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Wellengleichung: Elektromagnetische Wellen

Elektromagnetische Welle mit E-Feld und B-Feld Komponente.

Eine elektromagnetische Welle hat einen elektrischen Feldanteil \(\boldsymbol{E}(x,y,z,t)\) und einen magnetischen Feldanteil \(\boldsymbol{B}(x,y,z,t)\). Beide Felder hängen im Allgemeinen von den Ortskoordinaten \(x,y,z\) und von der Zeit \(t\) ab. Außerdem sind die beiden Feldanteile vektorielle Größen, die im dreidimensionalen Raum jeweils drei Komponenten besitzen:1\[ \boldsymbol{E} ~=~ \begin{bmatrix}E_{\text x}(x,y,z,t)\\ E_{\text y}(x,y,z,t) \\ E_{\text z}(x,y,z,t) \end{bmatrix}; ~~~ \boldsymbol{B} ~=~ \begin{bmatrix}B_{\text x}(x,y,z,t)\\ B_{\text y}(x,y,z,t) \\ B_{\text z} (x,y,z,t)\end{bmatrix} \]

Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellengleichung wird durch die beiden folgenden Wellengleichungen beschrieben:

Wellengleichung für das E-Feld2\[ \nabla^2 \, \boldsymbol{E} ~=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2} \]
Wellengleichung für das B-Feld3\[ \nabla^2 \, \boldsymbol{B} ~=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial^2 \boldsymbol{B}}{\partial t^2} \]

Die beiden Wellengleichungen, sind partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung und lassen sich aus den Maxwell-Gleichungen im ladungsfreien Raum herleiten. Sie wurden für den ladungs- und stromfreien Raum hergeleitet und gelten dementsprechend auch nur unter diesen Bedingungen. 'Ladungsfrei' bedeutet, dass die elektrische Ladungsdichte an jedem Ort Null ist: \(\rho = 0\). Und 'stromfrei' bedeutet, dass die elektrische Stromdichte an jedem Ort Null ist: \(\boldsymbol{j}\).

Hierbei ist \(\nabla^2\) der Laplace-Operator und sieht ausgeschrieben folgendermaßen aus:4\[ \nabla^2 ~=~ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \]

Mit elektrischer Feldkonstante \(\varepsilon_0\) sowie magnetischer Feldkonstante \(\mu_0\). Wenn man die Wellengleichung 2 bzw. 3 mit der allgemeinen Form einer Wellengleichung vergleicht, ergibt sich der Zusammenhang zwischen der Lichtgeschwindigkeit \(c\) der elektromagnetischen Welle und den beiden Feldkonstanten: \( \frac{1}{c^2} = \varepsilon_0 \, \mu_0 \). Deshalb lassen sich die Wellengleichungen 2 und 3 auch mittels der Lichtgeschwindigkeit ausdrücken. Die Wellengleichung für das E-Feld sieht dann folgendermaßen aus (für B-Feld analog):

5\[ \nabla^2 \, \boldsymbol{E} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2} \]

Die Wellengleichung 5 ist vektoriell und hat drei Komponenten. Ausgeschrieben sieht die Vektorgleichung folgendermaßen aus:6\[ \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial z^2} \end{bmatrix} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial t^2} \end{bmatrix} \]

Auf der linken Seite von 6 wird jede Komponente von \(\boldsymbol{E}\) sowohl nach \(x\), \(y\) als auch nach \(z\) zwei Mal differenziert. Auf der rechten Seite von 6 wird jede E-Feld-Komponente zwei Mal nach der Zeit differenziert.

Ebene elektromagnetische Wellen

Eine mögliche Lösung der Wellengleichung 6 sind ebene Wellen. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass das E-Feld (und B-Feld), neben der Zeitabhängigkeit, nur von einer Ortskoordinate abhängen, z.B. nur von der Ortskoordinate \(z\):7\[ \boldsymbol{E}(z,t) ~=~ \begin{bmatrix} E_{\text x}(z,t) \\ E_{\text y}(z,t) \\ E_{\text z}(z,t) \end{bmatrix} \]

Das das Feld nicht von \(x\) und \(y\) abhängt, sind in 6 die zweiten Ableitungen nach \(x\) und \(y\) Null. Dadurch vereinfacht sich 6 zu:8\[ \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial z^2} \end{bmatrix} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial t^2} \end{bmatrix} \]

Anschaulicht bedeutet diese Unabhängigkeit des E-Feldes von \(x\) und \(y\), dass das E-Feld zu einem festen Zeitpunkt \(t = t_0\) und bei \(z=z_0\) in der x-y-Ebene einen konstanten Wert hat: \( \boldsymbol{E}(z_0, t_0) = \text{const} \).

Da die Wellengleichungen nur im ladungsfreien Raum gelten, kann die erste Maxwell-Gleichung \(\nabla \cdot \boldsymbol{E} = 0 \) (mit \(\rho = 0\)) dazu benutzt werden, um 8 weiter zu vereinfachen. Ausgeschrieben lautet die Maxwell-Gleichung:9\[ \frac{\partial E_{\text x}}{\partial x} + \frac{\partial E_{\text y}}{\partial y} + \frac{\partial E_{\text z}}{\partial z} ~=~ 0 \]

Der erste und zweite Summand verschwindet, da das E-Feld nicht von \(x\) und \(y\) abhängt. Übrig bleibt:10\[ \frac{\partial E_{\text z}}{\partial z} ~=~ 0 \]

10 ist eine einfach zu lösende Differentialgleichung. Die Ableitung einer Funktion (hier \(E_{\text z}\)) ist genau dann Null, wenn die Funktion konstant ist. Die dritte Komponente des E-Feldes hängt also nicht von \(z\) ab, sondern es ist eine Konstante: \( E_{\text z} := E_0 \). Mit der Randbedingung \(E_{\text z}(z) = 0\) kann \(E_0\) eliminiert werden: \( E_0 = 0\). Das E-Feld einer ebenen Welle hat also nur zwei variablen Komponenten:11\[ \boldsymbol{E}(z, t) = \begin{bmatrix} E_{\text x}(z, t) \\ E_{\text y}(z, t) \\ 0 \end{bmatrix} \]

Das E-Feld (analog gilt es auch für das B-Feld) einer ebenen Welle hat also gar keine sich ändernde \(z\)-Komponente. Nur zwei der drei Komponenten von \(\boldsymbol{E}\) können sich entlang von \(z\) und zeitlich ändern. Die Wellengleichung 8 vereinfacht sich zu:12\[ \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial z^2} \\ 0 \end{bmatrix} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial t^2} \\ 0 \end{bmatrix} \]

Die Lösung der ersten bzw. zweiten Komponente der Wellengleichung für ebene Wellen ist stets von der Form:

13\[ E_{\text x}(z,t) ~=~ f_{\text x}(z-c\,t) + g_{\text x}(z+c\,t) \] \[ E_{\text y}(z,t) ~=~ f_{\text y}(z-c\,t) + g_{\text y}(z+c\,t) \]

Hierbei sind \(f\) und \(g\) zweimal stetig differenzierbare Funktionen, die von \(z-c\,t\) bzw. \(z+c\,t\) abhängen. Diese (\(z-c\,t\))- und (\(z+c\,t\))-Abhängigkeiten zeichnen das Wellenverhalten aus. \(f_{\text x}(z-c\,t)\) ist nach rechts (in die positive \(z\)-Richtung) verschoben und \(g_{\text x}(z+c\,t)\) ist nach links (in die negative \(z\)-Richtung) verschoben. Mit der Zeit \(t\) wird diese Verschiebung entlang der \(z\)-Achse größer. Ein Feldanteil \(f_{\text x}(z-c\,t)\) von \(E_{\text x}\) breitet sich also nach rechts und der andere Feldanteil \(g_{\text x}(z+c\,t)\) nach links aus.

Da sich die elektromagnetische Welle (hier konkret der E-Feld-Anteil) entlang der \(z\)-Achse fortpflanzt, aber keine \(E_{\text z}\)-Komponente besitzt, ist die elektromagnetische Welle eine transversale Welle (d.h. Schwingung des E-Feldes ist orthogonal zur Ausbreitungsrichtung).

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