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Mengen (Mengenlehre): Teilmenge, Vereinigung, Schnitt, Differenz

Menge \(\mathbb{M}\) - ist ein Objekt, in dem andere, wohlunterscheidbare Objekte zusammengefasst sind.

Jedes Objekt der Menge wird als Element der Menge bezeichnet. Die Elemente werden zwischen zwei geschweiften Klammern angegeben. Um besser anzudeuten, dass es sich um eine Menge handelt, wird wie in folgenden Beispielen ein Doppelstrich bei der Bezeichnung der Menge gemacht.

Beispiele für Mengen
  • \( \mathbb{A} = \{ 1, 5, \pi, 0 \} \)
  • \( \mathbb{B} = \{ \text{Anna}, \text{Alexander}, \text{Dima} \} \)
  • \( \mathbb{D} = \{ \} \) (leere Menge)
  • \( \mathbb{N} = \{ 1,2,3,4 ...\} \) (Menge der natürlichen Zahlen)
  • \( \mathbb{E} = \{ \Box,\Delta,\nabla \} \)
MengenbezeichnungenIm Prinzip darfst Du beliebige Bezeichnungen für eine Menge nehmen, sei es \(\mathbb{A}, \mathbb{B}, \mathbb{D} \) etc. Beachte jedoch, dass folgende Buchstaben für wichtige Mengen reserviert sind:
  • \( \mathbb{N} \) steht für die Menge der natürlichen Zahlen
  • \( \mathbb{Z} \) steht für die Menge der ganzen Zahlen
  • \( \mathbb{Q} \) steht für die Menge der rationalen Zahlen
  • \( \mathbb{R} \) steht für die Menge der reellen Zahlen
  • \( \mathbb{C} \) steht für die Menge der komplexen Zahlen

Für die Zahlen gibt es zum Beispiel eine Operation "+", die zwei Zahlen miteinander addiert:\(1 + 3 = 4\). Oder eine Operation "\(\cdot\)", die zwei Zahlen miteinander multipliziert: \( 2 \cdot 4 = 8\). Sowie es Zahlenoperationen gibt, gibt es auch Mengenoperationen.

Schnitt zweier Mengen

Schnittmenge zweier Mengen.
Der Schnitt \( \cap \) zweier Mengen \( \mathbb{A} \) und \( \mathbb{B} \) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in \( \mathbb{A} \) als auch in \( \mathbb{B} \) enthalten sind.
Beispiel einer SchnittmengeBetrachte beispielsweise die Menge \( \mathbb{A} = \{ 2,5,6,7,9 \} \) und \( \mathbb{B} = \{ 3,7,9,42 \} \). Dann musst Du schauen, welche Objekte, in diesem Fall also natürliche Zahlen, in beiden Mengen enthalten sind. Diese bilden die Schnittmenge von \( \mathbb{A} \) und \( \mathbb{B} \):\[ \mathbb{A} \cap \mathbb{B} ~=~ \{ 7,9 \} \]

Vereinigung zweier Mengen

Vereinigung zweier Mengen.
Die Vereinigung \( \cup \) zweier Mengen \( \mathbb{A} \) und \( \mathbb{B} \) sind alle Elemente von \( \mathbb{A} \) und alle Elemente von \( \mathbb{B} \).
Beispiel einer VereinigungsmengeBetrachte wieder die Menge \( \mathbb{A} = \{ 2,5,6,7,9 \} \) und \( \mathbb{B} = \{ 3,7,9,42 \} \). Dann fasst Du einfach alle Elemente von \( \mathbb{A} \) und \( \mathbb{B} \) zu einer neuen Menge zusammen, die Vereinigungsmenge:\[ \mathbb{A} \cup \mathbb{B} = \{2,3,5,6,7,9,42\} \]

Differenzmenge

Differenzmenge. Alle Elemente von \( \mathbb{A} \), jedoch ohne, dass sie in \( \mathbb{B} \) sind.
Die Differenzmenge \( \mathbb{A} \backslash \mathbb{B} \) ist die Menge aller Elemente, die nur zu \( \mathbb{A} \) gehören.
Beispiel einer DifferenzmengeBetrachte wieder die Menge \( \mathbb{A} = \{ 2,5,6,7,9 \} \) und \( \mathbb{B} = \{ 3,7,9,42 \} \). Dann nimmst Du nur alle Elemente, die in \( \mathbb{A} \) drin sind und diese Elemente dürfen nicht in \( \mathbb{B} \) enthalten sein:\[ \mathbb{A} \backslash \mathbb{B} = \{2,5,6\} \]
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