Elektronengas gilt die quadratische Dispersionsrelation:7\[ E(k) ~=~ \frac{\hbar^2}{2m} \, k^2 \]hierbei ist \( m \) die Masse des Elektrons (in der Praxis die effektive Masse \( m^* \)) und \( \hbar \) das reduzierte Wirkungsquantum. Wellenzahl \( k \) ist der Betrag des Wellenvektors \( \boldsymbol{k} \) (1d, 2d, 3d je nach dem). Die Zustandsdichte \( D(E)\) ausgedrückt in Abhängigkeit mit der Energie, ist die Ableitung der Zustandszahl nach der Energie. Zur Zeit ist die Zustandsanzahl \( N^{\small 2\text d}(k) \) in Bei einer quadratischen Dispersionsrelation, deren Wellenzahl durch Differenziere die Zustandsanzahl 6
nicht mit der Energie, sondern mit \( k \) ausgedrückt. Um die Zustandsdichte \( D(E) \) in 1
also konkret ausrechnen zu können, musst Du die Beziehung zwischen Energie \( E \) und der Wellenzahl \( k \) kennen. Diese Beziehung ist durch die Dispersionsrelation \( E(k) \) gegeben. Je nach System kann sie linear in \( k \), quadratisch in \( k \) oder eine komplizierte Form haben, die im Experiment bestimmt werden kann.Quadratische Dispersionsrelation (2d)
6
aber in Abhängigkeit von der Wellenzahl gegeben und nicht in Abhängigkeit von der Energie \(N^{\small 2\text d}(E)\). Du musst also \( k \) mit \( E \) in 6
substituieren. Stelle dazu 7
nach \( k \) um:8
gegeben ist, wird 6
zu:9\[ N^{\small 2\text d} ~=~ \frac{A}{2\pi} \, \frac{2m \, E}{\hbar^2} \]9
nach der Energie, um die Zustandsdichte \( D^{\small 2\text d}(E) \) zu bekommen:
Zustandsdichte (3d)
Das kleinste reziproke Volumen, welches von einem einzigen Zustand eingenommen wird, ist:11\[ \mathcal{V}_1 ~=~ \frac{(2\pi)^3}{V} \]
Das reziproke Volumen einer Kugel (hier wird ebenfalls die Näherung gemacht), welches von \( N \) Zuständen eingenommen wird, ist:12\[ \mathcal{V}_N ~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, k^3 \]mit der Wellenzahl \( k \) als Radius der Kugel.
Hierbei ist \( V \) das Volumen des realen Gitters. Die Anzahl der Zustände ergibt sich analog zum zweidimensionalen Fall:13\[ N^{\small 3\text d} ~=~ \frac{\mathcal{V}_N}{\mathcal{V}_1} ~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, k^3 ~\cdot~ \frac{V}{(2\pi)^3} ~=~ \frac{V}{6\pi^2} \, k^3 \]
Mit Berücksichtigung des Elektronen-Spins wird Nun kannst Du Wellenzahl Um die Zustandsdichte zu bestimmen, differenziere die Zustandsanzahl Manchmal interessiert Dich die Zustandsdichte \( D(E) \) pro Volumen. Wenn das so ist, dann teile dazu 13
zu:14\[ N^{\small 3\text d} ~=~ 2 \cdot \frac{\mathcal{V}_N}{\mathcal{V}_1} ~=~ \frac{V}{3\pi^2} \, k^3 \]Quadratische Dispersionsrelation (3d)
8
in 14
einsetzen:15\[ N^{\small 3\text d} ~=~ \frac{V}{3\pi^2} \, \left( \frac{2m \, E}{\hbar^2} \right)^{3/2} ~=~ \frac{V}{3\pi^2} \, \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \, E^{3/2} \]14
nach der Energie:16
durch das Volumen \( V \), um die Zustandsdichte \( g(E) \) (nun: Anzahl der Zustände pro Energie UND pro Volumen) zu erhalten:17\[ g(E) ~=~ \frac{1}{2\pi^2} \, \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \, \sqrt{E} \]
Zustandsdichte (1d)
Ein einziger Zustand besetzt folgende reziproke Länge:18\[ \mathcal{L}_1 ~=~ \frac{2\pi}{L} \]dabei ist \( L \) die Länge eines eindimensionalen Systems (z.B. von einem Quantendraht).
In eindimensionalen Systemen nehmen \( N^{\small 1\text d} \) Zustände die reziproke Länge ein:19\[ \mathcal{L}_N ~=~ 2k \]
Warum genau \( 2k \)? Weil \( k \) der Radius ist. Die ganze Länge ist ja der Durchmesser, also \( 2k\)! Zeichnet dazu einen Kreis mit dem Radius \( k \). Wie groß ist dann die Länge von einem Weg, der durch den Kreismittelpunkt geht?!
Teile Setze die nach der Energie umgestellte Wellenzahl Leite 19
durch 17
, um die Anzahl der Zustände, die auf den Längenabschnitt \( \mathcal{L}_N \) passen:20\[ N^{\small 1\text d} ~=~ 2k \cdot \frac{L}{2\pi} ~=~ \frac{k \, L}{\pi} \]Quadratische Dispersionsrelation (1D)
8
, mit Berücksichtigung des Spins (d.h. mit 2 multiplizieren) in 20
ein:21\[ N^{\small 1\text d} ~=~ \frac{2L}{\pi} \, \left(\frac{2m \, E}{\hbar^2}\right)^{1/2} ~=~ \frac{2L}{\pi} \, \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{1/2} \, E^{1/2}\]21
nach der Energie ab, um die Zustandsdichte \( D^{\small 1\text d}(E) \) zu bekommen:
