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Funktion (Abbildung): das wichtigste Konzept der Mathematik

Funktion (manchmal: Abbildung genannt) \(f\) - ist eine Vorschrift, die jedem Element der Menge \(X\) genau ein Element der Menge \(Y\) zuordnet.

Notwendige Zutat: Mengen

Eine Funktion braucht den Begriff der Menge. Eine Menge \(X\) ist eine Sammlung von wohlunterscheidbaren Elementen. Du kannst dir eine Menge wie einen Sack voller verschiedenster Spielzeuge (Elemente) vorstellen. In der Mathematik sind es meistens die Zahlen, die in diesem Sack drin sind. Genau solche Säcke mit Zahlen werden für die Funktionen gebraucht. Und diese Zahlen sind wohlverschieden, d.h. es dürfen in der Menge keine gleichen Zahlen vorkommen.

Beispiel: MengeDie Elemente der Menge \(X\) werden in geschweiften Klammern, mit einem Komma getrennt, aufgeschrieben:\[ X ~=~ \{ 1, 5, 3, 6 \} \]

Die Menge \(X\) besteht aus vier Elementen. Diese müssen nicht sortiert aufgelistet sein. Außerdem kommt in der Menge, so wie es sein muss, kein Element (also keine Zahl) doppelt vor.

Eine andere Menge \(Y\) könnte beispielsweise so aussehen:\[ Y ~=~ \{ 43, 21, 5, 2, 7, 10 \} \]

Es gibt auch eine leere Menge \(U\), die keine Elemente besitzt:\[ U ~=~ \{ ~ \} \]

Oder es kann auch eine unendliche Menge \(N\) geben, die unendlich viele Elemente besitzt:\[ N ~=~ \{ 1,2,3,4,5, ~... \} \]

Du kannst dann beispielsweise eine Variable \(y\) einführen, die als Platzhalter für eines der Elemente der Menge \(X\) steht. Mathematisch notiert, bedeutet \( y \in X\), dass \(y\) für irgendein Element aus \(X\) steht. Man spricht "\(y\) ist ein Element von \(X\)".

Beispiel: Variable einer MengeFür die folgende Menge:\[ X ~=~ \{ 1, 5, 3, 6 \} \] bedeutet \( y \in X\), dass die Variable \(y\) folgende Werte annehmen kann: \(y = 1\), \(y = 5\), \(y = 3\) oder \(y = 6\). Natürlich ist es egal, wie du die Variable nennst, ob \(y\) oder \(x\) oder gar \(\psi\). Es ist nur ein Platzhalter für die Elemente der Menge.

Eine Funktion definieren

Lass uns nun eine Funktion \(f\) definieren. Dazu brauchen wir zwei Mengen \(X\) und \(Y\). Welche Mengen es konkret sind, hängt von der Funktion ab. Da wir aber eine Funktion allgemein definieren möchten, legen wir die Mengen nicht konkret fest. Für die Definition ist es auch unwichtig, was in den Mengen drin ist. Dort befinden sich irgendwelche Zahlen, aber welche es sind, ist egal.

Eine Funktion \(f\) weist jedem Element einer Menge irgendein Element der anderen Menge zu. Die beiden Mengen sind also nicht gleichberechtigt. Wir müssen eine Menge auswählen, bei der wir komplett alle Elemente zuweisen müssen. Bei der anderen Mengen können wir einige ihrer Elemente auch unberührt lassen.

Die Menge \(X\), bei der wir alle Elemente zuweisen müssen, bezeichnen wir als Definitionsmenge. Die andere Menge \(Y\), bei der diese Bedingung nicht erfüllt sein muss, bezeichnen wir als Zielmenge. Die Funktion \(f\), ihre Definitionsmenge \(X\) sowie ihre Zielmenge \(Y\) wird folgendermaßen notiert: \[ f: ~X ~\rightarrow~ Y \]

Nun müssen wir konkretet jedem Element \(x \in X\) ein Element \(y \in Y\) zuordnen. Dann haben wir eine konkrete Funktion definiert. Die Zuweisung wird folgendermaßen notiert:\[ f(x) = y \]Das bedeutet: Nimm das Element \(x\) aus der Definitionsmenge \(X\) und weise diesem Element das Element \(y\) aus der Zielmenge zu. Welches Element \(y\) es genau ist, hängt von der konkreten Funktion \(f\) ab. Das wird mit der Notation \(f(x)\) angedeutet.

Beispiel: Elemente zuweisenBetrachte zwei folgende Mengen:\[ X ~=~ \{ 1, 5, 3, 6 \} \] \[ Y ~=~ \{ 4, 3, 2, 10, 42 \} \]

Um eine Funktion \(f\) daraus zu basteln, müssen wir eine Definitionsmenge und eine Zielmenge festlegen. Sei \(X\) die Definitionsmenge und \(Y\) die Zielmenge. In mathermatischer Notation also:\[ f: ~X ~\rightarrow~ Y \]

Funktionsvorschrift einer Beispielfunktion

Du hast gelernt, dass JEDEM Element der Definitionsmenge \(X\) irgendein Wert aus der Zielmenge \(Y\) zugewiesen werden muss. Die Menge \(X\) hat vier Elemente - das entspricht vier Zuweisungen, die gemacht werden müssen, um eine konkrete Funktion zu konstruieren. Machen wir das mal. Dazu führen wir die Variable \(x \in X\) und \(y \in Y\) ein. Die Zuweisungen werden Funktionsvorschrift genannt.

Funktionsvorschrift:

  • Dem Element \(x = 1\) weisen wir das Element \(y = 10\) zu: \(f(1) = 10\).
  • Dem Element \(x = 5\) weisen wir das Element \(y = 10\) zu: \(f(5) = 10\).
  • Dem Element \(x = 3\) weisen wir das Element \(y = 42\) zu: \(f(3) = 42\).
  • Dem Element \(x = 6\) weisen wir das Element \(y = 2\) zu: \(f(6) = 2\).

Wie du siehst, wir haben jedem Element \(x \in X\) ein Element \(y \in Y\) zugeordnet. Dabei haben wir \(y = 4\) und \(y = 3 \) gar nicht benutzt, weil das bei Elementen der Zielmenge erlaubt ist.

Definitionsmenge \(X\) und die Zielmenge \(Y\) bilden zusammen mit der dazugehörigen Funktionsvorschrift \( f(x) = y\) eine Funktion \(f: ~X ~\rightarrow~ Y \).

Bildmenge einer Funktion

Da wir nicht jedem \(y\)-Wert (Element der Zielmenge \(Y\)) ein \(x\)-Wert (Element der Definitionsmenge \(X\)) zuweisen müssen, bleiben einige Elemente \(y\) unberührt. Alle Elemente \(y\), denen ein \(x\)-Element zugeordnet wurde, bilden zusammen eine Menge, die wir als Bildmenge \(\text{im}(f)\) bezeichnen. Diese Menge ist eine Teilmenge von \(Y\): \(\text{im}(f) \subseteq Y\). \[ \text{im}(f) ~=~ \{ y \in Y ~|~ f(x) = y \} \]Die Bildmenge \(\text{im}(f)\) der Funktion \(f\) ist eine Teilmenge von \(Y\), die alle \(y\)-Elemente aus \(Y\) enthält, denen ein \(x\)-Element zugewiesen wurde.

Beispiel: Bildmenge einer Funktion
Bildmenge von \(f\).

Für die oben im Beispiel konstruierte Funktion \(f: ~X ~\rightarrow~ Y\) lautet die Bildmenge \(\text{im}(f)\) dieser Funktion:\[ \text{im}(f) ~=~ \{10, 42, 2\} \]

Die Elemente \(y=3\) und \(y=4\) sind nicht in der Bildmenge drin, weil diesen Elementen kein \(x\)-Element zugewiesen wurde. Auch ist an dem Beispiel deutlich zu sehen, dass die Bildmenge eine Teilmenge der Zielmenge \(Y\) ist: \[ \{10, 42, 2\} \subset \{ 4, 3, 2, 10, 42 \} \]

Hätten wir allen Elementen von \(Y\) ein \(x\)-Element zugewiesen, dann wäre die Bildmenge genau die Zielmenge: \( \text{im}(f) = Y\).

Graph einer Funktion

Die Bildmenge, also die Menge aller \(y\)-Elemente, denen ein \(x\)-Element zugewiesen wurde, zusammen mit den dazugehörigen \(x\)-Elementen bildet einen Graphen. Der Graph einer Funktion \(f\) ist eine Menge. Bezeichnen wir sie mit \(G(f)\). In dieser Menge \(G(f)\) sind jedoch nicht direkt Zahlen \(x\), \(y\) drin, sondern Tupeln \((x,y)\) von Zahlen. Mit der Tupelschreibweise deuten wir an, dass die im Tupel zusammengefasste \(x\)- und \(y\)-Elemente, zusammengehören. Mathematisch lässt sich die Graph-Menge folgendermaßen aufschreiben:

Definition: Graph einer Funktion\[ G(f) ~=~ \{ (x,y) \in X \times Y ~|~ y = f(x) \} \]

Hierbei ist \(X \times Y\) ein sogenanntes kartesisches Produkt zweier Mengen \(X\) und \(Y\). \(X \times Y\) ist eine Menge, in der alle Tupeln \((x,y)\) drin sind, ohne, wie beim Graph, die Eigenschaft \(y = f(x)\) erfüllen zu müssen:\[ X \times Y ~=~ \{ (x,y) ~|~ y \in Y, ~ x \in X \} \]

Beispiel: Graph einer FunktionFür die oben im Beispiel konstruierte Funktion \(f: ~X ~\rightarrow~ Y\) lautet der Graph \(G(f)\):\[ G(f) ~=~ \{ (5,10),~ (1,10),~ (3,42),~ (6,2)\} \]

Und das kartesische Produkt \(X \times Y\) ist die folgende Menge:\[ X \times Y ~=~ \{ (5,10),~ (5,4),~ (5,3),~ (5,42),~ (5,2),\] \[ (1,10),~ (1,4),~ (1,3),~ (1,42),~ (1,2), \] \[ (3,10),~ (3,4),~ (3,3),~ (3,42),~ (3,2),\] \[ (6,10),~ (6,4),~ (6,3),~ (6,42),~ (6,2) \} \]

Gezeichneter Graph der Beispielfunktion.

Der Graph \(G(f)\) einer Funktion \(f\) kann visualisiert werden, indem auf der einen Achse die \(x\)-Elemente aufgetragen werden (wir nennen sie \(x\)-Achse). Und auf der anderen Achse, die senkrecht auf der \(x\)-Achse steht, alle \(y\)-Elemente (wir nennen sie \(y\)-Achse) aufgetragen werden, denen ein \(x\)-Element zugeordnet wurde.

Betrachte einen Tupel \((x,y)\). Ziehst du nun eine horizontale Linie durch einen \(y\)-Punkt und eine senkrechte Linie durch den dazugehörigen \(x\)-Punkt, dann entsteht dadurch ein Schnittpunkt der beiden Linien. Dieser Schnittpunkt wird markiert (im Bild in rot). Genau so wird mit all den anderen Tupels der Graph-Menge vorgegangen. Auf diese Weise kannst du die Funktion \(f\) visualisieren.

injektiv, surjektiv und bijektiv

Drei wichtige Eigenschaften einer Funktion \(f\), aus denen weitere Eigenschaften abgeleitet werden können, sind: Injektivität, Surjektivität, Bijektivität.

Injektivität anschaulich. Jedes \(x\)-Element aus \(X\) verweist auf ein unterschiedliches \(y\)-Element aus \(Y\).

Eine Funktion \(f\) ist injektiv, wenn jedem \(x\)-Element aus \(X\) jeweils ein unterschiedliches \(y\)-Element aus \(Y\) zugewiesen wird. Mathematisch kann diese Aussage folgendermaßen aufgeschrieben werden:

Definition: Injektive FunktionEine Funktion \(f\) ist injektiv genau dann, wenn die folgende Eigenschaft für alle \(x_1\), \(x_2 \in X\) erfüllt ist:\[ f(x_1) = f(x_2) ~\Rightarrow~ x_1 = x_2 \]

Übersetzt heißt es: \(f(x_1)\) ist ein \(y\)-Element, dem \(x_1\) aus \(X\) zugewiesen wurde. Und \(f(x_2)\) ist ein \(y\)-Element, dem \(x_2\) aus \(X\) zugewiesen wurde. Wenn nun die beiden \(y\)-Elemente gleich sind:\(f(x_1) = f(x_2)\), dann müssen die dazugehörigen \(x\)-Elemente ebenfalls gleich sein: \(x_1 = x_2 \). Wenn das erfüllt ist, dann ist die Funktion \(f\) injektiv.

Surjektivität anschaulich. Jedes \(y\)-Element aus \(Y\) hat ein \(x\)-Element zugeordnet bekommen.

Eine Funktion \(f\) ist surjektiv, wenn jedem Element \(y\) aus \(Y\) ein \(x\)-Element aus \(X\) zugewiesen wurde. Das heißt, dass die Bildmenge gleich der Zielmenge ist: \(\text{im}(f) = Y\), wenn die Funktion surjektiv ist.

Definition: Surjektive FunktionEine Funktion \(f\) ist surjektiv genau dann, wenn für alle \(y \in Y\) ein \(x \in X\) existiert, mit: \( f(x) = y \).

Wenn eine Funktion \(f\) sowohl die Eigenschaft der Surjektivität als auch die Eigenschaft der Injektivität erfüllt, dann ist die Funktion bijektiv. Bijektivität ist also nur eine Zusammenfassung der Surjektivität und Injektivität unter einem Begriff. Statt zu sagen: "Die Funktion \(f\) ist injektiv und surjektiv" sagt man: "Die Funktion \(f\) ist bijektiv".

Definition: Bijektive FunktionEine Funktion \(f\) ist bijektiv genau dann, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
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