Linear und zirkular polarisierte elektromagnetische Wellen

Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Aktualisiert von Alexander Fufaev am 09.04.2022

Inhaltsverzeichnis

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Betrachte eine ebene, periodische elektromagnetische Welle im Vakuum. Diese hat ein elektrisches Feld $\boldsymbol{E}$ und ein magnetisches Feld $\boldsymbol{B}$.

Für die Polarisation ist nur das E-Feld $\boldsymbol{E} = (E_{\text x}, E_{\text y}, E_{\text z}) $ relevant. Die einzelnen E-Feldkomponenten einer ebenen Welle sind:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix}E_{0 \text x} \, \cos(\omega \, t - k\,z + \alpha) \\ E_{0 \text y} \, \, \cos(\omega \, t - k\,z + \beta) \\ E_{0 \text z} \, \, \cos(\omega \, t - k\,z + \gamma) \end{bmatrix} \end{align} $$

Hierbei ist $\boldsymbol{E}_0 = (E_{0 \text x}, E_{0 \text y}, E_{0 \text z}) $ die Amplitude des E-Feldes, $\omega$ die Kreisfrequenz, $k$ die Wellenzahl und $\alpha, \beta, \gamma$ ist eine zusätzliche Phase, um die Phasenverschiebung zwischen den einzelnen Vektorkomponenten zu kennzeichnen.

Da die elektromagnetische Welle eben ist, hängt 1 nur von einer Ortskoordinate ab (hier ist es die $z$-Koordinate). Und, da die Welle periodisch ist, wird sie durch eine Sinus- oder Cosinusfunktion beschrieben (hier ist es Cosinus). Außerdem breitet sich die Welle in $z$-Richtung aus.

Licht, also eine elektromagnetische Welle, kann zum Beispiel mit einem Polarisationsfilter polarisiert werden. Mathematisch heißt das, dass die E-Feldkomponente 1 je nach Polarisationsart, an bestimmte Bedingungen geknüpft ist. Lass uns dazu zwei wichtige Polarisationsarten und ihre Bedingungen anschauen, nämlich die lineare und zirkulare Polarisation.

Eine Bedingung, die beide Polarisationsarten erfüllen müssen, ist:

Bedingung #1 - für beide Polarisationsarten

Der Amplitudenvektor $\boldsymbol{E}_0 $ ist stets orthogonal zur Ausbreitungsrichtung $z$.

Damit fällt die $E_{\text z}$-Komponente des E-Feldes weg:

Linear polarisierte Welle

Illustration bekommen

Illustration : Eine linear polarisierte E-Feld-Welle.

Eine linear polarisierte elektrische Welle muss neben der Bedingung #1 auch die folgende Bedingung erfüllen:

Bedingung #2 - für eine linear polarisierte ebene Welle

Die Feldkomponenten in $x$- und $y$-Richtung dürfen bei einer linear polarisierten Welle, keine Phasenverschiebung aufweisen.

Du fragst dich, warum das so sein muss? Weil das eine Definition ist! Wenn die beiden Bedingungen erfüllt sind, dann sprechen wir eben von linear polarisierten Wellen.

Nach der Bedingung #2 müssen die Phasen $\omega \, t - k\,z + \alpha$ und $\omega \, t - k\,z + \beta$ gleich sein. Dazu muss $ \alpha = \beta $ erfüllt sein. Lass uns zur Vereinfachung $ \alpha $ und $\beta$ am besten gleich Null setzen (Hauptsache, sie sind BEIDE gleich Null):

$$ \begin{align} \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix}E_{0 \text x} \, \cos(\omega \, t - k\,z) \\ E_{0 \text y} \, \, \cos(\omega \, t - k\,z) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Diesen E-Feld-Vektor können wir natürlich auch kompakt notieren und bekommen:

E-Feld einer linear polarisierten Welle

$$ \begin{align} \boldsymbol{E} ~=~ \boldsymbol{E}_0 \, \cos(\omega \, t - k\,z) \end{align} $$

Zirkular polarisierte Welle

Bei einer zirkular polarisierten Welle ist die Phasenverschiebung $ \beta - \alpha $ zwischen den beiden E-Feldkomponenten nicht gleich Null, wie bei einer linear polarisierten Welle, sondern $\pm \pi/2$ (also 90 Grad).

Bedingung #2 - für eine zirkular polarisierte Welle

Die $E_{\text x}$ und $E_{\text y}$ Komponenten sind um 90 Grad gegeneinander phasenverschoben.

Wenden wir die Definition auf das E-Feld 2 an:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix}E_{0 \text x} \, \cos(\omega \, t - k\,z) \\ E_{0 \text y} \, \, \cos\left(\omega \, t - k\,z - \frac{\pi}{2}\right) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Da Cosinus und Sinus auch um 90 Grad phasenverschoben sind, kann die zweite E-Feldkomponente in 5 mit Sinus ersetzt werden:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix}E_{0 \text x} \, \cos(\omega \, t - k\,z) \\ E_{0 \text y} \, \sin(\omega \, t - k\,z) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Eine weitere Bedingung, die eine zirkular polarisierte Welle erfüllen muss, ist:

Bedingung #3 - für eine zirkular polarisierte Welle

Die Amplituden $E_{0 \text x}$ und $E_{0 \text y}$ müssen gleich sein: $ E_{0 \text x} = E_{0 \text y} := E_0$.

Mit der zweiten Bedingung wird E-Feld 6 zu:

Rechts-zirkular polarisierte ebene Welle

$$ \begin{align} \boldsymbol{E} ~=~ E_0 \, \begin{bmatrix} \cos(\omega \, t - k\,z) \\ \sin(\omega \, t - k\,z) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Das E-Feld 7 entspricht genau der Form der Polardarstellung. Wenn sich also die Zeit $t$ ändert, dann rotiert der E-Feldvektor $\boldsymbol{E}$ in der $x$-$y$-Ebene (siehe Illustration 2). Daher kommt die Bezeichnung "zirkular". Entlang der $z$-Achse rotiert der E-Feldvektor somit spiralenförmig.

Illustration bekommen

Illustration : Eine zirkular polarisierte E-Feld-Welle.

Wird die zirkular polarisierte ebene Welle orthogonal zur $x$-$y$-Ebene in Ausbreitungsrichtung betrachtet, so dreht sich der E-Feldvektor für den Beobachter rechtsherum. Deshalb wird der E-Feldvektor 6 als eine rechts-zirkular polarisierte Welle (oder kurz: $\sigma^{+}$-Welle) bezeichnet.

Werden Cosinus und Sinus in 6 vertauscht, so dreht sich der Feldvektor für den beschriebenen Beobachter linksherum. Diese Welle wird als links-zirkular polarisierte Welle (oder kurz: $\sigma^{-}$-Welle) bezeichnet:

Links-zirkular polarisierte Welle

$$ \begin{align} \boldsymbol{E} ~=~ E_0 \, \begin{bmatrix} \sin(\omega \, t - k\,z) \\ \cos(\omega \, t - k\,z) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Jetzt solltest du ein theoretisch Verständnis über die Definitionen von linear und zirkular polarisierten ebenen Wellen haben.

Video - Elektromagnetische Wellengleichung einfach erklärt

Linear polarisierte Welle

Zirkular polarisierte Welle