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Level 2
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Aufgabe mit Lösung Kraft, Abstand, Ladung mittels Coulomb-Gesetz

Mit den nachfolgenden Aufgaben übst du das Herumhantieren mit dem Coulomb-Gesetz:

  1. Welche Kraft erfährt ein geladenes Partikel mit der Ladung \( 0.001 \, \text{C} \), das sich in einem Abstand von \( 0.2\, \text{m} \) von einer Kugel mit der Ladung \( 0.5 \, \text{C} \) befindet?
  2. Wie groß ist die Anziehungkraft zwischen dem Kern eines Eisenatoms mit der Ladung \( 26 \, e \) und einem Eleketron im Abstand \( 10^{-12} \, \text{m} \)?
  3. Mit welcher Kraft stoßen sich zwei Protonen im Atomkern ab, unter der Annahme, dass sie sich im Abstand von \( 5\cdot 10^{-15} \, \text{m} \) befinden?
  4. Zwei gleich geladene Kugeln stoßen sich mit der Kraft von \( 0.2 \, \text{N} \) ab, wenn deren Abstand voneinander \( 1\, \text{m} \) beträgt. Welche Ladung tragen diese Kugeln?
  5. Zwei befestigte, geladene Kugeln, beide mit der Ladung \( 10^{-6} \, \text{C} \), üben eine Kraft von \( 1 \, \text{N} \) aufeinander aus. In welchem Abstand befinden sie sich zueinander?
  6. Du möchtest die elektrische Feldkonstante mithilfe des Coulomb-Gesetzes experimentell bestimmen. Dazu lädst du zwei Kugeln gleich auf \( 2 \cdot 10^{-8} \, \text{C} \) auf, platzierst sie im Abstand \( 0.01\, \text{m} \) zueinander und misst dabei die Kraft von \( 0.036\, \text{N} \). Wie groß ist die elektrische Feldkonstante bei dieser Messung?
Lösungstipps

Benutze die Formel für das Coulomb-Gesetz:\[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{q_1 \, q_2}{r^2} \]

Lösungen

Lösung für (a)

Für alle Aufgaben benutzt du das Coulomb-Gesetz:1\[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{q_1 \, q_2}{r^2} \]

Hierbei hat die elektrische Feldkonstante \(\varepsilon_0\) den Wert \( 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } \). Das einzige was du immer machen musst: Genau lesen, was die Aufgabe verlangt und dann das Coulomb-Gesetz nach der gesuchten Größe umstellen.

In der Aufgabe (a) ist nach der elektrischen Kraft \(F_{\text e}\) zwischen einem geladenen Partikel mit der Ladung \( q_1 = 0.001 \, \text{C} \) und einer Kugel mit der Ladung \( q_2 = 0.5 \, \text{C} \) gefragt, die sich im Abstand von \( r = 0.2\, \text{m} \) zueinander befinden.

Hier musst du das Coulomb-Gesetz nicht umstellen, sondern kannst direkt die gebenen Werte einsetzen. Hierbei entspricht die Coulomb-Konstante \( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \) dem Wert \( 8.987 \cdot 10^9 \, \frac{ \text{Vm} }{ \text{As} } \):1-1\begin{align} F_{\text e} &~=~ 8.987 \cdot 10^9 \, \frac{ \text{Vm} }{ \text{As} } ~\cdot~ \frac{0.001 \, \text{C} ~\cdot~ 0.5 \, \text{C}}{(0.2\, \text{m})^2} \\\\ &~=~ 1.1 \cdot 10^8 \, \text{N} \end{align}

Das Partikel erfährt also eine sehr große Kraft von \(1.1 \cdot 10^8 \, \text{N}\).

Lösung für (b)

Gesucht ist die anziehende elektrische Kraft \( F_{\text e} \) zwischen dem Kern eines Eisenatoms, der die Ladung \( q_1 = 26\,e\) trägt und einem Elektron mit der Ladung \(q_2 = e \) im Abstand von \( r = 10^{-12} \, \text{m}\).

Die Elementarladung hat den Wert \( e = 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C}\). Damit hat der Eisenkern die Ladung: 2\begin{align} q_1 &~=~ 26 ~\cdot~1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \\\\ &~=~ 4.168 \cdot 10^{-18} \, \text{C} \end{align}

Mit der Coulomb-Konstanten (siehe Aufgabenteil (a)) beträgt die elektrische Kraft:2-1\begin{align} F_{\text e} &~=~ 8.987 \cdot 10^9 \, \frac{ \text{Vm} }{ \text{As} } ~\cdot~ \frac{4.168 \cdot 10^{-18} \, \text{C} ~\cdot~ 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} }{ \left(10^{-12} \, \text{m}\right)^2 } \\\\ &~=~ 0.006 \, \text{N} \end{align}

Der Kern eines Eisenatoms übt also auf das betrachtete Elektron eine Kraft von \(0.006 \, \text{N}\) aus.

Lösung für (c)

Gesucht ist die elektrische Abstoßungskraft \(F_{\text e}\) zwischen zwei Protonen im Abstand \( r = 5\cdot 10^{-15} \, \text{m} \). Ein Proton trägt die Elementarladung \( q_1 = q_2 = 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C}\).

Mit der Coulomb-Konstanten (siehe Aufgabenteil (a)) beträgt die elektrische Kraft:3\begin{align} F_{\text e} &~=~ 8.987 \cdot 10^9 \, \frac{ \text{Vm} }{ \text{As} } ~\cdot~ \frac{ \left( 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \right)^2 }{ \left( 5\cdot 10^{-15} \, \text{m} \right)^2 } \\\\ &~=~ 9.22 \, \text{N} \end{align}

Zwei Protonen eines Atomkerns stoßen sich mit der Kraft von \(9.22 \, \text{N}\) ab.

Lösung für (d)

Gesucht ist die Ladung \(q \) der Kugeln. Beide tragen die gleiche Ladung. Das heißt \(q = q_1 = q_2\). Gegeben ist ihre Abstoßungskraft \( F_{\text e} = 0.2 \, \text{N} \) im Abstand \( r = 1 \, \text{m} \) zueinander. Wir müssen also das Coulomb-Gesetz4\[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{q^2}{r^2} \]nach der Ladung \(q\) umstellen. Bringe \(r^2\) auf die linke Seite:4.1\[ F_{\text e} \, r^2 ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, q^2 \]

Bringe \(4\pi \varepsilon_0\) auf die linke Seite:4.2\[ 4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e} \, r^2 ~=~ q^2 \]

Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten:4.3\[ \sqrt{ 4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e} \, r^2 } ~=~ q \]

Einsetzen der gegebenen Werte ergibt:4.4\begin{align} q &~=~ \sqrt{ 4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e} \, r^2 } \\\\ q &~=~ \sqrt{ 4\pi ~\cdot~ 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } ~\cdot~ 0.2 \, \text{N} ~\cdot~ \left( 1 \, \text{m} \right)^2 } \\\\ q &~=~ 4.7 \cdot 10^{-6} \, \text{C} \end{align}

Die geladenen Kugeln stoßen sich mit der Kraft von \(4.7 \,\mu\text{C}\) ab.

Lösung für (e)

Gesucht ist der Abstand \( r \) zweier geladener Kugeln, die beide die Ladung \( q_1 = q_2 = 10^{-6} \, \text{C} \) tragen und eine Kraft \( F_{\text e} = 1 \, \text{N} \) aufeinander ausüben.

Stelle dazu das Coulomb-Gesetz5\[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{q^2}{r^2} \]nach dem Abstand \(r\) um. Bringe \( r^2 \) auf die linke Seite:5.1\[ F_{\text e} \, r^2 ~=~ \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0} \]

Bringe dann \(F_{\text e}\) auf die rechte Seite:5.2\[ r^2 ~=~ \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e}} \]

Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten:5.3\[ r ~=~ \sqrt{ \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e}} } \]

Setze nur noch die gegebenen Werte ein:5.4\begin{align} r &~=~ \sqrt{ \frac{ \left( 10^{-6} \, \text{C} \right)^2 }{ 4\pi ~\cdot~ 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } ~\cdot~ 1 \, \text{N} } } \\\\ &~=~ 8.99 \cdot 10^{-3} \, \text{m} \end{align}

Die beiden geladenen Kugeln befinden sich ungefähr im Abstand von \( 9 \, \text{mm}\) zueinander.

Lösung für (f)

Gesucht ist die elektrische Feldkonstante \( \varepsilon_0 \). Gegeben ist die Ladung \( q_1 = q_2 = 2 \cdot 10^{-8} \, \text{C} \) sowie der Abstand \( r = 0.01\, \text{m} \) und die Kraft \( F_{\text e} = 0.036\, \text{N} \).

Stelle dazu das Coulomb-Gesetz6\[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{q^2}{r^2} \]nach \(\varepsilon_0\) um. Multipliziere beide Seiten mit \(\varepsilon_0\):6.1\[ \varepsilon_0\, F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi } \, \frac{q^2}{r^2} \]

Multipliziere beide Seiten mit \(\frac{1}{ F_{\text e} } \):6.2\[ \varepsilon_0 ~=~ \frac{1}{4\pi F_{\text e}} \, \frac{q^2}{r^2} \]

Setze gegebene Werte ein:6.3\begin{align} \varepsilon_0 &~=~ \frac{1}{4\pi ~\cdot~ 0.036\, \text{N} } ~\cdot~ \frac{ \left(2 \cdot 10^{-8} \, \text{C}\right)^2 }{(0.01\, \text{m})^2} \\\\ &~=~ 8.84 \cdot 10^{-12} \, \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } \end{align}

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