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Coulomb-Gesetz: Elektrische Kraft zwischen Ladungen

Coulomb-Gesetz - beschreibt die abstoßende und anziehende elektrische Kraft zwischen zwei elektrischen Ladungen, die sich in einem bestimmten Abstand zueinander befinden.
Level 2
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Grundlagen

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Wechselwirkung zwischen positiven und negativen Ladungen.

Es gibt zwei verschiedene Arten elektrischer Ladung:

  • positive Ladung
  • negative Ladung

Warum ausgerechnet zwei Ladungsarten und nicht eine oder sogar drei? Weil die bisheringen Experimente (wie z.B. die Ablenkung der Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern) genau ZWEI Ladungsarten finden konnten, die sich in ihrer Kraftwirkung untereinander unterscheiden. Positive Ladungen stoßen sich mit einer bestimmten Kraft ab. Negative Ladungen stoßen sich auch untereinander ab. Eine positive und eine negative Ladung dagegen ziehen sich an.Gleichnamige Ladungen (++ oder --) stoßen sich ab. Ungleichnamige Ladungen (+- oder -+) ziehen sich an.

Elektrische Ladung wird mit einem kleinen \( q \) abgekürzt. Und die physikalische Einheit der elektrischen Ladung wurde als Einheit "Coulomb" (\(\text C \)) definiert, die auch als eine Amperesekunde (\(\text{As} \)) geschrieben werden kann:\[ [q] = \text{C} = \text{As} \]

Bedenke, dass das Kennen der Einheiten, Dir dabei helfen kann, andere Einheiten abzuleiten oder Deine Umformungen von Formeln auf ihre Richtigkeit zu überprüfen.

Beispiel für eine LadungDie elektrische Ladung eines negativ geladenen Elektrons beträgt: \( q = -1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \). Da es die kleinste Ladung, die ein freies Teilchen haben kann, wird dieser Wert der Ladung auch als Elementarladung \( e \) genannt. Das Teilchen Proton dagegen hat eine positive Elementarladung: \( e = +1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \). Das Vorzeichen der Ladung wird entscheidend sein, ob die elektrische Kraft zwischen zwei Ladungen abstoßend oder anziehend ist.

Mit welcher Kraft ziehen sich Ladungen an?

Du weißt nun, dass es zwei verschiedene Ladungsarten gibt, die eine abstoßende bzw. anziehende elektrische Kraft \( F_{\text e} \) aufeinander ausüben. Es treten jetzt bei Dir wahrscheinlich einige Fragen auf: Wie kann ich diese Kraft berechnen? Was ist, wenn die Ladungen unterschiedlich groß sind? Was ist, wenn deren Abstand zueinander varändert wird? All diese Fragen können in einem Experiment beantwortet werden. Das Coulomb-Gesetz ist so ein typisches physikalisches Gesetz, welches ursprünglich durch das Experiment und nicht durch eine mathematische Herleitung herausgefunden wurde.

Grundsätzlich geht das Experiment zum Coulomb-Gesetz so: Du lädst zwei metallische Kugeln elektrisch auf, sodass sie eine elektrische Ladung tragen, die Du z.B. mittels einer Spannungsquelle vorgibst. Dann misst Du die Kraft zwischen den Kugeln, die in einem bestimmten Abstand \( r \) voneinander entfernt sind. Dann variierst Du sowohl den Abstand (z.B. \(0.1\,\text{m}, 0.2\,\text{m}, 0.3\,\text{m}\)...) als auch Ladungen der einen Kugel \( q_1 \) und der zweiten Kugel \(q_2 \) (z.B. \(0.5\,\text{C}, 0.6\,\text{C}, 0.7\,\text{C}\)...). Ein konkretes Experiment zur Bestimmung des Coulomb-Gesetzes ist beispielsweise die sogenannte Coulomb-Drehwaage.

Elektrische Kraft in Abhängigkeit vom Abstand der Ladungen. Für kleine Abstände wird die Abstoßungskraft (oberer Verlauf) bzw. Anziehungskraft (unterer Verlauf) SEHR groß.

Alle von Dir gesammelten Messwerte werden dann so wie üblich in veranschaulichenden Diagrammen weiter untersucht. In einem \(F_{\text e}\)-\(r\)-Diagramm (also Kraft in Abhängigkeit vom Ladungsabstand) findest Du heraus, dass die elektrische Kraft zwischen zwei Ladungen \(q_1 \) und \(q_2 \), die die beiden Kugeln tragen, proportional zu \( \frac{1}{r^2} \) ist: 1\[ F_{\text e} \sim \frac{1}{r^2} \]

Das heißt: Verdoppelst Du den Abstand \(r\), dann verkleinert sich die Kraft \( F_{\text e} \) um das VIERfache!Erkenntnis #1
Je größer der Abstand zweier elektrischer Ladungen ist, desto kleiner ist die elektrische Kraft zwischen ihnen. Dementsprechend ist die Abstoßung bzw. Anziehung schwächer.

Dann schaust Du Dir an, wie sich die Kraft verändert, wenn Du andere Ladungswerte benutzt. Dazu variierst Du die Ladung einer Kugel. Die erhaltenen Messwerte trägst Du in ein \(F_{\text e}\)-\(q_1\)-Diagramm ein. Als Ergebnis bekommst Du einen linearen Zusammenhang: 2\[ F_{\text e} \sim q_1 \]

Wenn Du die Ladung \( q_2 \) der zweiten Kugel variierst, bekommst Du natürlich die gleiche Proportionalität:3\[ F_{\text e} \sim q_2 \]Erkenntnis #2
Je größer die Ladungen desto größer die elektrische Kraft zwischen ihnen. Dementsprechend ist die Abstoßung bzw. Anziehung stärker.

Zwei Ladungen (Proton und Elektron) im Abstand \( r \), die sich anziehen. Und zwei Protonen, die sich abstoßen.

Fasst Du die drei experimentellen Zusammenhänge 1, 2 und 3 zusammen, dann kennst Du schonmal die folgende Proportionalität:4\[ F_{\text e} \sim \frac{q_1 \, q_2}{r^2} \]

Es muss nur noch die Proportionalitätskonstante \( K \) bestimmt werden, um das Coulomb-Gesetz vollständig zu bestimmen:4\[ F_{\text e} = K \, \frac{q_1 \, q_2}{r^2} \]

Durch die Messung der Kraft zwischen zwei (bekannten) Ladungen und deren Abstand zueinander, findest Du durch Umformen der Gleichung 4 die gesuchte Konstante \( K \) heraus. Lade beispielsweise die beiden Kugeln so auf, dass sie \( q_1 = q_2 = 10^{-4} \, \text{C} \) haben und platziere sie im Abstand \( r = 1 \, \text{m} \) zueinander. Dann wirst Du eine Kraft \( F_{\text e} = 89.875 \, \text{N} \) zwischen den beiden Ladungen messen. Stelle 4 nach dem gesuchten \( K \) um und setze die hier zur Verfügung gestellten Messwerte ein:5\[ K = \frac{F_{\text e} \, r^2}{q_1 \, q_2} = \frac{89.875 \, \text{N} \cdot 1 \, \text{m}^2}{10^{-4} \, \text{C} \cdot 10^{-4} \, \text{C}} = 8.9875 \cdot 10^9 \, \frac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{C}^2} \]

Natürlich spielt es keine Rolle, welche Ladungen und welchen Abstand Du auswählst, das Ergebnis für die Proportionalitätskonstante wird immer gleich sein, weil es ja eine Konstante ist!

Später wird es sich bei Deinen Physikabenteuern herausstellen, dass es sinnvoll ist, die Coulomb-Konstante folgendermaßen zu definieren:6\[ K = \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \]

Das heißt mit 5 wird die sogenannte elektrische Feldkonstante \( \varepsilon_0 \), die in 6 steckt, durch Umformen von 6 und dann Einsetzen von 5 zu:7\[ \varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi \, K} = \frac{1}{8.9875 \cdot 10^9 \, \frac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot 4 \cdot 3.1415} = 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{C}^2} \]

Die Einheit der elektrischen Feldkonstante wird normalerweise in Amperemeter durch Voltsekunde angegeben, was aber leicht durch Einheitenumformung geschehen kann:8\[ [\varepsilon_0] = \frac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{C}^2} = \frac{\text{A}^2 \,\text{s}^4}{\text{kg} \, \text{m}^3} = \frac{\text{As}}{\text{Vm}} \]

Diese wichtige Naturkonstante, also die elektrische Feldkonstante \( \varepsilon_0 \) findest Du fast überall, wo Elektrizität und Magnetismus vorkommen, denn mithilfe dieser Naturkonstanten schreibt uns die Natur vor, wie stark die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen elektrischen Ladungen sein muss, damit das Universum so ist, wie es ist. Warum ausgerechnet dieser Wert 7 und nicht ein anderer von der Natur vorgeschrieben wird, kann nur eine "höhere Macht" beantworten.

Die Reise ist hier zu Ende, denn, wenn Du alles bisher gelernte zusammenfasst, dann kommst Du zum folgenden physikalischen Zusammenhang, der zu Ehren eines französischen Physikers Charles Augustin de Coulomb, der viel mit Ladungen herumexperimentiert hat, als Coulomb-Gesetz genannt wird:

Coulomb-Gesetz: Elektrische Kraft zwischen zwei Ladungen9\[ F_{\text e} = \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{q_1 \, q_2}{r^2} \]

Wann ist die elektrische Kraft abstoßend / anziehend?

Je nachdem, ob \( q_1 \) bzw. \( q_2 \) im Coulomb-Gesetz 9 positiv oder negativ ist, hat die elektrische Kraft \( F_{\text e} \) ein anderes Vorzeichen und damit eine abstoßende bzw. anziehende Wirkung auf die beiden Ladungen:

  • \(q_1\) und \(q_2 \) beide positiv. Dann ist \( F_{\text e} \) auch positiv.
  • \(q_1\) und \(q_2 \) beide negativ. Dann ist \( F_{\text e} \) positiv, denn "-" mal "-" ergibt "+".
  • \(q_1\) positiv und \(q_2\) negativ (oder andersherum). Dann ist \( F_{\text e} \) negativ, denn "+" mal "-" ergibt "-".
Erkenntnis #3
Wenn die Kraft positiv ist, dann stoßen sich die Ladungen ab. Wenn die Kraft negativ ist, dann ziehen sich die Ladungen an.

Kraft zwischen Elektron und Proton

Beispiel: Kraft zwischen Elektron und ProtonNach dem einfachen Atommodell des Hydrogenium-Atoms (Wasserstoffatom), umkreist ein negativ geladenes Elektron den Atomkern, der aus einem einzigen positiv geladenen Proton besteht. Sowohl das Elektron als auch das Proton tragen die Elementarladung \( e = \pm 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \). Der Radius der Elektronenkreisbahn beträgt nach dem Modell \( r = 0.53 \cdot 10^{-10} \, \text{m} \). Wie groß ist die elektrische Kraft \( F_{\text e} \), die das Elektron und Proton in diesem Abstand aufeinander ausüben? Ziehen sie sich an oder stoßen sie sich ab?

Benutze das Coulomb-Gesetz 9, um die elektrische Kraft zwischen den beiden Ladungen herauszufinden:\[ F_{\text e} = \frac{1}{4\pi \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \, \frac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{C}^2}} \, \frac{-1.60 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \cdot 1.60 \cdot 10^{-19} \, \text{C}}{(0.53 \cdot 10^{-10} \, \text{m})^2} = - 8.19 \cdot 10^{-8} \, \text{N} \]

Da die Kraft negativ ist, ziehen sich das Elektron und Proton an!

Wissenswertes!Das Coulomb-Gesetz 8 gilt nur im Vakuum oder näherungsweise in der Luft. Wenn Du die beiden geladenen Kugeln ins Wasser platzierst (natürlich kein salzhaltiges Wasser, sonst gibts einen Kurzschluss), dann wirst Du feststellen, dass das Medium zwischen den Ladungen ebenfalls eine entscheidende Rolle spielt und wir haben es nicht berückschtigt! Um andere Medien zu berücksichtigen, wird das Coulomb-Gesetz zu:9\[ F_{\text e} = \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0 \, \varepsilon_{\text r}} \, \frac{q_1 \, q_2}{r^2} \]Hierbei ist \( \varepsilon_{\text r} \) die eingeführte Dielektrizitätszahl, um das Medium zwischen den Ladungen zu berücksichtigen. Im Fall von Vakuum beträgt \( \varepsilon_{\text r} = 1 \). Wenn die Luft dazwischen ist \( \varepsilon_{\text r} \approx 1.0006 \). Wenn lauwarmes Wasser dazwischen ist \( \varepsilon_{\text r} \approx 81.1 \).
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