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Photoelektrischer Effekt (Photoeffekt)

Äußerer photoelektrischer Effekt - (kurz: Photoeffekt genannt) ist eine Wechselwirkung von Materie mit Licht - nämlich die Fähigkeit von Photonen mit bestimmter Frequenz - Elektronen aus einem Metall herauszulösen.
Was du hier lernst...
  1. Grundlegender Aufbau des ExperimentsHier lernst du, wie ein Experiment zum Photoeffekt aufgebaut ist.
  2. Photonen und ihre EnergieHier lernst du die Energie der Lichtteilchen kennen als wichtige Grundlage für den photoelektrischen Effekt.
  3. Beschleunigungs- und GegenspannungHier lernst du, wie die Polarität der Spannung beim Photoeffekt ausgenutzt wird.
  4. PhotostromHier lernst du, wie man überhaupt feststellt, dass Elektronen herausgelöst werden.
  5. Austrittsarbeit eines MaterialsHier wird die Bindung des Elektrons in der Elektrode erklärt.
  6. GrenzfrequenzHier lernst du, wie die Austrittsarbeit mit der Lichtfrequenz zusammenhängt.
  7. Elektronen mit Photonen herausschlagenHier wird eine experimentell nützliche Formel für den Photoeffekt erklärt und hergeleitet.
  8. Energie-Frequenz-DiagrammHier wird der lineare Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz erklärt und wie an diesem die Planck-Konstante, Austrittsarbeit und Grenzfrequenz abgelesen werden können.
  9. Widersprüche zur WellentheorieHier findest du vier Widersprüche der Beobachtungen beim Photoeffekt zur klassischen Wellentheorie.
Was du dafür wissen musst...

Das Ziel dieser Lektion ist es, die folgende Gleichung für den photoelektrischen Effekt zu verstehen und zwar wie sie das Herauslösen der Elektronen aus einer Metallplatte beschreibt.

\[ h \, f ~=~ \frac{1}{2} \, m_{\text e} \, v^2 ~+~ h \, f_{\text 0} \]

Aufbau des Experiments

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Prinzipieller Versuchsaufbau.

Um den photoelektrischen Effekt nachzuweisen, brauchst Du grundsätzlich vier Dinge:

#1 Monochromatische Lichtquelle - damit erzeugst Du einfarbiges Licht (z.B. grünes Licht). Dafür eignet sich eine Dampflampe (z.B. Natrium- oder Quecksilberdampflampe).

#2 Plattenkondensator - besteht aus zwei Metallplatten (genannt Elektroden), an denen eine elektrische Spannung \(U\) angelegt werden kann. Für den photoelektrischen Effekt sollte es auch möglich sein, die Polarität der Spannung zu wechseln. Das heißt: Es sollte möglich sein eine Elektrode positiv und die andere negativ aufzuladen und andersherum.

#3 Amperemeter - ist ein Strommessgerät, mit dem den elektrischen Strom \(I_{\text P}\) zwischen den beiden Elektroden messen kannst.

#4 Voltmeter - ist ein Spannungsmessgerät, mit dem Du die eingestellte Spannung \(U\) zwischen den beiden Elektroden ablesen kannst.

Photonen und ihre Energie

Das Revolutionäre bei der Erklärung des Photoeffekts ist es, anzunehmen, dass das Licht der verwendeten Lichtquelle sich nicht wellenartig, sondern teilchenartig ausbreitet. Wir nehmen an, dass das Licht aus ganz vielen Lichtteilchen besteht, die wir als Photonen bezeichnen.

Schalte die monochromatische Lichtquelle ein und richte sie auf eine der Elektroden. Weil Du die Lichtquelle auf eine der beiden Elektroden gerichtet hast, knallen viele Photonen auf die Elektrode drauf. Diese Photonen haben eine bestimmte Energie \( W_{\text p} \). Beim monochromatischen Licht haben alle Photonen die gleiche Energie. Diese Energiemenge, die ein Photon hat, ist entscheidend, ob es ein Elektron herausschlagen kann oder nicht.

Vier Photonen, die je nach Frequenz, unterschiedliche Energie & Farbe haben.

Die Lichtquantenhypothese besagt, dass die Energie \( W_{\text p} \) eines einzelnen Photons, der Lichtfrequenz \(f\) entspricht, multipliziert mit dem Wirkungsquantum \(h\) (auch Planck-Konstante genannt):

Energie eines Photons1\[ W_{\text p} ~=~ h \, f \]

Dabei ist \( h ~=~ 6.626 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} \) eine Naturkonstante, die immer dann vorkommt, wenn die Natur einen Quantencharakter zeigt. Wie zum Beispiel in diesem Fall das Licht einen Quantencharakter zeigt.

Da das Wirkungsquantum \(h\) sich nicht ändert, kannst du an der Gleichung 1 ablesen, dass allein die Lichtfrequenz \( f \) darüber entscheidet, wie groß die Energie des Photons ist.

Je größer die Lichtfrequenz \(f\) des Lichts ist, desto größer ist die Energie eines Photons.

Manchmal ist statt der Lichtfrequenz \(f\), die Wellenlänge \( \lambda \) des Lichts bekannt. Aber das ist kein Problem, denn die Lichtfrequenz ist mit der Lichtwellenlänge durch die Lichtgeschwindigkeit \( c \) miteinander verknüpft: \( f = c / \lambda \) . Wenn also statt der Lichtfrequenz die Lichtwellenlänge gegeben ist, dann kannst Du die Photonenenergie 1 auch so ausdrücken:2\[ W_{\text p} ~=~ h \, \frac{c}{\lambda} \]

Die Lichtgeschwindigkeit ist ebenfalls wie das Wirkungsquantum eine Konstante und hat den Wert \( c = 2.998 \cdot 10^8 \, \frac{\text m}{\text s} \).

An der Gleichung 2 kannst Du erkennen, dass Photonen mit einer kleineren (kürzeren) Wellenlänge eine größere Energie tragen! Die Farbe des Lichts ist durch die Lichtwellenlänge bestimmt. Rotes Licht beispielsweise hat eine größere Wellenlänge als blaues Licht. Die Photonen des roten Lichts haben eine kleinere Energie als die Photonen des blauen Lichts.

Tabelle 1: Beispiele für Photonenenergie, sowie die Lichtfarben.
LichtwellenlängeLichtfrequenzEnergie eines Photons
575 nm5.2 × 1014 Hz3.45 × 10-19 J
546 nm5.5 × 1014 Hz3.62 × 10-19 J
435 nm6.9 × 1014 Hz4.55 × 10-19 J
400 nm7.5 × 1014 Hz4.95 × 10-19 J
365 nm (UV-Licht)8.2 × 1014 Hz5.43 × 10-19 J

Viele Photonen, die durch die Lichtquelle erzeugt wurden, fliegen mit der Lichtgeschwindigkeit auf die Elektrodenoberfläche zu und werden von ihr absorbiert. Wenn ein Photon eine genüngend große Energie hat, kann es ein Elektron herauslösen. Hierbei müssen wir zwei wichtige Fragen klären:

  • Woher weiß ich, dass Elektronen herausgelöst werden? Schließlich kann ich sie nicht mit bloßem Auge sehen.
  • Was heißt hier 'genügend große Energie'?

Lies weiter und du wirst diese Fragen nicht mehr haben.

Beschleunigungs- und Gegenspannung

Bevor wir die Frage klären, wie genau festgestellt wird, dass Elektronen herausgelöst werden, widmen wir uns zuerst dem Plattenkondensator zu.

Wird zwischen die beiden Elektroden eine Spannung \(U\) angelegt, so kann die Spannung auf zwei Arten polarisiert sein:

  1. Fall #1: Die bestrahlte Elektrode ist negativ geladen und die gegenüberliegende Elektrode ist positiv geladen. In diesem Fall würde ein aus der bestrahlten Elektrode herausgelöstes Elektron von der gegenüberliegenden positiven Elektrode angezogen. Mit dieser Polarität wird die Spannung als Beschleunigungsspannung \(U_{\text B}\) bezeichnet (siehe Bild 3).
  2. Fall #2: Die bestrahlte Elektrode ist positiv geladen und die gegenüberliegende Elektrode ist negativ geladen. In diesem Fall würde ein aus der bestrahlten Elektrode herausgelöstes Elektron von der gegenüberliegenden negativen Elektrode abgestoßen. Mit dieser Polarität wird die Spannung als Gegenspannung \(U_{\text G}\) (oder Bremsspannung) bezeichnet (siehe Bild 4). Wird zur Untersuchung des Photoeffekts eine Gegenspannung eingesetzt, so spricht man in diesem Zusammenhang von der Gegenfeldmethode.
Die Beschleunigungsspannung \(U_{\text B}\) würde ein herausgelöstes Elektron zur gegenüberliegenden Elektrode beschleunigen. Die Gegenspannung \(U_{\text G}\) würde ein herausgelöstes Elektron abbremsen.
Von der bestrahlten Elektrode zur gegenüberliegenden Elektrode fliegenden Elektronen werden beschleunigt (Beschleunigungsspannung).
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Von der bestrahlten Elektrode zur gegenüberliegenden Elektrode fliegenden Elektronen werden gebremst (Gegenspannung).

Bewegt sich ein Elektron von der einen geladenen Elektrode zur anderen, so gewinnt oder verliert es Energie, je nachdem, ob Beschleunigungsspannung oder Gegenspannung eingestellt ist. Das Elektron mit der Elementarladung \(e\) gewinnt / verliert betragsmäßig folgende Energie \(W_{\text e}\):3 \[ W_{\text e} ~=~ e\,U \]

Wie an 3 zu sehen, verliert / gewinnt ein Elektron mehr Energie, wenn eine größere Spannung \(U\) eingestellt wird.

  • Im Fall der Beschleunigungsspannung gewinnt das Elektron die Energie \(e\,U_{\text B}\), weil es von der bestrahlten Elektrode zur gegenüberliegenden Elektrode beschleunigt wird
  • Im Fall der Gegenspannung verliert das Elektron die Energie \(e\,U_{\text G}\), weil es von der bestrahlten Elektrode zur gegenüberliegenden Elektrode abgebremst wird.

Photostrom

Um festzustellen, ob Elektronen herausgelöst werden, brauchen wir ein Amperemeter, das den elektrischen Strom zwischen den beiden Elektroden misst. Wird nun die Elektrode mit einer genügend großen Lichtfrequenz bestrahlt, so zeigt das Amperemeter einen von Null verschiedenen Strom an.

Das ist genau der elektrische Strom, der dazu dient, nachzuweisen, dass das Licht die Elektronen herausschlägt. Wenn du das Licht ausschaltest, dann sinkt der Photostrom auf Null. Wenn das das Licht wieder einschaltest, dann zeigt das Amperemeter wieder einen von Null verschiedenen Wert an.Ein elektrischer Strom, der durch herausgeschlagene Elektronen verursacht wird, heißt Photostrom \(I_{\text P}\).

Den Photostrom \(I_{\text P}\) zwischen den beiden Elektroden kannst Du grundsätzlich auf zwei Weisen beeinflussen:

  1. Lichtintensität verändern: Du kannst beispielsweise mittels einer Blende die Intensität des einfallenden Lichtes regulieren und somit die Anzahl der Photonen variieren, die auf die Elektrode fallen. Dadurch ändert sich auch die Anzahl der herausgeschlagenen Elektronen. Verdopplung der Lichtintensität und damit die Verdopplung der Photonenanzahl, ergibt einen doppelt so großen Photostrom.
  2. Spannung verändern: Mithilfe einer größeren Beschleunigungsspannung kannst Du langsamere Elektronen beschleunigen, sodass auch sie die gegenüberliegende Elektrode erreichen und damit zum höheren Photostrom beitragen. Mithilfe einer größeren Gegenspannung dagegen, kannst du auch schnellere Elektronen abbremsen, sodass sie die gegenüberliegende Elektrode nicht erreichen und damit der Photostrom sinkt.

Bei einer abgestellten Spannungsquelle kannst du mit passender Lichtfrequenz trotzdem einen Photostrom messen, denn manche Elektronen fliegen direkt nach dem Herauslösen gerade in Richtung der gegenüberliegenden Elektrode. Bedenke jedoch, dass nicht alle herausgelösten Elektronen - bei ausgeschalteter Spannung - auf der gegenüberliegenden Elektrode landen. Der gemessene Photostrom ist nicht maximal! Der Grund dafür ist, dass manche Elektronen schräg aus der bestrahlten Elektrode austreten und die gegenüberliegende Elektrode verfehlen. Wie kannst aber du sicherstellen, dass ALLE Elektronen auf der Elektrode langen werden? Oder anders gesagt: Wie kannst du den Photostrom maximieren?

Photostrom in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung. Mit einer größeren Spannung geht der Strom in Sättigung.

Hier kommt die Beschleunigungsspannung ins Spiel! Erhöhe die Beschleunigungsspannung \(U_{\text B}\). Dadurch wird die gegenüberliegende Platte noch stärker positiv geladen. Das resultiert natürlich in einer größeren Anziehungskraft auf alle herausgeschlagenen Elektronen. Erhöhe die Spannung solange sich der Photostrom \(I_{\text P}\) auch erhöht. Wenn Du die Spannung so hoch drehst, dass der Photostrom am Amperemeter sich nicht mehr ändert, das heißt, in Sättigung geht, dann landen alle Elektronen auf der gegenüberliegenden Elektrode. Die elektrische Anziehungskraft der gegenüberliegenden Elektrode auf die Elektronen wird so groß, dass selbst die schräg heraustretenden Elektronen, 'eingesaugt' werden.

Beispiel: Wie viele Elektronen werden herausgelöst?

Aus dem gemessenen maximalen Photostrom \( I_{\text P} \) kannst Du die Anzahl \( N \) der herausgelösten Elektronen herausfinden. Der elektrische Strom sagt ja aus, wie viel Ladung \( Q \) pro Zeit \( t \) durch das Amperemeter geht. Die Ladung \( Q = N \, e \) ist ein Vielfaches der Elementarladung \( e = 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \). Stelle nach der Anzahl um, dann hast Du:4\[ N ~=~ \frac{I_{\text P}}{e} \, t \]

Innerhalb einer Sekunde \( t = 1 \, \text{s} \) bei einem gemessenen Photostrom \( I_{\text P} = 0.5 \, \text{A} \), landen so viele Elektronen auf der gegenüberliegenden Platte:4.1\[ N ~=~ \frac{0.5 \, \text{A}}{1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C}} \cdot 1 \, \text{s} = 3.121 \cdot 10^{18} \]Es müssen mindestens so viele Photonen auf die Platte getroffen sein, weil ja jedes Elektron von genau einem Photon herausgeschlagen wird. Übertrieben viele! BAM! BAM! BAM!

Austrittsarbeit eines Materials

Im Experiment zum photoelektrischen Effekt wird festgestellt, dass nicht jedes Licht in der Lage ist, Elektronen herauszuschlagen. Die Elektronen können sich zwar innerhalb der metallischen Elektrode frei bewegen, aber sie können nicht aus dem Metall heraus, weil sie an das Metall gebunden sind. Diese Bindung des Elektrons an das Metall kann überwunden werden, wenn man dem Elektron soviel Energie zuführt, dass es aus der Bindung herausgerissen werden kann. Wenn Du aber dem Elektron nicht genügend Energie zuführst, dann bleibt es natürlich weiterhin gebunden. Die Energie \(W\), die notwendig ist, um ein Elektron aus einer Metallelektrode herauszuschlagen, wird als Austrittsarbeit (oder Austrittsenergie) bezeichnet.

Die Austrittsarbeit \(W\) ist unterschiedlich, je nach dem, aus welchem Material die Elektrode besteht. Eine Elektrode aus Nickelium hat eine größere Austrittsarbeit als eine Elektrode aus Aluminimum. Die Elektronen sind an die Nickelium-Elektrode stärker gebunden als an die Aluminium-Elektrode. Folglich wird es schwieriger sein, Elektronen aus der Nickelium-Elektrode herauszulösen. Hier ein paar Beispiele für verschiedene Materialien:

Tabelle 2: Material und seine Austrittsarbeit
MaterialAustrittsarbeit
Aluminium (Al)4.20 eV
Cesium (Cs)1.94 eV
Ferrium (Fe)4.63 eV
Zinkium (Zn)4.34 eV
Platinium (Pt)5.36 eV
Austrittsarbeit \(W\) hängt vom verwendeten Material der bestrahlten Elektrode ab.

Du hast wahrscheinlich an der Tabelle 2 gemerkt, dass die Austrittsarbeit nicht in Joule (J) angegeben wurde, sondern in Elektronenvolt (eV). Das ist eine typische kompakte Energieeinheit, in der die Austrittsarbeit angegeben wird. (Wie rechne ich Elektronenvolt in Joule um?)

Wie lieferst Du denn dem Elektron diese notwendige Energie? Also wie überwindest Du diese Austrittsarbeit und damit auch die Bindung des Elektrons an die Elektrode? Genau jetzt kommen Photonen ins Spiel. Du hast ja gelernt, dass das Photon eine Energie \( W_{\text p} \) trägt, die durch die Lichtfrequenz \( f \) bzw. Lichtwellenlänge \( \lambda \) bestimmt ist. Es gibt nun zwei Möglichkeiten, die eintreten können:

  1. \(W_{\text p} < W \): Die Photonenenergie ist kleiner als die Austrittsarbeit. In diesem Fall kann das Photon kein Elektron herauslösen.
  2. \(W_{\text p} \geq W \): Die Photonenenergie ist größer als die Austrittsarbeit. In diesem Fall schlägt das Photon ein Elektron heraus.

Grenzfrequenz

Nehmen wir mal an, dass wir Photonen benutzen, deren Energie \(W_{\text p}\) kleiner als die Austrittsarbeit \(W\) ist. Es können damit also keine Elektronen herausgelöst werden. Was musst du tun, um die Photonenenergie größer als die Austrittsarbeit zu machen? Schau dir die Gleichung 1 und 2 an. Du musst einfach das Licht mit einer größeren Frequenz \(f\) (kleinere Wellenlänge \(\lambda\)) einsetzen.

Wenn du die Lichtfrequenz \(f\) erhöhst, kommst du irgendwann bei der sogenannten Grenzfrequenz \(f_0\) an.Die Frequenz, die das Licht mindestens haben muss, um Elektronen herauszuschlagen, heißt Grenzfrequenz \(f_0\).

Nach 1 entspricht die Photonenenergie \( h \, f_0 \) genau der Austrittsarbeit \(W\).

Austrittsarbeit mittels Grenzfrequenz5\[ W ~=~ h \, f_0 \]

Wenn du es schaffst, die Lichtfrequenz \(f_0\) (Grenzfrequenz) einzustellen, dann kannst du mithilfe der Gleichung 5 eine wichtige Eigenschaft des bestrahlten Materials herausfinden, nämlich seine Austrittsarbeit.

Offensichtlich ist die Grenzfrequenz \(f_0\) unterschiedlich, je nach dem, welches Material bestrahlt wird. Schließlich haben unterschiedliche Materialien unterschiedliche Austrittsarbeiten. Für Nickelium-Elektrode ist die Grenzfrequenz größer als für Aluminium-Elektrode, weil die Elektronen in der Nickelium-Elektrode stärker gebunden sind (Nickelium hat eine größere Austrittsarbeit).

Mithilfe der allgemeinen Beziehung \( c = \lambda \, f\) zwischen der Wellenlänge und der Frequenz, kannst du die Austrittsarbeit 5 auch mithilfe der Grenzwellenlänge \(\lambda_0\) ausdrücken.

Austrittsarbeit mittels Grenzwellenlänge6\[ W ~=~ h \, \frac{c}{\lambda_0} \]
Die Grenzwellenlänge \(\lambda_0\), ist die Wellenlänge des Lichts, ab der die Elektronen aus dem Elektrodenmaterial herausgelöst werden können.
Tabelle 3: Grenzfrequenz für einige Materialien.
MaterialGrenzfrequenz \(f_0\)Grenzwellenlänge \(\lambda_0\)
Natrium (Na)5.5 × 1014 Hz545 nm
Aluminium (Al)1.01 × 1015 Hz297 nm
Zinkium (Zn)1.05 × 1015 Hz285 nm
Nickelium (Ni)1.21 × 1015 Hz248 nm

Äquivalent zu den beiden obigen Bedingungen für Photonenenergie und Austirttsarbeit, können zwei Bedingungen für Frequenz \(f\) und Grenzfrequenz \(f_0\) aufgestellt werden:

  1. \(f < f_0 \): Die verwendete Lichtfrequenz ist kleiner als die Grenzfrequenz. In diesem Fall kann das Photon kein Elektron herauslösen.
  2. \(f \geq f_0 \): Die verwendete Lichtfrequenz ist größer als die Grenzfrequenz. In diesem Fall schlägt das Photon ein Elektron heraus.

Elektronen mit Photonen herausschlagen

Was ist aber, wenn Du eine höhere Frequenz des Lichts nimmst als die Grenzfrequenz \( f_0 \)? Oder äquivalent dazu: Was ist, wenn die Photonenenergie echt größer ist als die Austrittsarbeit: \( W_{\text p} \gt W \)? Ein Teil der Photonenenergie (nämlich \( W \)) wird fürs Überwinden der Bindung des Elektrons gebraucht, um es aus der Elektrode herauszulösen. Diese Austrittsenergie \(W\) ziehen wir von der Photonenenergie ab. Es bleibt aber noch eine Restenergie über:7\[ W_{\text{rest}} ~=~ W_{\text p} ~-~ W \]

Wo steckt diese Restenergie? Sie kann ja schließlich nach dem Energieerhaltungssatz nicht einfach ins Nichts verschwinden!

Im Experiment wird beobachtet, dass, wenn du Licht mit ausreichend großer Frequenz verwendest, dass dann das Amperemeter einen von Null verschiedenen elektrischen Strom anzeigt: \( I_{\text P} \neq 0 \). So wie es aussieht, haben herausgelöste Elektronen noch eine Geschwindigkeit in Richtung der gegenüberliegenden Elektrode. Und da haben wir unsere Restenergie 7! Die nach dem Herauslösen übrig gebliebene Energie wird dem Elektron in Form von kinetischer Energie \( W_{\text{kin}} \) (Bewegungsenergie) mitgegeben. Die Restenergie ist die kinetische Energie des herausgelösten Elektrons: \( W_{\text{kin}} = W_{\text{rest}} \).

Kinetische Energie des herausgelösten Elektrons8\[ W_{\text{kin}} ~=~ W_{\text p} ~-~ W \]
Je größer die Photonenenergie \( W_{\text p} \) und je kleiner die Austrittsarbeit \( W \) des Materials, desto schneller sind die herausgelösten Elektronen.

Du kannst die Photonenergie 1 in 8 einsetzen:9\[ W_{\text{kin}} ~=~ h \, f ~-~ W \]

Um die konkrete Geschwindigkeit \( v \) der herausgelösten Elektronen herauszufinden, setzt du für \(W_{\text{kin}}\) die klassische Formel für kinetische Energie ein:10\[ \frac{1}{2} \, m_{\text e} \, v^2 ~=~ h \, f ~-~ W \]wobei \( m_{\text e} ~=~ 9.109 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \) die Ruhemasse des Elektrons ist.

Umgestellt nach der Photonenenergie, bekommst du die berühmte Formel für den photoelektrischen Effekt, für die Albert Einstein den Nobelpreis bekam:

Einstein-Formel11\[ h \, f ~=~ \frac{1}{2} \, m_{\text e} \, v^2 ~+~ W \]
Die Photonenenergie \(h\,f\) wird zum Teil zur Überwindung der Austrittsarbeit \(W\) benutzt und die Restenergie dem Elektron als kinetische Energie mitgegeben.

Die Geschwindigkeit \(v\) in 11 ist nicht direkt messbar, deshalb drücken wir sie mit der messbaren Größe aus und zwar mithilfe der Gegenspannung \( U_{\text G}\).

Dazu musst du die Gegenspannung im Experiment ganz langsam erhöhen und dabei beobachten, wie der Photostrom sinkt. Es erreichen auf diese Weise immer weniger Elektronen die gegenüberliegende Elektrode. Irgendwann kommst du bei einem Wert der Gegenspannung an, bei dem die Abstoßungskraft der gegenüberliegenden Elektrode so groß ist, dass kein einziges Elektron mehr die Elektrode erreicht. Der Photostrom ist auf Null gesunken. Hiermit hast du die letzten schnellsten Elektronen abgebremst. Bei diesem Wert der Gegenspannung hat das schnellste Elektron die Energie \(e \, U_{\text G}\) verloren. Diese verlorene Energie entspricht gerade seiner kinetischen Energie:12\[ \frac{1}{2} \, m_{\text e} \, v^2 ~=~ e \, U_{\text G} \]

Du darfst auf diese Weise die kinetische Energie in 11 mit \(e \, U_{\text G}\) ersetzen:

13\[ h \, f ~=~ e \, U_{\text G} ~+~ W \]

Mithilfe von 13, kannst du bei gegebener Lichtfrequenz/Wellenlänge und auf dem Voltmeter abgelesener Gegenspannung, die Austrittsarbeit des Materials herausfinden. Oder bei gegebener Austrittsarbeit und Gegenspannung die Lichtfrequenz / Lichtwellenlänge herausfinden.

Beachte jedoch, dass du die Gegenspannung nicht weiter erhöhen darfst, damit die Gleichung 12 gilt. Weiteres Erhöhen der Gegenspannung ändert nichts mehr am Photostrom, weil dieser schon Null ist. Du musst genau den Gegenspannungswert einstellen, bei dem der Photostrom gerade noch so Null wird!

Energie-Frequenz-Diagramm

Linearer Zusammenhang zwischen kinetischer Energie \( W_{\text{kin}} \) der herausgelösten Elektronen und Lichtfrequenz \( f \). Hieraus können Grenzfrequenz \( f_{0} \), Austrittsarbeit \( W \) und Wirkungsquantum \( h \) abgelesen werden.

Du kannst die Gleichung 9 graphisch veranschaulichen. Auf der \(y\)-Achse wird kinetische Energie \( W_{\text{kin}} \) und auf der \(x\)-Achse die Lichtfrequenz \( f \) aufgetragen.

Wenn du dir die Gleichung 9 genau anschaust, dann erkennst du, dass es eine Geradengleichung von der Form \( y = mx+b \) ist. In unserem Fall gilt:

  • \(y\)-Achse ist die kinetische Energie: \( y = W_{\text{kin}}\).
  • \(x\)-Achse ist die Lichtfrequenz: \(x = f\).
  • Die Steigung \(m\) der Geraden ist das Wirkungsquantum: \( m = h \).
  • \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) ist die negative Austrittsarbeit: \( b = -W \).

Wenn du in Gl. 9 die kinetische Energie Null setzt: \( W_{\text{kin}} = 0 \), um den Schnittpunkt der Geraden mit der \(x\)-Achse zu bekommen, wirst du nach dem Umformen feststellen, dass der Schnittpunkt der Grenzfrequenz \( f_0 \) entspricht (siehe Bild 6).

Mit diesem Wissen bist du in der Lage mithilfe des photoelektrischen Effekts das Wirkungsquantum \(h\) zu bestimmen.

Wie die Steigung einer Geraden bestimmt werden kann, kennst du hoffentlich aus der Mathematik: 14\[ m ~=~ \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \]

In unserem Fall entspricht die Steigung dem Wirkungsquantum: \( m = h\). Dabei sind \(y_{2}\) und \(y_{1}\) zwei beliebige Werte \(W_{\text{kin,1}}\) und \(W_{\text{kin,2}}\) für kinetische Energie der Elektronen. Und \(x_{2}\), \(x_{1}\) sind dazugehörige Lichtfrequenzen \(f_2\), \(f_1\). Also kannst du Gleichung 14 für unseren Fall umschreiben: 15\[ h ~=~ \frac{W_{\text{kin, 2}}-W_{\text{kin, 1}}}{f_2 - f_1} \]

Blöderweise ist die kinetische Energie der Elektronen nicht direkt experimentell zugänglich. Da du das Experiment in einem Plattenkondensator durchführst, kannst du diesen ausnutzen, um die kinetische Energie mit einer experimentell zugänglichen Größe umzuschreiben. Diese Größe ist die Gegenspannung \(U_{\text G}\) zwischen den beiden Elektroden.

Die kinetische Energie entspricht in diesem Fall der elektrischen Energie: \(W_{\text{kin}}=e \, U_{\text G}\). Hier ist \(U_{\text G}\) die Gegenspannung, die zur vollständigen Abbremsung der jeweiligen Elektronen notwendig ist. Einsetzen in 15 ergibt:16 \[ h ~=~ \frac{e \, U_{\text{G},2} ~-~ e \, U_{\text{G},1}}{f_2 ~-~ f_1} \]

Untersuche also den Photoeffekt mit zwei unterschiedlichen, bekannten Lichtfrequenzen \(f_1\) und \(f_2\), lies dabei die dazugeörigen Gegenspannungen \(U_{\text{G},1}\) und \(U_{\text{G},2}\) ab. Benutze 16 um das Wirkungsquantum \(h\) experimentell zu bestimmen.

Widersprüche zur Wellentheorie

Das, was im Experiment beobachtet wird, kann nicht mit der Annahme erklärt werden, dass das Licht wellenartig ist.

Nach der klassischen Vorstellung müssten Elektronen mit jeder Lichtfrequenz \( f \) herausgelöst werden können. So etwas wie eine Grenzfrequenz \( f_0 \) existiert nicht in der Wellentheorie. Dies widerspricht jedoch dem Experiment! Widerspruch zur Wellentheorie #1
Es existiert eine Grenzfrequenz \( f_0 \). Photonen mit kleinerer Lichtfrequenz \( f \lt f_0 \) können keine Elektronen herausschlagen!

Nach der klassischen Wellentheorie könntest du die Metallplatte mit einer beliebigen Lichtfrequenz \( f \) einfach länger bestrahlen - solange, bis genügend Energie zugeführt wurde, sodass die Elektronen aus der Platte austreten können. Der Photoeffekt würde dann nach einer Zeitverzögerung stattfinden. Das Experiment zum Photoeffekt zeigt aber: Egal wie lange du die Metallplatte bestrahlst, es treten keine Elektronen aus, wenn die Lichtfrequenz zu niedrig ist. Widerspruch zur Wellentheorie #2
Die Bestrahlungsdauer spielt keine Rolle; Elektronen werden ohne Zeitverzögerung herausgeschlagen!

Nach der klassischen Wellentheorie müsste die kinetische Energie der Elektronen \( W_{\text{kin}} \) mit steigender Lichtfrequenz \( f \) abnehmen, da im klassischen Wellenbild folgende Proportionalität gilt: \( W_{\text{kin}} \sim 1/f^2 \). Sie müsste sogar quadratisch abnehmen. Was man aber beim Experiment zum Photoeffekt feststellt, ist eine Zunahme und keine Abnahme der kinetischen Energie.Widerspruch zur Wellentheorie #3
Die kinetische Energie der Elektronen nimmt mit der Lichtfrequenz \( f \) zu!

Außerdem sollte die kinetische Energie nach der klassischen Vorstellung mit der Amplitude des einfallenden Lichts quadratisch zunehmen: \( W_{\text{kin}} \sim A^2 \). Eine Erhöhung der Amplitude, d.h. eine Erhöhung der Lichtintensität (Licht heller machen) hat laut dem Experiment keinen Einfluss auf die kinetische Energie der Elektronen.Widerspruch zur Wellentheorie #4
Die kinetische Energie der Elektronen ist unabhängig von der Lichtintensität!

Wissenswertes!Nimm einen sehr intensiven Lichtstrahl und fokussiere ihn auf eine sehr spitze Nadel (Nanometer-Bereich). Dann sind die Photonen extrem dicht beieinander, sodass es passieren kann, dass zwei Photonen gleichzeitig auf ein Elektron treffen können und zusammen die nötige Austrittsarbeit aufbringen können. Bei sehr hohen Lichtintensitäten hat auf diese Weise sogar Licht mit einer niedrigeren Frequenz als der Grenzfrequenz die Fähigkeit, Elektronen herauszuschlagen! Die Bedingungen sind entscheidend!
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