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Zustandsdichte (1d, 2d, 3d): Anzahl der Zustände pro Energie

Zustandsdichte - freies 3d-Elektronengas
Level 4 (für sehr fortgeschrittene Studenten)
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Inhalt der Lektion
  1. Zustandsdichte (2d) Hier lernst du, wie die zweidimensionale Zustandsdichte hergeleitet wird und wie die 2d-Dispersionsrelation eines freien Elektronengases aussieht.
  2. Zustandsdichte (3d) Hier lernst du, wie die dreidimensionale Zustandsdichte hergeleitet wird und wie die 3d-Dispersionsrelation eines freien Elektronengases aussieht.
  3. Zustandsdichte (1d) Hier lernst du, wie die eindimensionale Zustandsdichte hergeleitet wird und wie die 1d-Dispersionsrelation eines freien Elektronengases aussieht.

Mathematisch formuliert, ist die Zustandsdichte \( D(W) \) die Ableitung der Anzahl der Zustände \( N \) nach der Energie \(W\):

Definition der Zustandsdichte
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Manchmal wird auch die Zustandsdichte pro Volumen \( V \) des betrachteten Kristalls angeben:

Definition: Zustandsdichte pro Volumen
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Im Folgenden wirst Du lernen, wie man die Zustandsdichte eines freien Elektronengases in einem zweidimensionalen, dreidimensionalen und eindimensionalen Kristall herausfinden kann.

Zustandsdichte (2d)

Illustration : Erlaubte Zustände der freien Elektronen im Kristall - reziproker Raum (2d)

Die kleinste reziproke Fläche \( \mathcal{A}_1 \) (im k-Raum), die von einem einzigen Zustand eingenommen wird, ist:

Formel: Reziproke Fläche von einem k-Zustand
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Hierbei ist \( A \) die Fläche eines realen zweidimensionalen Kristallgitters.

Reziproke Fläche, welche von \( N \) Zuständen eingenommen wird, ist \(N\) multipliziert mit der Gl. 3. Doch dadurch würdest Du nichts gewinnen, weil Du in den meisten Fällen die genaue Anzahl \( N \) an Zuständen nicht kennst. Da die Zustände aber sehr dicht beieinander liegen (siehe die Abmessung der 1. Brillouin-Zone), kannst Du die von \( N \) Zuständen eingenommene reziproke Fläche durch einen Kreis annähern, wobei die Kreislinie die Linie konstanter Energie ist. Warum? Weil der Abstand zu allen k-Werten auf der Kreislinie durch den immer gleichen Kreisradius \( k \) gegeben ist. Wie sich die Fläche eines Kreises mit Radius \(k\) berechnet, steht in jeder Formelsammlung:

Fläche eines Kreises im k-Raum
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Um die Anzahl \( N \) der Zustände herauszufinden, musst Du schauen, wie oft \( \mathcal{A}_1 \) in \( \mathcal{A}_N \) hineinpasst. Teile also Gl. 4 durch Gl. 3:

Anzahl der 2d-Zustände im k-Raum
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Da die Elektronen noch einen Spin haben, passen in \( \mathcal{A}_1 \) zwei Zustände, nämlich spin-up und spin-down. In Gl. 5 hast Du also nur die Hälfte der Zustände bekommen (z.B. nur spin-up Zustände). Multipliziere also Gl. 5 mit 2, um auch die andere Hälfte der Spinzustände zu berücksichtigen:

Anzahl der 2d-Zustände im k-Raum mit Spin
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Blöderweise ist \( N^{\small 2\text d} \) in Gl. 6 nicht mit der Energie, sondern mit \( k \) ausgedrückt. Um die Zustandsdichte \( D(W) \) in 1 also konkret ausrechnen zu können, musst Du die Beziehung zwischen der Energie \( W \) und der Wellenzahl \( k \) kennen. Diese Beziehung ist durch die Dispersionsrelation \( W(k) \) gegeben. Je nach System kann sie linear in \( k \), quadratisch in \( k \) oder eine komplizierte Form haben, die im Experiment bestimmt werden kann. Wir schauen uns hier die quadratische Dispersionsrelation eines freien Elektronengases an.

Für ein freies Elektronengas gilt die quadratische Dispersionsrelation:

Dispersionsrelation: freies Elektronengas
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Hierbei ist \( m \) die Masse des Elektrons (in der Praxis die effektive Masse \( m^* \)) und \( \hbar \) das reduzierte Wirkungsquantum. Wellenzahl \( k \) ist der Betrag des Wellenvektors \( \boldsymbol{k} \).

Die Zustandsdichte \( D(W)\) ausgedrückt in Abhängigkeit mit der Energie, ist die Ableitung der Zustandszahl nach der Energie. Zur Zeit ist die Zustandsanzahl \( N^{\small 2\text d}(k) \) in 6 aber in Abhängigkeit von der Wellenzahl gegeben und nicht in Abhängigkeit von der Energie \(N^{\small 2\text d}(W)\). Du musst also \( k \) mit \( W \) in 6 substituieren. Stelle dazu die Dispersionsrelation 7 nach \( k \) um:

Dispersionsrelation eines freien Elektronengases nach der Wellenzahl umgestellt
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Wir können nun die Wellenzahl einer quadratischen Dispersionsrelation, die durch Gl. 8 gegeben ist, in Gl. 6 einsetzen:

Anzahl der Zustände im k-Raum mittels quadratischer Dispersionsrelation
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Differenziere die Zustandsanzahl 9 nach der Energie, um die Zustandsdichte \( D^{\small 2\text d}(W) \) eines zweidimensionalen freien Elektronengases zu bekommen:

Zustandsdichte (2d) - quadratische Dispersionsrelation
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Illustration : Zustandsdichte für ein freies Elektronengas (quadratische Dispersionsrelation) in zwei Dimensionen.

Zustandsdichte (3d)

Illustration : Fermi-Kugel im reziproken Raum mit beispielhaft eingezeichnetem Fermi-Wellenvektor als Radius der Fermi-Kugel.

Das kleinste reziproke Volumen \( \mathcal{V}_1 \), welches von einem einzigen Zustand eingenommen wird, ist:

Volumen im k-Raum von einem einzigen Zustand
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Das reziproke Volumen einer Kugel (hier wird ebenfalls die Näherung gemacht), welches von \( N \) Zuständen eingenommen wird, ist:

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Mit der Wellenzahl \( k \) als Radius der Kugel. Hierbei ist \( V \) das Volumen des realen Kristallgitters.

Die Anzahl der Zustände ergibt sich analog zum zweidimensionalen Fall:

Anzahl der Zustände im k-Raum in 3d
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Berücksichtigen wir außerden den Spin des Elektrons, indem wir Gl. 13 mit 2 multiplizieren:

Anzahl der Zustände im k-Raum in 3d mit Spin
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Nun kannst Du Wellenzahl 8 aus der quadratischen Dispersionsrelation in Gl. 14 einsetzen:

Anzahl der Zustände im k-Raum mittels quadratischer Dispersionsrelation (3d)
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Um die Zustandsdichte zu bestimmen, differenziere die Zustandsanzahl 14 nach der Energie \(W\):

Zustandsdichte (3d) - quadratische Dispersionsrelation
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Illustration : Zustandsdichte für ein freies Elektronengas (quadratische Dispersionsrelation) in drei Dimensionen.

Manchmal interessiert Dich die Zustandsdichte \( D(W) \) pro Volumen. Wenn das so ist, dann teile dazu 16 durch das Volumen \( V \), um die Zustandsdichte \( g(W) \) (nun: Anzahl der Zustände pro Energie UND pro Volumen) zu erhalten:

Zustandsdichte (3d) pro Volumen - quadratische Dispersionsrelation
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Zustandsdichte (1d)

Ein einziger Zustand besetzt folgende reziproke Länge \( \mathcal{L}_1 \):

Reziproke Länge eines einzigen Zustands (1d)
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Dabei ist \( L \) die Länge eines eindimensionalen Systems (z.B. von einem Quantendraht), indem sich ein freies Elektronengas befindet.

In eindimensionalen Systemen nehmen \( N^{\small 1\text d} \) Zustände die folgende reziproke Länge ein:

Reziproke Länge eingenommen von N Zuständen
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Warum genau \( 2k \)? Weil \( k \) der Radius ist. Die ganze Länge ist ja der Durchmesser, also \( 2k\)! Zeichnet dazu einen Kreis mit dem Radius \( k \). Wie groß ist dann die Länge von einem Weg, der durch den Kreismittelpunkt geht?!

Teile 19 durch 17, um die Anzahl der Zustände, die auf den Längenabschnitt \( \mathcal{L}_N \) passen:

Anzahl der 1d-Zustände auf einer Länge
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Setze die nach der Energie umgestellte Wellenzahl 8 der quadratischen Dispersionsrelation, mit Berücksichtigung des Spins (d.h. mit 2 multiplizieren) in 20 ein:

Anzahl der 1d-Zustände mittels quadratischer Dispersionsrelation
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Leite 21 nach der Energie ab, um die Zustandsdichte \( D^{\small 1\text d}(E) \) zu bekommen:

Zustandsdichte (1D) - quadratische Dispersionsrelation
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Illustration : Zustandsdichte für ein freies Elektronengas (quadratische Dispersionsrelation) in einer Dimensionen.