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Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Aufgabe mit Lösung Torsionstensor & Christoffel-Symbole mit Torsion

Lass uns den Fall betrachten, wo die kovariante Ableitung \( \nabla \) nicht torsionsfrei ist.

  1. Zeige, dass es einen sogenannten Torsionstensor \( T^{c}_{\;ab} \) gibt, sodass für alle glatten Funktionen \(f\) die folgende Bedingung erfüllt ist:$$ \nabla_a \, \nabla_b \, f ~-~ \nabla_b \, \nabla_a \, f ~=~ - T^{c}_{\;ab} \, \nabla_c \, f $$
  2. Bei gegebener Metrik \(g^{ab}\), können wir Christoffel-Symbole ohne Torsion folgendermaßen berechnen:$$ \Gamma^{c}_{\;ab} ~=~ \frac{1}{2} \, g^{cs} \, \left( \partial_a \, g_{bs} ~+~ \partial_b \, g_{as} - \partial_s \, g_{ab} \right) $$Leite einen analogen Ausdruck für Christoffel-Symbole MIT Torsion her.
Lösungstipps

Benutze die Eigenschaften der kovarianten Ableitung \(\nabla\), wie Linearität, Leibniz Produktregel und Kommutativität mit Kontraktion. Benenne auch die Indizes um, um andere Gleichungen zu bekommen und kombiniere diese Gleichungen.

Lösungen

Lösung für (a)

Zwei kovariante Ableitungen \(\nabla\) und \(\widetilde{\nabla}\) unterscheiden sich durch ein 'Tensorfeld' \( C^{c}_{\;ab} \), wenn sie auf einen dualen Vektor \(\omega_b\) angewendet werden:1$$ \nabla_a \, \omega_b ~=~ \widetilde{\nabla}_a \, \omega_b ~-~ C^{c}_{\;ab} \, \omega_c $$

Für die Herleitung dieser Gleichung wurde nicht die Eigenschaft der Torsionsfreiheit benutzt!

Die Gleichung 1 muss auch erfüllt sein, wenn wir die Indizes \( a \rightarrow b\) und \( b \rightarrow a \) umbenennen:2$$ \nabla_b \, \omega_a ~=~ \widetilde{\nabla}_b \, \omega_a ~-~ C^{c}_{\;ba} \, \omega_c $$

Ziehe Gleichung 2von 1 ab:3\begin{align} \nabla_a \, \omega_b ~-~ \nabla_b \, \omega_a &~=~ \widetilde{\nabla}_a \, \omega_b ~-~ \widetilde{\nabla}_b \, \omega_a \\\\ &~-~ C^{c}_{\;ab} \, \omega_c ~-~ C^{c}_{\;ba} \, \omega_c \end{align}

Schreibe duale Vektoren als \(\omega_b = \nabla_b \, f \) und \(\omega_a = \nabla_a \, f \) sowie \(\omega_c = \nabla_c \, f \) und klammere \(f \) aus:4\begin{align} \left( \nabla_a \, \nabla_b ~-~ \nabla_b \, \nabla_a \right) \, f &~=~ \left( \widetilde{\nabla}_a \, \nabla_b ~-~ \widetilde{\nabla}_b \, \nabla_a \right) \, f \\\\ &~-~ \left( C^{c}_{\;ab} ~-~ C^{c}_{\;ba} \right) \, \nabla_c \, f \end{align}

Wir haben angenommen, dass \(\nabla\) nicht torsionsfrei ist, so dass die linke Seite nicht Null ist. Aber wir können \(\widetilde{\nabla}\) als torsionsfrei wählen, so dass der Term mit \(\widetilde{\nabla}\) verschwindet:5$$ \left( \nabla_a \, \nabla_b ~-~ \nabla_b \, \nabla_a \right) \, f ~=~ - \left( C^{c}_{\;ab} ~-~ C^{c}_{\;ba} \right) \, \nabla_c \, f $$

Definiere den Torsionstensor:6$$ T^{c}_{\;ab} ~:=~ C^{c}_{\;ab} ~-~ C^{c}_{\;ba} $$und setze ihn in 5 ein:

7$$ \left( \nabla_a \, \nabla_b ~-~ \nabla_b \, \nabla_a \right) \, f ~=~ - T^{c}_{\;ab} \, \nabla_c \, f $$
Lösung für (b)

Wir verwenden die Definition des kovarianten Ableitungsoperators \(\nabla\), angewandt auf einen Tensor (in diesem Fall auf den Metriktensor \( g_{ab} \)) und die Eigenschaft der metrischen Kompatibilität \( \nabla_c \, g_{ab} = 0 \) mit dem kovarianten Ableitungsoperator:8$$ 0 ~=~ \nabla_c \, g_{ab} ~=~ \partial_c \, g_{ab} ~-~ \Gamma^{d}_{\;ca} \, g_{db} ~-~ \Gamma^{d}_{\;cb} \, g_{ad} $$

Forme nach \(\partial_c \, g_{ab}\) um:9\begin{align} \partial_c \, g_{ab} &~=~ \Gamma^{d}_{\;ca} \, g_{db} ~+~ \Gamma^{d}_{\;cb} \, g_{ad} \\\\ &~=~ \Gamma_{bca} ~+~ \Gamma_{acb} \end{align}

Diese Gleichung muss auch erfüllt sein, wenn wir die Indizes \( c \rightarrow a \) und \( a \rightarrow c \) in Beziehung setzen:10$$ \partial_a \, g_{cb} ~=~ \Gamma_{bac} ~+~ \Gamma_{cab} $$

Und um eine dritte Gleichung zu erhalten, permutieren wir die Indizes \(a \rightarrow c \), \( c \rightarrow b \) und \( b \rightarrow a \):11$$ \partial_b \, g_{ca} ~=~ \Gamma_{abc} ~+~ \Gamma_{cba} $$

Addiere nun die Gleichungen 1 und 2 und ziehe anschließend 3 ab:12\begin{align} \partial_c \, g_{ab} ~+~ \partial_a \, g_{cb} ~-~ \partial_b \, g_{ca} &~=~ \Gamma_{bca} ~+~ \Gamma_{acb} ~+~ \Gamma_{bac} \\\\ &~+~ \Gamma_{cab} ~-~ \Gamma_{abc} ~-~ \Gamma_{cba} \end{align}

Setze die Definition des Torsionstensors aus (a) in Gl. 12 ein:13\begin{align} \partial_c \, g_{ab} ~+~ \partial_a \, g_{cb} ~-~ \partial_b \, g_{ca} &~=~ \Gamma_{bca} ~+~ \Gamma_{bac} \\\\ &~+~ T^{a}_{\;cb} ~+~ T^{c}_{\;ab} \end{align}

Schreibe 13 um, indem du die folgende Beziehung benutzt:13.1$$ \Gamma_{bca} ~+~ \Gamma_{bac} ~=~ T^{b}_{\;ca} ~+~ 2 \, \Gamma_{bac} $$

Dann bekommst du:14\begin{align} \partial_c \, g_{ab} ~+~ \partial_a \, g_{cb} ~-~ \partial_b \, g_{ca} &~=~T^{b}_{\;ca} ~+~ 2 \, \Gamma_{bac} \\\\ &~+~ T^{a}_{\;cb} ~+~ T^{c}_{\;ab} \end{align}

Forme nach \( \Gamma_{bac} \) um:15\begin{align} \Gamma_{bac} &~=~ \frac{1}{2} ( \partial_a \, g_{cb} ~+~ \partial_c \, g_{ab} ~-~ \partial_b \, g_{ca} \\\\ &~-~ T^{b}_{\;ca} ~-~ T^{d}_{\;cb} ~-~ T^{c}_{\;ab} ) \end{align}

Hebe den Index \(b\):16\begin{align} \Gamma^{b}_{\;ac} &~=~ \frac{1}{2} g^{bs} \, ( \partial_a \, g_{cs} ~+~ \partial_c \, g_{as} ~-~ \partial_s \, g_{ca} \\\\ &~-~ T^{s}_{\;ca} ~-~ T^{d}_{\;cs} ~-~ T^{c}_{\;as} ) \end{align}

Benenne \(b \rightarrow c \) und \(c \rightarrow b \) um, dann bekommst du:

Christoffel-Symbole mit Torsion17\begin{align} \Gamma^{c}_{\;ab} &~=~ \frac{1}{2} \, g^{cs} \, ( \partial_a \, g_{bs} ~+~ \partial_b \, g_{as} - \partial_s \, g_{ab} \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~ ~-~ T^{s}_{\;ba} ~-~ T^{d}_{\;bs} ~-~ T^{b}_{\;as}) \end{align}
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