Direkt zum Inhalt
  1. Startort
  2. Lektionen
  3. 📖
Level 1
Level 1 setzt kein Vorwissen voraus. Geeignet für blutige Anfänger.

Mengen (Mengenlehre): Teilmenge, Vereinigung, Schnitt, Differenz

Menge \(\mathbb{M}\) - ist ein Objekt, in dem andere, wohlunterscheidbare Objekte zusammengefasst sind.

Im Grunde alle komplexeren mathematischen Strukturen basieren auf dem Konzept der Mengen. Diese komplexeren Strukturen sind notwendig, um die physikalischen Theorien mathematisch zu begreifen und zu formulieren. Daher ist es wichtig zu verstehen, was Mengen sind und welche grundlegenden Operationen du auf Mengen durchführen kannst. Ohne dieses Wissen kommst du in der Mathematik nicht sehr weit!

Was ist eine Menge?

Jedes Objekt der Menge wird als Element der Menge bezeichnet. Die Elemente werden zwischen zwei geschweiften Klammern angegeben. Um besser anzudeuten, dass es sich um eine Menge handelt, wird wie in folgenden Beispielen ein Doppelstrich bei der Bezeichnung der Menge gemacht.

Beispiele für Mengen
  • \( \mathbb{A} = \{ 1, 5, \pi, 0 \} \)
  • \( \mathbb{B} = \{ \text{Anna}, \text{Alexander}, \text{Dima} \} \)
  • \( \mathbb{D} = \{ \} \) (leere Menge)
  • \( \mathbb{N} = \{ 1,2,3,4 ...\} \) (Menge der natürlichen Zahlen)
  • \( \mathbb{E} = \{ \Box,\Delta,\nabla \} \)
MengenbezeichnungenIm Prinzip darfst Du beliebige Bezeichnungen für eine Menge nehmen, sei es \(\mathbb{A}, \mathbb{B}, \mathbb{D} \) etc. Beachte jedoch, dass folgende Buchstaben für wichtige Mengen reserviert sind:
  • \( \mathbb{N} \) steht für die Menge der natürlichen Zahlen
  • \( \mathbb{Z} \) steht für die Menge der ganzen Zahlen
  • \( \mathbb{Q} \) steht für die Menge der rationalen Zahlen
  • \( \mathbb{R} \) steht für die Menge der reellen Zahlen
  • \( \mathbb{C} \) steht für die Menge der komplexen Zahlen

Für die Zahlen gibt es zum Beispiel eine Operation "+", die zwei Zahlen miteinander addiert:\(1 + 3 = 4\). Oder eine Operation "\(\cdot\)", die zwei Zahlen miteinander multipliziert: \( 2 \cdot 4 = 8\). Sowie es Zahlenoperationen gibt, gibt es auch Mengenoperationen.

Schnitt zweier Mengen

Schnittmenge zweier Mengen.
Der Schnitt \( \cap \) zweier Mengen \( \mathbb{A} \) und \( \mathbb{B} \) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in \( \mathbb{A} \) als auch in \( \mathbb{B} \) enthalten sind.
Beispiel einer SchnittmengeBetrachte beispielsweise diese beiden Mengen: \begin{align} \mathbb{A} &~=~ \{ 2,~ 5,~ 6,~ 7,~ 9 \}\\\\ \mathbb{B} &~=~ \{ 3,~ 7,~ 9,~ 42 \} \end{align}

Jetzt musst du schauen, welche Objekte, in diesem Fall also natürliche Zahlen, in beiden Mengen enthalten sind. Diese bilden die Schnittmenge von \( \mathbb{A} \) und \( \mathbb{B} \):\[ \mathbb{A} ~\cap~ \mathbb{B} ~=~ \{ 7,~ 9 \} \]

Vereinigung zweier Mengen

Vereinigung zweier Mengen.
Die Vereinigung \( \cup \) zweier Mengen \( \mathbb{A} \) und \( \mathbb{B} \) sind alle Elemente von \( \mathbb{A} \) und alle Elemente von \( \mathbb{B} \).
Beispiel einer VereinigungsmengeBetrachte wieder die beiden Mengen: \begin{align} \mathbb{A} &~=~ \{ 2,~ 5,~ 6,~ 7,~ 9 \}\\\\ \mathbb{B} &~=~ \{ 3,~ 7,~ 9,~ 42 \} \end{align}

Jetzt fasst du einfach alle Elemente von \( \mathbb{A} \) und \( \mathbb{B} \) zu einer neuen Menge zusammen, die Vereinigungsmenge:\[ \mathbb{A} ~\cup~ \mathbb{B} ~=~ \{2,~ 3,~ 5,~ 6,~ 7,~ 9,~ 42\} \]

Differenzmenge

Differenzmenge. Alle Elemente von \( \mathbb{A} \), jedoch ohne, dass sie in \( \mathbb{B} \) sind.
Die Differenzmenge \( \mathbb{A} \backslash \mathbb{B} \) ist die Menge aller Elemente, die nur zu \( \mathbb{A} \) gehören.
Beispiel einer DifferenzmengeBetrachte wieder die beiden Mengen: \begin{align} \mathbb{A} &~=~ \{ 2,~ 5,~ 6,~ 7,~ 9 \}\\\\ \mathbb{B} &~=~ \{ 3,~ 7,~ 9,~ 42 \} \end{align}

Jetzt nimmst du nur alle Elemente, die in \( \mathbb{A} \) drin sind und diese Elemente dürfen nicht in \( \mathbb{B} \) enthalten sein:\[ \mathbb{A} ~\backslash~ \mathbb{B} ~=~ \{2,~ 5,~ 6\} \]

Details zum Inhalt
  • Copyright: ©2020
  • Lizenz: CC BY 4.0Diese Lektion darf mit der Angabe des Copyrights weiterverwendet werden!
  • Dieser Inhalt wurde hinzugefügt von FufaeV am .
  • Dieser Inhalt wurde aktualisiert von FufaeV am .