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De-Broglie-Wellenlänge von Materiewellen

de-Broglie-Wellenlänge - ist eine Wellenlänge, die einem massebehafteten Teilchen zugewiesen wird.
Level 2
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Welle-Teilchen-Dualismus

Vier Lichtteilchen (Photonen) unterschiedlicher Frequenz bzw. Wellenlänge.

Nachdem Albert Einstein den photoelektrischen Effekt erklärt hat, indem er angenommen hat, dass das Licht aus Teilchen (Photonen) besteht, kam Loius de-Broglie (ausgesprochen: de-broi) auf eine ähnliche Idee. Er dachte sich: Wenn es möglich war, dem wellenartigen Licht einen Teilchencharakter zuzuweisen, dann spricht es erstmal nichts dagegen, einer teilchenartigen Punktmasse einen Wellencharakter zuzuweisen.

Und diese Annahme wurde tatsächlich experimentell nachgewiesen (z.B. beim Davisson-Germer-Experiment) und wird heutzutage beispielsweise bei der Elektronenbeugung ausgenutzt. So wie das Licht, sind auch die Elektronen in der Lage ein Interferenzmuster beim Doppelspalt-Experiment zu erzeugen.

Diese Feststellung, dass Licht und Materie sich je nach Situation wellenartig und teilchenartig verhalten können, wird als Welle-Teilchen-Dualismus bezeichnet.

De-Broglie-Wellenlänge

Ein Photon der Wellenlänge \( \lambda \) hat den Impuls:1\[ p ~=~ \frac{h}{\lambda} \]hierbei ist \(h\) das Wirkungsquantum, eine Naturkonstante mit dem Wert \( h = 6.6 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} \).

Analog kann einem massebehafteten Teilchen, das einen Impuls \(p\) hat, eine Wellenlänge zugeordnet werden. Dazu wird 1 nach der Wellenlänge umgestellt:2\[ \lambda ~=~ \frac{h}{p} \]

Ein Teilchen als Welle betrachtet, mit der zugehörigen de-Broglie-Wellenlänge.

Der Impuls \(p\) eines klassischen Teilchens ist definiert als das Produkt der Masse \(m\) des Teilchens und seiner Geschwindigkeit \(v\), also: \( p = m \, v \). Den Impuls setzen wir in 2 ein und interpretieren die Wellenlänge \(\lambda\) als die de-Broglie-Wellenlänge eines Teilchens:

De-Broglie-Wellenlänge (Materiewellenlänge)3\[ \lambda ~=~ \frac{h}{m \, v} \]

Aus der Beziehung 3 kannst du herauslesen, dass schnelle + schwere Teilchen (großer Impuls) eine kürzere de-Broglie-Wellenlänge haben als langsame + leichte Teilchen (kleiner Impuls).

Wenn die Geschwindigkeit \(v\) des Teilchens und damit der Impuls des Teilchens gegen Null geht (ein Teilchen ohne Impuls ist ein ruhendes Teilchen), dann wird die de-Broglie-Wellenlänge sehr groß. Physikalisch bedeutet es wiederum, dass das Teilchen, beispielsweise in einem Metall, über die ganze Metallprobe "verschmiert" ist. Interferenzphänomene zwischen mehreren Teilchenwellen im Metall werden nicht mehr vernachlässigbar. Das Teilchen zeigt ihren Wellencharakter und verhält sich eher quantenmechanisch.

Bei einer großen Geschwindigkeit und großer Masse des Teilchens, ist die de-Broglie-Wellenlänge vernachlässigbar klein. Das Teilchen verhält sich wie ein echtes klassisches Teilchen und kann mit der klassischen Mechanik beschrieben werden. Quanteneffekte, wie die Teilcheninterferenz, spielen hier keine Rolle.Mithilfe der de-Broglie-Wellenlänge kannst du (z.B. in einem Experiment) abschätzen, ob ein Objekt sich eher wellenartig oder teilchenartig verhalten wird.

Beispiel: Ein Elektron im Metall

In einem Metall existieren freie Elektronen (man bezeichnet sich zusammen auch als Elektronengas), die bei Zimmtertemperatur eine thermische Geschwindigkeit von \( v \approx 10^6 \, \frac{\text m}{\text s}\) haben. Mit thermisch ist gemeint, dass die Elektronen im Metall sich ungerichtet bewegen. Nach einem Stoß mit einem Metallatom bewegt es sich in die eine Richtung. Nach dem anderen Stoß in die andere Richtung. Mit einer Ruhemasse von \( m_{\text e} = 9.1 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \) wird die de-Broglie-Wellenlänge eines freien Elektrons zu:\[ \lambda ~=~ \frac{ 6.6\cdot 10^{-34}\,\text{Js} }{9.1 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \cdot 10^6 \, \frac{\text m}{\text s} } ~=~ 7.2 \cdot 10^{-10}\,\text{m} \]

Das sind \( 0.72 \, \text{nm} \). Zum Vergleich: Der Durchmesser der DNA-Doppelhelix ist in der Größenordnung \( 2 \, \text{nm} \).

Klassisches Gas vs. Quantengas

Ein Teilchen der Masse \(m\), das sich mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt, besitzt eine kinetische Energie:4\[ W_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 \]

Betrachte ein Gas in einem sogenannten thermodynamischen Gleichgewicht, also ein Sammelsurium von herumfliegenden, nicht gebundenen Teilchen einer konstanten Temperatur \(T\). Jedem Gasteilchen lässt sich nach der Thermodynamik folgende mittlere kinetische Energie zuordnen:5\[ W_{\text{kin}} ~=~ \frac{3}{2} \, k_{\text B} \, T \]hierbei ist \( k_{\text B} = 1.38 \cdot 10^{-23} \, \frac{\text J}{\text K}\) die Boltzmann-Konstante und \(T\) die Temperatur des betrachteten Gases.

Setze 4 und 5 gleich und stelle nach der Geschwinigkeit \(v\) um:6\[ v ~=~ \sqrt{\frac{3\, k_{\text B}\,T}{m}} \]

Ist dir die Masse \(m\) des Gasteilchens und die Temperatur \(T\) des Gases bekannt, so kannst du Gl. 6 in die de-Broglie-Beziehung 3 für Geschwindigkeit einsetzen, um die de-Broglie-Wellenlänge mittels einer Temperatur auszudrücken:

De-Broglie-Wellenlänge mittels Temperatur7\[ \lambda ~=~ \frac{h}{ \sqrt{3\,m\,k_{\text B}\,T} } \]

Mithilfe der de-Broglie-Wellenlänge 7 lässt sich abschätzen, ob ein Gas sich eher klassisch oder quantenmechanisch verhält.

  • Ein Gas, dass aus leichten Gasteilchen besteht und möglichst kalt ist, tendiert eher zu einem Quantengas. Dieses gehorcht den Gesetzen der Quantenmechanik.
  • Ein Gas, dass aus schweren Gasteilchen besteht und möglichst heiß ist, tendiert eher zu einem klassischen Gas. Dieses gehorcht den Gesetzen der klassischen Mechanik und der Thermodynamik.
Beispiel: Heliumgas

Ein Helium-Atom hat die Masse \( m = 4u = 6.64 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} \). Wenn das Heliumgas eine Temperatur von \( 300 \, \text{K}\) (Zimmertemperatur) hat, dann hat ein Helium-Atom in diesem Gas die folgende de-Broglie-Wellenlänge:\[ \lambda ~=~ \frac{6.6 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} }{ \sqrt{ 3 \cdot 6.64\cdot 10^{-27}\,\text{kg} \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \, \frac{\text J}{\text K} \cdot 300 \, \text{K} } } ~=~ 7.3 \cdot 10^{-11} \, \text{m} \]

Also eine Wellenlänge \( \lambda = 73 \, \text{pm} \) (Pikometer). Zum Vergleich: Ein Helium-Atom ist ungefähr \( 30 \, \text{pm} \) groß.

Bei einem sehr kalten Heliumgas (\( T = 0.1\,\text{K} \)) ist die de-Broglie-Wellenlänge größer: \( \lambda = 4 \, \text{nm} \).

Teilchen im elektrischen Feld

Neben der Temperatur, kann auch ein elektrisches Feld dazu benutzt werden, um die de-Broglie-Wellenlänge eines Teilchens zu verändern. Beachte jedoch, dass nur elektrisch geladene Teilchen im elektrischen Feld beschleunigt werden können (z.B. Elektronen, Ionen). Ungeladene Teilchen (Neutronen, Helium-Atome) sind dafür ungeeignet.

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Eine positive Ladung wird zur positiven Platte beschleunigt und gewinnt dadurch kinetische Energie.

Betrachte ein elektrisch positiv geladenes Teilchen mit der Ladung \(q\) in einem elektrischen Feld. Zum Beispiel im homogenen Feld eines Plattenkondensators. Das E-Feld wird durch das Anlegen einer elektrischen Spannung \(U\) zwischen den beiden Platten erzeugt. Wird nun ein ruhendes positiv geladenes Teilchen an der positiv geladenen Platte platziert, dann erfährt es eine Kraft \(F\) zur negativen Platte hin. Dadurch wird das Teilchen beschleunigt, die Geschwindigkeit nimmt zu und damit auch die kinetische Energie. Sobald das positive Teilchen an der negativen Platte angekommen ist, hat es die folgende Energie in Form von kinetischer Energie gewonnen: 8\[ W_{\text{kin}} ~=~ q \, U \]

Setze die kinetische Energie 4 mit 8 gleich und stelle sie nach der Geschwindigkeit \(v\) um:9\[ v ~=~ \sqrt{ \frac{2\,q\,U}{m} } \]

Mit 9 kannst du die Geschwindigkeit eines Teilchens herausfinden. Diese kannst du in die de-Broglie-Beziehung 3 einsetzen, um die de-Broglie-Wellenlänge des geladenen Teilchens zu bestimmen:

De-Broglie-Wellenlänge mittels Spannung10\[ \lambda ~=~ \frac{h}{ \sqrt{2m\,q\,U} } \]
Beispiel: Elektron beschleunigen

Ein ruhendes Elektron mit der Elementarladung \( |q| = 1.6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \) und der Ruhemasse \( m_{\text e} = 9.1 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \), durchläuft eine Spannung von \( U = 1 \, \text{kV} \) (Kilovolt). Damit wird seine de-Broglie-Wellenlänge zu:\[ \lambda ~=~ \frac{6.6\cdot 10^{-34}\,\text{Js} }{ \sqrt{ 2 \cdot 9.1 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 1000 \, \text{V} } } ~=~ 38.7 \cdot 10^{-12} \, \text{m} \]

Das sind \( 38.7 \, \text{pm} \). Wenn das Elektron dagegen nur eine Spannung von \( U = 1\,\text{V}\) durchläuft, ist seine de-Broglie-Wellenlänge größer und beträgt dann \( 1.2 \, \text{nm} \).

Relativistische Teilchen

Wird die Geschwindigkeit eines Teilchens groß, indem es beispielsweise eine sehr große Spannung durchläuft oder das Gas indem es sich befindet, stark erhitzt wird, dann dürfen relativistische Effekte nicht mehr vernachlässigt werden. Beachte, dass die de-Broglie-Beziehung 3 nicht-relativistisch ist. Das heißt: Sie funktioniert nur, wenn das Teilchen eine Geschwindigkeit hat, die im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit \( c = 3 \cdot 10^8 \, \frac{\text m}{\text s} \) sehr klein ist.

Eine aus unserem Alltag heraus betrachtete thermische Geschwindigkeit von \( v = 10^6 \, \frac{\text m}{\text s}\) scheint riesig zu sein. Sie beträgt aber gerade mal 0.003 % der Lichtgeschwindigkeit! Also eine eher nicht-relativistische Geschwindigkeit. Bei einer Geschwindigkeit von \( v = 10^8 \, \frac{\text m}{\text s}\) wären es schon 30% der Lichtgeschwindigkeit.

Je näher sich das Teilchen der Lichtgeschwindigkeit nähert, desto ungenauer wird seine mit 3 berechnete de-Broglie-Wellenlänge. Um auch die de-Broglie-Wellenlänge von "lichtschnellen" Teilchen berechnen zu können, wandeln wir 3 in eine relativistische Form um.

Für \( v \approx c\) gilt die folgende Energie-Impuls-Beziehung (ein Ergebnis der speziellen Relativitätstheorie):11\[ E ~=~ \sqrt{ (p \, c)^2 ~+~ (m_0 \, c^2)^2 } \]hierbei ist \(E\) die Energie, \(p\) der Impuls des Teilchens und \(m_0\) seine Ruhemasse.

Machen wir nun eine Näherung. Für Teilchen mit einem sehr großen Impuls \(p\) wird die Ruheenergie \( m_0 \, c^2 \) des Teilchens vernachlässigbar klein im Vergleich zu seiner Bewegungsenergie \(p \, c\). Damit vereinfacht sich 11 zu:12\[ E ~=~ p \, c \](es wurde lediglich \( m_0 \, c^2 = 0 \) gesetzt und Wurzel in 11 gezogen).

12 eingesetzt in 2 ergibt:

Relativistische de-Broglie-Wellenlänge13\[ \lambda ~=~ \frac{h \, c}{ E } \]

Wenn du 13 nach der Energie \(E\) umstellst und mit \( c = \lambda \, f \) die Wellenlänge mit der Frequenz \(f\) ersetzt, bekommst du genau die von Albert Einstein postulierte Energie eines Photons: \( E = h\, f\). Diese gilt auch für relativistische Teilchen.

Beispiel: Proton im LHC-Ring
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Zwei Protonen-Pakete prallen mit beinahe Lichtgeschwindigkeit aufeinander.

Ein Proton aus dem LHC-Teilchenbeschleuniger am CERN wird auf eine Energie von \( 7 \, \text{TeV}\) (Teraelektronenvolt) beschleunigt. Das entspricht: \(E = 1.12 \cdot 10^{-6} \, \text{J}\). Mithilfe von 13 kannst du ihre relativistische de-Broglie-Wellenlänge berechnen:\[ \lambda ~=~ \frac{6.6\cdot 10^{-34}\,\text{Js} ~\cdot~ 3 \cdot 10^8 \, \frac{\text m}{\text s} }{ 1.12 \cdot 10^{-6} \, \text{J} } ~=~ 1.8 \cdot 10^{-19} \, \text{m} \]

Das ist eine sehr kurze Wellenlänge. Der Wellencharakter des Protons im LHC-Ring spielt keine Rolle. Es verhält sich wie ein Teilchen.

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