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Linear und zirkular polarisierte elektromagnetische Wellen

Zirkular polarisierte Welle
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Periodische ebene Wellen

Betrachte eine ebene, periodische elektromagnetische Welle im Vakuum. Diese hat einen elektrischen Feldanteil \(\boldsymbol{E}\) und einen magnetischen Feldanteil \(\boldsymbol{B}\). Für die Polarisation ist nur das E-Feld \(\boldsymbol{E} = (E_{\text x}, E_{\text y}, E_{\text z}) \) relevant. Die einzelnen E-Feldkomponenten sind:1\[ \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix}E_{0 \text x} \, \cos(\omega \, t - k\,z + \alpha) \\ E_{0 \text y} \, \, \cos(\omega \, t - k\,z + \beta) \\ E_{0 \text z} \, \, \cos(\omega \, t - k\,z + \gamma) \end{bmatrix} \]hierbei ist \(\boldsymbol{E}_0 = (E_{0 \text x}, E_{0 \text y}, E_{0 \text z}) \) die Amplitude des E-Feldes, \(\omega\) die Frequenz, \(k\) die Wellenzahl und \(\alpha, \beta, \gamma\) ist eine zusätzliche Phase, um die Phasenverschiebung zwischen den einzelnen Vektorkomponenten zu kennzeichnen.

Da die elektromagnetische Welle eben ist, hängt 1 nur von einer Ortskoordinate (hier ist es \(z\)-Koordinate) ab. Und, da die Welle periodisch ist, wird sie durch eine Sinus- oder Cosinusfunktion (hier ist es Cosinus) beschrieben. Außerdem breitet sich die Welle in \(z\)-Richtung aus.

Licht, also ein Sammelsurium von elektromagnetischen Wellen, kann zum Beispiel mit einem Polarisationsfilter polarisiert werden. Mathematisch heißt das, dass die E-Feldkomponente 1 je nach Polarisationsart, an bestimmte Bedingungen geknüpft ist. Lass uns dazu zwei wichtige Polarisationsarten und ihre Bedingungen anschauen, nämlich die linear und zirkular polarisierte Wellen.

Eine Bedingung, die beide Polarisationsarten erfüllen müssen, ist:

Bedingung #1 - für beide Polarisationsarten

Die Amplitude \(\boldsymbol{E}_0 \) ist stets orthogonal zur Ausbreitungsrichtung \(z\).

Damit fällt die \(E_{\text z}\)-Komponente des E-Feldes weg: 2\[ \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix}E_{0 \text x} \, \cos(\omega \, t - k\,z + \alpha) \\ E_{0 \text y} \, \, \cos(\omega \, t - k\,z + \beta) \\ 0 \end{bmatrix} \]

Linear polarisierte Welle

Linear polarisierte Welle

Eine linear polarisierte Welle muss außerdem folgende Bedingung erfüllen:

Bedingung #2 - für eine linear polarisierte Welle

Die Feldkomponenten in \(x\)- und \(y\)-Richtung dürfen bei einer linear polarisierten Welle, keine Phasenverschiebung aufweisen.

Das heißt: Die Phasen \(\omega \, t - k\,z + \alpha\) und \(\omega \, t - k\,z + \beta\) müssen gleich sein. Dazu muss \( \alpha = \beta \) erfüllt sein. \( \alpha \) und \(\beta\) dürfen beide Null gesetzt werden:3\[ \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix}E_{0 \text x} \, \cos(\omega \, t - k\,z) \\ E_{0 \text y} \, \, \cos(\omega \, t - k\,z) \\ 0 \end{bmatrix} \]

Oder kompakt notiert:

E-Feld einer linear polarisierten Welle4\[ \boldsymbol{E} ~=~ \boldsymbol{E}_0 \, \cos(\omega \, t - k\,z) \]

Zirkular polarisierte Welle

Zirkular polarisierte Welle

Bei einer zirkular polarisierten Welle ist die Phasenverschiebung zwischen den beiden E-Feldkomponenten nicht Null, sondern \(\pi/2\). Das heißt:

Bedingung #2 - für eine zirkular polarisierte Welle

Die \(E_{\text x}\) und \(E_{\text y}\) Komponenten sind um 90 Grad gegeneinander phasenverschoben.

5\[ \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix}E_{0 \text x} \, \cos(\omega \, t - k\,z) \\ E_{0 \text y} \, \, \cos\left(\omega \, t - k\,z - \frac{\pi}{2}\right) \\ 0 \end{bmatrix} \]

Da Cosinus und Sinus auch um 90 Grad phasenverschoben sind, kann die zweite E-Feldkomponente in 5 mit Sinus ersetzt werden:6\[ \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix}E_{0 \text x} \, \cos(\omega \, t - k\,z) \\ E_{0 \text y} \, \sin(\omega \, t - k\,z) \\ 0 \end{bmatrix} \]

Eine weitere Bedingung, die eine zirkular polarisierte Welle erfüllen muss, ist:

Bedingung #3 - für eine zirkular polarisierte Welle

Die Amplituden \(E_{0 \text x}\) und \(E_{0 \text y}\) müssen gleich sein: \( E_{0 \text x} = E_{0 \text y} := E_0\).

Mit den drei Bedingungen ergibt sich:

Rechts-zirkular polarisierte Welle7\[ \boldsymbol{E} ~=~ E_0 \, \begin{bmatrix} \cos(\omega \, t - k\,z) \\ \sin(\omega \, t - k\,z) \\ 0 \end{bmatrix} \]

E-Feld 7 entspricht genau der Form der Polardarstellung. Wenn sich also die Zeit \(t\) ändert, dann rotiert der E-Feldvektor in der \(x\)-\(y\)-Ebene. Deshalb die Bezeichnung "zirkular". Entlang der \(z\)-Achse rotiert der E-Feldvektor somit spiralenförmig.

Wird die zirkular polarisierte Welle orthogonal zur \(x\)-\(y\)-Ebene in Ausbreitungsrichtung betrachtet, so dreht sich der E-Feldvektor für den Beobachter rechtsherum. Deshalb wird der E-Feldvektor 6 als eine rechts-zirkular polarisierte Welle (oder kurz: \(\sigma^{+}\)-Welle) bezeichnet.

Werden Cosinus und Sinus in 6 vertauscht, so dreht sich der Feldvektor für den beschriebenen Beobachter linksherum:

Links-zirkular polarisierte Welle8\[ \boldsymbol{E} ~=~ E_0 \, \begin{bmatrix} \sin(\omega \, t - k\,z) \\ \cos(\omega \, t - k\,z) \\ 0 \end{bmatrix} \]

Deshalb wird 8 als links-zirkular polarisierte Welle (oder kurz: \(\sigma^{-}\)-Welle) bezeichnet.