Direkt zum Inhalt
  1. Startseite
  2. Lektionen
  3. #284

Elektrische Polarisation: E-Feld im Dielektrikum

Elektrische Polarisation - (veraltet: dielektrische Polarisation) ist die Verschiebung von Ladungsschwerpunkten innerhalb eines Atoms durch ein externes elektrisches Feld.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Dipolmoment und Polarisation

Plattenkondensator mit Dielektrikum.

Wird in einen Plattenkondensator ein Dielektrikum mit der Dielektrizitätskonstanten \(\varepsilon_{\text r}\) hineingebracht, das den Kondensator komplett ausfüllt, so sinkt die am Kondensator angelegte Spannung um den Faktor \(\varepsilon_{\text r}\) (natürlich, wenn der Kondensator einmalig aufgeladen und die Spannungsquelle dann ausgeschaltet wurde). Da das homogene elektrische Feld des Plattenkondensators proportional zur Spannung ist, sinkt auch das E-Feld um den gleichen Faktor \(\varepsilon_{\text r}\). Warum diese Feldverminderung zustande kommt, liegt an der dielektrischen Polarisation des Dielektrikums.

Ein Isolator, in diesem Zusammenhang Dielektrikum genannt, besteht aus neutralen Atomen. Da das Atom im Allgemeinen aus mehreren positiven und negativen Ladungen besteht, werden die positiven Ladungen innerhalb eines Atoms durch den positiven Ladungsschwerpunkt beschrieben und die negativen Ladungen durch den negativen Ladungsschwerpunkt. Da das Atom neutral ist, liegen die beiden Schwerpunkte am gleichen Ort.

Wird nun der Isolator (z.B. Quarzglas, Keramik, Wasser) in ein externes elektrisches Feld \(\boldsymbol{E}\) des Plattenkondensators gebracht, so werden die beiden Ladungschwerpunkte innerhalb eines Atoms des Isolators gegeneinander verschoben. Der negative Ladungsschwerpunkt wird von der positiven Kondensatorplatte angezogen und der positive Ladungsschwerpunkt von der negativen Kondensatorplatte. Damit liegen die beiden Schwerpunkte nicht mehr am gleichen Ort, sondern haben den Abstand \(r\) zueinander. Man sagt: ein elektrischer Dipol wurde durch das externe E-Feld induziert. Dieses Phänomen wird als dielektrische Polarisation bezeichnet. (Beachte, dass die elektrische Influenz von elektrischen Leitern, z.B. von einem Metall, ebenfalls eine Verschiebung von Ladungen durch das externe E-Feld beschreibt, jedoch können die negativen Ladungen hier das Atom verlassen und sich überall im Leiter bewegen).

Ein elektrischer Dipol.

Zwei entgegengesetzte Ladungen (hier Ladungsschwerpunkte) mit dem Betrag \(q\), die sich in einem Abstand \(r\) zu einander befinden, bilden einen elektrischen Dipol, der durch das elektrische Dipolmoment \(\boldsymbol{d}\) beschrieben wird:1\[ \boldsymbol{d} ~=~ q \, \boldsymbol{r} \]hierbei zeigt die Verschiebung \(\boldsymbol{r}\) vom Minuspol zum Pluspol (warum das so definiert wurde, wird gleich erläutert). Die Verschiebung ist sehr klein. Während ein Atom in der Größenordnung \(10^{-10} \, \text{m}\) liegt, liegt die Verschiebung in der Größenordnung \(10^{-15} \, \text{m}\).

Das Dielektrikum besteht aus vielen Atomen. Jeder dieser Atome kann einen elektrischen Dipol bilden, wenn das Dielektrikum im externen E-Feld platziert wird. Unter realen Bedingungen (z.B. bei Zimmertemperatur) müssen nicht alle Atome des Dielektrikums einen Dipol bilden. Wenn sich im Dielektrikum \(N\) Dipole gebildet haben, dann berücksichtigt die physikalische Größe Polarisation \(\boldsymbol{P}\) all diese Dipole:

Polarisation2\[ \boldsymbol{P} ~=~ \frac{1}{V} \, \underset{i}{\overset{N}{\boxed{+}}} \, \boldsymbol{d}_i ~=~ \frac{1}{V} \, \left( \boldsymbol{d}_1 + \boldsymbol{d}_2 + ~...~ + \boldsymbol{d}_N \right) \]\( [\boldsymbol{P}] = [\text{C}/\text{m}^2] \) (Einheit einer Flächenladungsdichte)

Die Polaristion \(\boldsymbol{P}\) ist also die vektorielle Summe aller Dipolmomente \(\boldsymbol{d}_i\) pro Volumen \(V\) des Dielektrikums. Die Vektorsumme über alle Dipolmomente ergibt die Richtung der Polarisation \(\boldsymbol{P}\).

Beispiel für die VektorsummeIm Dielektrikum wurden nur zwei Dipole mit dem Dipolmomenten \(\boldsymbol{d}_1\) und \(\boldsymbol{d}_2\) induziert, die entgegengesetzt zueinander zeigen (antiparallel) und betragsmäßig gleich sind. Es gilt also: \(\boldsymbol{d}_2 = -\boldsymbol{d}_1 \). Also ist ihre Vektorsumme\[ \boldsymbol{d}_1 + \boldsymbol{d}_2 = \boldsymbol{d}_1 + (-\boldsymbol{d}_1) = \boldsymbol{0} \]Damit verschwindet nach 2 auch die Polarisation des Dielektrikums.

Das Beispiel zeigt insbesondere auf, dass für eine große Polarisation \(\boldsymbol{P}\) des Dielektrikums, alle Dipole möglichst parallel zueinander ausgerichtet sein müssten. Natürlich ist diese Situation unter realen Bedingungen nicht gewährleistet. Die Tempratur des Dielektrikums beispielsweise verhindert die perfekte Ausrichtung der Dipole. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass alle Einflussfaktoren, die die Dipolausrichtung behindern, nicht vorhanden sind. Das System sei ideal.

Das heißt: Alle Dipole des Dielektrikums werden parallel zum homogenen E-Feld \(\boldsymbol{E}\) des Kondensators ausgerichtet. Wird die Spannung am Kondensat umgepolt, dann zeigt das E-Feld in die entgegengesetzte Richtung und die Dipole drehen sich sofort auch um. Warum die Dipole in die gleiche Richtung zeigen, wie das E-Feld, liegt an der Definition des Dipolmoments 1. Der Verschiebungsvektor \(\boldsymbol{r}\) zeigt definitionsgemäß von Minuspol zum Pluspol des Dipols, also genau andersherum als die Definition der Richtung des E-Feldes, die vom Pluspol zum Minuspol verläuft. Die Kondensatorplatte mit dem Pluspol zieht am Minuspol des Dipols und die Kondensatorplatte mit dem Minuspol zieht am Pluspol des Dipols. Damit richtet sich der Dipol so aus, dass das Dipolmoment \(\boldsymbol{p}\) in die gleiche Richtung wie das externe E-Feld zeigt. Deshalb wurde die Definition des Dipolmoments von Minus nach Plus gewählt und nicht andersherum.

Im E-Feld, in dem alle \(N\) Dipole des Dielektrikums parallel zum E-Feld ausgerichtet sind und betragsmäßig alle gleich groß sind (d.h. es sind Atome gleicher Sorte), ist die Polarisation 2 gegeben durch:3\[ \boldsymbol{P} ~=~ \frac{1}{V} \, N \, \boldsymbol{d} \]

Je größer die Dipoldichte \(N/V\) der induzierten Dipole und je stärker deren Dipolmoment \(\boldsymbol{d}\) ist, desto stärker wird das Material im externen E-Feld polarisiert.

Polarisationsladungen

Polarisationsladungen im Dielektrikum in einem externen E-Feld.

Durch die Verschiebung der Ladungsschwerpunkte im Dielektrikum entstehen an den Rändern des Dielektrikums, die orthogonal zum externen E-Feld liegen, sogenannte Polarisationsladungen. Das sind am Pluspol des Plattenkondensators die negativen Ladungsschwerpunkte der am Rand liegenden Dipole. Und beim Pluspol des Plattenkondensators sind es die positiven Ladungsschwerpunkte der am Rand liegenden Dipole.

Sei \(Q_{\text p}\) die Gesamtladung aller am Rand liegender Polarisationsladungen. Warum nur die Gesamtladung der am Rand liegender Ladungsschwerpunkte hier relevant ist, liegt daran, dass nur diese Randladungen keinen entgegengesetzt geladenen Partner zur Ladungskompensation finden (siehe Abbildung). Alle Ladungsschwerpunkte der Dipole im Inneren neutralisieren sich gegenseitig (d.h. Gesamtladung verschwindet dort). Übrig bleiben nur die Randladungen, also die Polarisationsladungen. Die Polarisationsladung \(Q_{\text p}\) die an der Dielektrikum-Fläche \(A\) liegt, lässt sich mit der Flächenladungsdichte \(\sigma_{\text p}\) ausdrücken, denn Flächenladungsdichte ist Ladung pro Fläche: \(\sigma_{\text p} = \frac{Q_{\text p}}{A} \).

Zwischen den entgegengesetzt geladenen Polarisationsladungen an den Rändern, bildet sich ein elektrisches Feld \(\boldsymbol{E}_{\text p}\) aus, das von positiven zu negativen Polarisationsladungen zeigt. Damit ist \(\boldsymbol{E}_{\text p}\) entgegengesetzt zum externen Feld \(\boldsymbol{E}\) gerichtet. Mit der ersten Maxwell-Gleichung lässt sich der Zusammenhang zwischen dem E-Feld-Betrag und der Flächenladungsdichte herstellen:4\[ E_{\text p} = \frac{\sigma_{\text p}}{\varepsilon_0} \]

Die Polarisation \(\boldsymbol{P}\) ist eine Flächenladungsdichte. Es kann leicht gezeigt werden, dass der Polaristion-Betrag \(P\) der Flächenladungsdichte \(\sigma_{\text p}\) der Polarisationsladungen entsrpicht: \(P = \sigma_{\text p} \). Da die Polarisation \(\boldsymbol{P}\) aber entgegen dem Feld \(\boldsymbol{E}_{\text p}\) der Polarisationsladungen zeigt, wird 4 in vektorieller Form zu: 5\[ \boldsymbol{E}_{\text p} = -\frac{\boldsymbol{P}}{\varepsilon_0} \]

Im Gegensatz zu einem Metall, bei dem das externe E-Feld im Inneren komplett kompensiert wird (Influenz), bleibt bei einem Dielektrikum ein Restfeld \(\boldsymbol{E}_{\text{diel}} \) übrig, das in die gleiche Richtung wie das externe E-Feld zeigt, weil \(\boldsymbol{E} \geq \boldsymbol{E}_{\text p}\) gilt. \(\boldsymbol{E}_{\text{diel}} \) ist die Vektorsumme:6\[ \boldsymbol{E}_{\text{diel}} ~=~ \boldsymbol{E} + \boldsymbol{E}_{\text p} \]

Damit kann das Gesamtfeld 6 im Dielektrikum mit der Polarisation \(\boldsymbol{P}\), Gl. 5, ausgedrückt werden: 7\[ \boldsymbol{E}_{\text{diel}} ~=~ \boldsymbol{E} - \frac{\boldsymbol{P}}{\varepsilon_0} \]

Das externe Feld \(\boldsymbol{E}\) im Dielektrikum wird durch das E-Feld zwischen den Polarisationsladungen auf den Wert \(\boldsymbol{E}_{\text{diel}} \) abgeschwächt.

Das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}_{\text{diel}}\) erzeugt jeweils eine Kraft \(\boldsymbol{F}_{\text{diel}} = q\,\boldsymbol{E}_{\text{diel}} \) auf die beiden Ladungsschwerpunkte des Dipols. Die anziehende Kraft \(-\boldsymbol{F}_{\text{diel}}\) zwischen den entgegengesetzt geladenen Ladungsschwerpunkten wirkt \(\boldsymbol{F}_{\text{diel}}\) entgegen. Im Gleichgewicht (d.h. sobald die Dipole einen festen Abstand \(\boldsymbol{r}\) eingenommen haben) müssen die beiden Kräfte gleich groß sein, aber entgegengesetzt zueinander zeigen.

Da die im Gleichgewicht entstandene Verschiebung \(\boldsymbol{r}\) der Ladungsschwerpunkte sehr klein ist, lässt sich die rücktreibende Kraft \(-\boldsymbol{F}_{\text{diel}}\) durch das Hooke-Gesetz annähern (hier also: \(\boldsymbol{F}_{\text{diel}} = -\alpha \, \boldsymbol{r}\)). Dieses besagt, dass die Rückstellkraft \(-\boldsymbol{F}_{\text{diel}}\), die den Dipol in seinen unausgelenkten Zustand bringen will, proportional zur Auslenkung \(\boldsymbol{r}\) ist. Da \(-\boldsymbol{F}_{\text{diel}}\) proportional zu \(\boldsymbol{E}_{\text{diel}}\) ist, folgt nach dem Hooke-Gesetz, dass auch \(\boldsymbol{r}\) proportional zu \(\boldsymbol{E}_{\text{diel}}\) ist. Nach 1 ist \(\boldsymbol{r}\) proportional zum Dipolmoment \(\boldsymbol{d}\), also ist \(\boldsymbol{p}\) ebenfalls proportional zum Feld \(\boldsymbol{E}_{\text{diel}}\):8\[ \boldsymbol{d} ~=~ \alpha \, \boldsymbol{E}_{\text{diel}} \]

Hierbei wird die Proportionalitätskonstante \(\alpha\) als Polarisierbarkeit bezeichnet. Diese Materialgröße sagt aus, wie leicht oder schwer es ist das betrachtete Dielektrikum zu polarisieren.

Um den Zusammenhang zwischen Polarisation und E-Feld im Dielektrikum herzustellen, kann 8 in 3 eingesetzt werden:9\[ \boldsymbol{P} ~=~ \frac{N \, \alpha}{V} \, \boldsymbol{E}_{\text{diel}} \]

Elektrische Suszeptibilität

Da die Polarisation \(\boldsymbol{P}\) und Dielektrikum-Feld \(\boldsymbol{E}_{\text{diel}}\) in 9 experimentell schlecht zugänglich sind, kann die Polarisation mit dem experimentell besser zugänglichen extern angelegten elektrischen Feld \(\boldsymbol{E}\) ausgedrückt werden. Dazu wird 9 in 7 eingesetzt:10\[ \boldsymbol{E}_{\text{diel}} ~=~ \boldsymbol{E} - \frac{N \, \alpha}{V \, \varepsilon_0} \, \boldsymbol{E}_{\text{diel}} ~~ \Leftrightarrow \]11\[ \boldsymbol{E}_{\text{diel}} ~=~ \frac{ \boldsymbol{E} }{ 1 + \frac{N \, \alpha}{V \, \varepsilon_0} } \]

Hierbei wird der Faktor \( \chi_{\text e} := \frac{N \, \alpha}{V \, \varepsilon_0} \) als elektrische Suszeptibilität bezeichnet:

12\[ \boldsymbol{E}_{\text{diel}} ~=~ \frac{ \boldsymbol{E} }{ 1 + \chi_{\text e} } \]

Elektrische Suszeptibilität hängt von der Dipoldichte \(N/V\) und von der Polarisierbarkeit \(\alpha\) des Dielektrikums ab. Die Größe von \(\chi_{\text e}\) bestimmt nach 12 wie stark das externe Feld \(\boldsymbol{E}\) im Dielektrikum abgeschwächt wird. Je größer die elektrische Suszeptibilität ist, desto schwächer ist das E-Feld im Dielektrikum. Im Grenzfall \(\chi_{\text e} \rightarrow \infty\) ist das Dielektrikum ein Metall und sein Inneres ist feldfrei. Und im Grenzfall \(\chi_{\text e} \rightarrow 0\) ist das Dielektrikum ein Vakuum.

Elektrische Suszeptibilität ist eine materialspezifische Größe, die die Abschwächung des E-Feldes im Dielektrikum bestimmt.
Details zum Inhalt
  • Copyright: ©2020
  • Lizenz: CC BY 4.0Diese Lektion darf mit der Angabe des Copyrights weiterverwendet werden!
  • Dieser Inhalt wurde hinzugefügt von FufaeV am .
  • Dieser Inhalt wurde aktualisiert von FufaeV am .

Feedback geben

Hey! Ich bin Alexander FufaeV, der Physiker und Autor hier. Es ist mir wichtig, dass du stets sehr zufrieden bist, wenn du hierher kommst, um deine Fragen und Probleme zu klären. Da ich aber keine Glaskugel besitze, bin ich auf dein Feedback angewiesen. So kann ich Fehler beseitigen und diesen Inhalt verbessern, damit auch andere Besucher von deinem Feedback profitieren können.

Wie zufrieden bist Du?