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Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Aufgabe mit Lösung Gewöhnliche homogene Differentialgleichung 1. Ordnung lösen

Löse folgende gewöhnlliche, lineare homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung und berücksichtige dabei die gegebenen Nebenbedingungen:

  1. Das Newton-Abkühlungsgesetz:\[ T' ~=~ - \alpha \, T \]Anfangsbedingung: \( T(0) ~=~ 20^{\circ} \, \text{C} \).
  2. Eine RC-Schaltung mit nicht-konstantem Widerstand \(R(t)\):\[ R(t)\,\frac{\text{d}I(t)}{\text{d}t} ~+~ \frac{I}{C} ~=~ 0 \]mit \[ R(t) ~=~ \frac{R_0 \, t_0}{t} \]Anfangsbedingung: \( I(0) ~=~ 0.01 \, \text{A} \).
  3. Beschränktes Wachstum:\[ N'(t) ~=~ k \, (N_{\text{max}} - N(t)) \]Anfangsbedingung: \( N(0) ~=~ 1000 \).
Lösungstipps

Bestimme als erstes, was die gesuchte Funktion ist und von welcher Variable sie abhängt. Bringe dann die DGL in die folgende einheitliche Form:\[ y'(x) ~+~ K(x) \, y(x) ~=~ 0 \]hierbei ist \(y(x)\) die gesuchte Funktion, die von der Variable \(x\) abhängt. Benutze anschließend die dazugehörige Lösungsformel:\[ y(x) ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\int K(x) \, \text{d}x} \]

Die Konstante \(C\) kannst du mithilfe der gegebenen Nebenbedingungen bestimmen. Alternativ kannst du die Lösungsmethode 'Trennung der Variablen' üben, die quasi zur obigen Lösungsformel führt. Gehe dabei Schritt für Schritt vor:

  • Schreibe die DGL in Leibniz-Notation um (z.B. \(\frac{\text{d}y(x)}{\text{d}t}\)).
  • Bringe alle Terme mit \(y\) auf die linke Seite und alle Terme mit \(x\) auf die rechte Seite.
  • Integriere die linke Seite über \(y\) und die rechte Seite über \(x\) (fasse die Integrationskonstanten zu einer Integrationskonstante zusammen).
  • Stelle nach \(y\) um. Fertig!

Lösungen

Lösung für (a)

Das Newton-Abkühlungsgesetz beschreibt, wie die Temperatur \(T\) eines Körpers im Verlauf der Zeit \(t\) abnimmt. Bringen wir sie mal in eine einheitliche Form, um besser die einzelnen Ausdrücke vergleichen zu können:1\[ T'(t) + \alpha \, T(t) ~=~ 0 \]

Die gesuchte Funktion ist hier \(T(t)\) und sie hängt von der Variable \(t\) ab. Um diese DGL zu lösen, benutzen wir direkt die Lösungsformel aus dem Lösungshinweis. Dabei entspricht \(y = T\). Die Variable ist \(x = t \). Und der Koeffizient ist \(K ~=~ \alpha\). Dieser ist sogar unabhängig von \(t\), also konstant. Die Lösung \(y(t)\) ist gegeben durch:1.1\[ T(t) ~=~ C \, \mathrm{e}^{ - \int \alpha \, \text{d}t } \]

Als erstes müssen wir das Integral im Exponenten bestimmen:1.2\[ \int \alpha \, \text{d}t \]

Das ist nicht schwer, denn \(\alpha\) ist eine Konstante und kann vor das Integral gezogen werden und das Integral bringt lediglich ein \(x\) ein:1.3\[ \int \alpha \, \text{d}t ~=~ \alpha \, t \]

Setze das berechnete Integral 1.3 in die Lösungsformel 1.1 ein:1.4\[ T(t) ~=~ C \, \mathrm{e}^{ - \alpha \, t } \]

Und schon hast du die allgemeine Lösung der DGL. Um die unbekannte Konstante \(C\) zu bestimmen, nutzen wir die gegeben Anfangsbedingung \( T(0) ~=~ 20^{\circ} \, \text{C} \). Wir setzen sie ein:1.5\begin{align} T(0) &~=~ 20^{\circ} \, \text{C} \\\\ &~=~ C \, \mathrm{e}^{ - \alpha \cdot 0 } \\\\ &~=~ C \end{align}

Die Konstante ist also \( C = 20^{\circ} \, \text{C} \). Damit lautet die konkrete Lösung der DGL:1.5\[ T(t) ~=~ 20^{\circ} \, \text{C} \, \mathrm{e}^{ - \alpha \, t } \]

Lösung für (b)

Als erstes bringen wir die gegebene DGL für die RC-Schaltung2\[ R(t)\,\frac{\text{d}I(t)}{\text{d}t} ~+~ \frac{I}{C} ~=~ 0\]in eine einheitliche Form, wie im Lösungshinweis verlangt. Dazu teilen wir die ganze Gleichung durch \(R(t)\):2.1\[ \frac{\text{d}I(t)}{\text{d}t} ~+~ \frac{1}{R(t)\,C} \, I ~=~ 0\]oder in der Lagrange-Notation:2.2\[ I'(t) ~+~ \frac{1}{R(t)\,C} \, I ~=~ 0\]

Die gesuchte Funktion ist hier \(I(t)\), die von der Variable \(t\) abhängt. Der Koeffizient vor der gesuchten Funktion \( \frac{1}{R(t)\,C} \) ist nicht konstant, sondern hängt auch von \(t\) ab. Nach der Aufgabe, so \(R(t) = \frac{R_0 \, t_0}{t} \):2.3\begin{align} \frac{1}{R(t)\,C} &~=~ \frac{1}{\frac{R_0 \, t_0}{t} \,C} \\\\ &~=~ \frac{ t }{R_0\, t_0 \, C } \end{align}

Setze den nicht-konstanten Koeffizienten in die DGL 2.2 ein:2.4\[ I'(t) ~+~ \frac{ t }{R_0\, t_0 \, C } \, I ~=~ 0\]

Benutze die Lösungsformel aus dem Lösungshinweis:2.5\[ I(t) ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\int \frac{ t }{R_0\, t_0 \, C } \, \text{d}t} \]

Den konstanten Faktor \(\frac{ 1 }{R_0\, t_0 \, C }\) dürfen wir vor das Integral ziehen:2.6\[ I(t) ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\frac{ 1 }{R_0\, t_0 \, C }\int t \, \text{d}t} \]

Die lineare Funktion \(t\) integriert, ergibt \(\frac{1}{2}\,t^2\):2.7\[ I(t) ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\frac{ t^2 }{2 \, R_0\, t_0 \, C }} \]

Jetzt nur noch mithilfe der Anfangsbedingung \( I(0) ~=~ 0.01 \, \text{A} \) die unbekannte Konstante \(C\) bestimmen. Setze dazu die Anfangsbedingung in 2.7 ein:2.8\begin{align} I(0) &~=~ 0.01 \, \text{A} \\\\ &~=~ C\, \mathrm{e}^{-\frac{ 0 }{2 \, R_0\, t_0 \, C }} \\\\ &~=~ C \end{align}

Damit ist die konkrete Lösung der DGL:2.8\[ I(t) ~=~ 0.01 \, \text{A}\, \mathrm{e}^{-\frac{ t^2 }{2 \, R_0\, t_0 \, C}} \]

Lösung für (c)

In der gegebenen DGL 3\[ N'(t) ~=~ k \, (N_{\text{max}} - N(t)) \]ist die gesuchte Funktion \(N(t)\) und sie hängt von der Variable \(t\) ab. Mache als erstes eine Substitution \( n(t) = N_{\text{max}} - N(t) \). Da in 3 die Ableitung \(N'(t)\) vorkommt, müssen wir auch unsere Substitution \(n(t)\) ableiten. Die Ableitung ist einfach \( n'(t) = N'(t) \), da \(N_{\text{max}}\) eine Konstante ist, die beim Ableiten wegfällt. Ersetze \(N_{\text{max}} - N(t)\) mit \(n(t)\) und ihrer Ableitung in 3:3.1\[ n'(t) ~=~ k \, n(t) \]

Bringe die DGL 3.1 in die einheitliche Form, wie beim Lösungshinweis:3.2\[ n'(t) ~-~ k \, n(t) ~=~ 0 \]

Jetzt können wir die Lösungsformel aus dem Lösungshinweis benutzen:3.3\[ n(t) ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\int k \, \text{d}t} \]

Eine Konstante integriert bringt nur ein \(t\) ein:3.4\[ n(t) ~=~ C\, \mathrm{e}^{- k \, t} \]

Jetzt müssen wir nur noch eine Rücksubstitution machen:3.5\[ N_{\text{max}} - N(t) ~=~ C\, \mathrm{e}^{- k \, t} \]

Stelle nach \(N(t)\) um:3.6\[ N(t) ~=~ N_{\text{max}} ~-~ C\, \mathrm{e}^{- k \, t} \]

Mit der Anfangsbedingung \( N(0) ~=~ 1000 \) bestimmst du \(C\). Setze die Anfangsbedingung in 3.6 ein:3.7\begin{align} N(0) &~=~ 1000 \\\\ &~=~ N_{\text{max}} ~-~ C\, \mathrm{e}^{- k \cdot 0} \\\\ &~=~ N_{\text{max}} ~-~ C \end{align}

Damit ist die Konstante \( C = N_{\text{max}} - 1000 \) und die konkrete Lösung der DGL:3.8\[ N(t) ~=~ N_{\text{max}} ~-~ (N_{\text{max}} - 1000)\, \mathrm{e}^{- k \, t} \]

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