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Elektromagnetische Welle und ihre E-Feld und B-Feld-Komponente

Eine elektromagnetische Welle
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Illustration : Elektromagnetische Welle mit E-Feld und B-Feld Komponente.

Eine elektromagnetische Welle (kurz: EM-Welle) hat einen elektrischen Feldanteil \( \boldsymbol{E}(x,y,z,t) \) und einen magnetischen Feldanteil \( \boldsymbol{B}(x,y,z,t) \). Die beiden Feldanteile vektorielle Größen, die im dreidimensionalen Raum jeweils drei Komponenten besitzen. Es sind also dreidimensionale Vektorfelder:

E-Feld und B-Feld-Vektoren einer EM-Welle
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Beide Felder hängen im Allgemeinen von den Ortskoordinaten \(x,y,z\) ab. Die Amplitude (Betrag des jeweiligen Vektors) ist also von Ort zu Ort unterschiedlich. Außerdem bleibt die Amplitude an einem bestimmten Ort nicht immer gleich, sondern ändert sich mit der Zeit \( t \). Die Felder hängen also auch von der Zeit ab.

Wie sich die elektromagnetische Welle genau örtlich und zeitlich verändert, also wie sie sich im Raum bewegt und ausbreitet, wird durch die beiden folgenden Wellengleichungen beschrieben:

Wellengleichung für das E-Feld
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Wellengleichung für das B-Feld
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Die beiden Wellengleichungen, sind partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung und lassen sich aus den Maxwell-Gleichungen im ladungsfreien Raum herleiten. Sie wurden für den ladungs- und stromfreien Raum hergeleitet und gelten dementsprechend auch nur unter diesen Bedingungen.

  • 'Ladungsfrei' bedeutet, dass die elektrische Ladungsdichte an jedem Ort Null ist: \(\rho = 0\).

  • 'Stromfrei' bedeutet, dass die elektrische Stromdichte an jedem Ort Null ist: \(\boldsymbol{j}\).

In den Wellengleichungen kommt der Laplace-Operator \(\nabla^2\) vor. Wenn du ihn ausschreibst, dann sieht er folgendermaßen aus:

Laplace-Operator in kartesischen Koordinanten
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Die elektrische Feldkonstante \(\varepsilon_0\) sowie die magnetische Feldkonstante \(\mu_0\) sorgen beispielsweise dafür, dass beide Seiten der Wellengleichung die gleiche Einheit haben.

Die allgemeine Form einer Wellengleichung sieht folgendermaßen aus:

3d-Wellengleichung
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Hierbei ist \( \boldsymbol{F} \) ein beliebiges Vektorfeld, das die Wellengleichung erfüllt und \( v_{\text p} \) ist die Phasengeschwindigkeit der Welle. Sie gibt an, wie schnell sich die Welle im Raum fortbewegt.

Illustration : Phasengeschwindigkeit gibt hier an, wie schnell sich ein Wellenberg von A nach B bewegt.

Wenn du die EM-Wellengleichung 2 oder 3 mit der allgemeinen Form einer Wellengleichung 4 vergleichst, dann findest du heraus, wie Phasengeschwindigkeit \( v_{\text p} \) einer elektromagnetischen Welle mit den beiden Feldkonstanten: \( \varepsilon_0 \) und \( \mu_0 \) zusammenhängt:

Feldkonstanten gleich Eins durch Phasengeschwindigkeit zum Quadrat
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Umgestellt nach der Phasengeschwindigkeit \( v_{\text p} \) ergibt dies:

Phasengeschwindigkeit ist gleich der Lichtgeschwindigkeit
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Was ist die Phasengeschwindigkeit einer elektromagnetischen Welle?

Die Phasengeschwindigkeit einer EM-Welle entspricht der Lichtgeschwindigkeit \( c \). Elektromagnetische Wellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Du kannst also die beiden Wellengleichungen 2 und 3 auch mittels der Lichtgeschwindigkeit \( c \) ausdrücken:

Wellengleichungen für E- und B-Feld mit Lichtgeschwindigkeit ausgedrückt
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Schreiben wir mal beispielsweise die Wellengleichung für den E-Feldanteil aus, um ihre Struktur besser nachvollziehen zu können:

Ausgeschriebene Wellengleichung für das E-Feld
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Auf der linken Seite der Wellengleichung wird jede Komponente von \(\boldsymbol{E}\) sowohl nach \(x\), \(y\) als auch nach \(z\) zweimal differenziert. Auf der rechten Seite wird jede E-Feld-Komponente zweimal nach der Zeit \( t \) differenziert. Die Wellengleichung verknüpft also Ortsableitungen des E-Feldes mit den Zeitableitungen und stellt damit ein System von Differentialgleichungen dar.

Die Wellengleichung hat drei Komponenten, die jeweils eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung darstellt:

  1. Erste Komponente der 3d-Wellengleichung für das E-Feld
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    Löst du diese DGL für \( E_{\text x}(x,y,z,t) \), dann weißt du, wie sich das E-Feld örtlich und zeitlich auf der \(x\)-Achse ändert.

  2. Zweite Komponente der 3d-Wellengleichung für das E-Feld
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    Löst du diese DGL für \( E_{\text y}(x,y,z,t) \), dann weißt du, wie sich das E-Feld örtlich und zeitlich auf der \(y\)-Achse ändert.

  3. Dritte Komponente der 3d-Wellengleichung für das E-Feld
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    Löst du diese DGL für \( E_{\text z}(x,y,z,t) \), dann weißt du, wie sich das E-Feld örtlich und zeitlich auf der \(z\)-Achse ändert.

Die drei DLG's sind nicht miteinander gekoppelt und können damit unabhängig voneinander gelöst werden. Physikalisch gesagt: Das, was auf der \(x\)-Achse mit dem E-Feld passiert, beeinflusst nicht das, was mit dem E-Feld auf der \(y\)- oder \(z\)-Achse passiert. Das gleiche gilt für \(y\)- und \(z\)-Achse.

Betrachten wir weiterhin den E-Feldanteil. Für das B-Feld sind die Überlegungen gleich, mit dem Unterschied, dass wir statt E ein B schreiben würden.

Spezialfall: Ebene elektromagnetische Wellen

Eine mögliche Lösung der Wellengleichung 9 sind ebene Wellen. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass ihr E-Feld (und B-Feld), neben der Zeitabhängigkeit \(t\), nur von EINER Ortskoordinate abhängen. Zum Beispiel nur von der Ortskoordinate \(z\):

E-Feldvektor einer ebenen EM-Wellen
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Das das E-Feld nicht von \(x\) und \(y\) abhängt, verschwinden in der Wellengleichung 9 die Ableitungen nach \(x\) und \(y\). Dadurch vereinfacht sich 9 zu:

Nicht vereinfachte E-Feld-Wellengleichung für eine ebene Welle
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Anschaulicht bedeutet diese Unabhängigkeit von \(x\) und \(y\), dass das elektrische Feld \( \boldsymbol{E}(z,t) \) zu einem festen Zeitpunkt \(t = t_0\) und bei \(z=z_0\) in der \(x\)-\(y\)-Ebene einen konstanten Wert hat: \( \boldsymbol{E}(z_0, t_0) = \text{const} \).

Da die Wellengleichungen nur im ladungsfreien Raum gelten, kann die erste Maxwell-Gleichung \(\nabla \cdot \boldsymbol{E} = 0 \) (mit \(\rho = 0\)) dazu benutzt werden, um 14 weiter zu vereinfachen. Ausgeschrieben lautet die erste ladungsfreie Maxwell-Gleichung:

Divergenz des E-Feldes ist gleich Null
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Der erste und zweite Summand verschwinden, da das E-Feld ja nicht von \(x\) und \(y\) abhängt. Übrig bleibt nur die zweite Ableitung nach \(z\):

z-Komponente des E-Feldes nach z abgeleitet ist Null
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Die Gl. 16 ist eine gewöhnliche DGL erster Ordnung und lässt sich sehr leicht lösen. Die Ableitung einer Funktion (hier \(E_{\text z}\)) ist genau dann Null, wenn die Funktion konstant ist. Die dritte Komponente des E-Feldes hängt also nicht von \(z\) ab, sondern es ist eine Konstante, die wir als \(E_0\) definieren:

z-Komponente des E-Feldes ist konstant
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Mit der gewählten Randbedingung, dass das E-Feld am Ort \( z \) gleich Null ist: \( E_{\text z}(z) = 0 \), kann \(E_0\) eliminiert werden: \( E_0 = 0\). Das E-Feld einer ebenen Welle hat also nur zwei veränderliche Komponenten:

E-Feld einer ebenen elektromagnetischen Welle
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Das E-Feld (analog gilt es auch für das B-Feld) einer ebenen Welle hat also gar keine sich ändernde \(z\)-Komponente. Nur zwei der drei Komponenten von \(\boldsymbol{E}\) können sich mit \(z\) und \(t\) ändern.

Was zeichnet eine ebene Welle aus?

Eine ebene Welle schwingt nur in einer Ebene, wie beispielsweise in der \(x\)-\(y\)-Ebene.

Die Wellengleichung 14 vereinfacht sich zu:

Wellengleichung einer ebenen Welle für das E-Feld
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Die Lösung der ersten bzw. zweiten Komponente der Wellengleichung für ebene Wellen ist stets von der Form:

Form der Lösung einer ebenen Welle
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Hierbei sind \(f\) und \(g\) zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Die eine Funktion hängt von \(z-c\,t\) ab und die andere von \(z+c\,t\). Diese (\(z-c\,t\))- und (\(z+c\,t\))-Abhängigkeiten zeichnen das Wellenverhalten aus. \(f_{\text x}(z-c\,t)\) ist nach rechts (in die positive \(z\)-Richtung) verschoben und \(g_{\text x}(z+c\,t)\) ist nach links (in die negative \(z\)-Richtung) verschoben. Mit der Zeit \(t\) wird diese Verschiebung entlang der \(z\)-Achse größer. Ein Feldanteil \(f_{\text x}(z-c\,t)\) von \(E_{\text x}\) breitet sich also nach rechts und der andere Feldanteil \(g_{\text x}(z+c\,t)\) nach links aus.

Da sich die elektromagnetische Welle (hier konkret der E-Feld-Anteil) entlang der \(z\)-Achse fortpflanzt, aber keine \(E_{\text z}\)-Komponente besitzt, ist die elektromagnetische Welle eine transversale Welle (d.h. Schwingung des E-Feldes ist orthogonal zur Ausbreitungsrichtung).