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Aufgabe mit Lösung Rechnen mit Einheiten

Level 2 (für Schüler geeignet)
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

In den experimentellen Naturwissenschaften solltest du mit Einheiten rechnen können. Konkret heißt das...

  • Die Einheiten von physikalischen Größen, wie Energie, Kraft, Spannung etc. auswendig können.
  • Du musst einige alternative Einheiten für diese Größen kennen (Energie hat die Einheit [J] (Joule), kann aber auch als [VAs] (Voltamperesekunde) geschrieben werden).
  • Genug geübt sein, um auf Anhieb sehen zu können, wie die Einheiten in einer Rechnung zusammengefasst / gekürzt werden können.
  1. Die Feinstrukturkonstante $$ \alpha ~=~ \frac{1}{4\pi \, c \, \varepsilon_0} \, \frac{e^2}{ \hbar } $$ ist eine dimensionslose Größe, die nur durch Naturkonstanten ausgedrückt ist und legt fest, wie 'stark' die elektromagnetische Wechselwirkung in unserem Universum sein soll. Berechne den Kehrwert \( \frac{1}{\alpha} \) und seine Einheit.
Lösungstipps

Schreib als erstes alle Einheiten auf, die in der Formel vorkommen. Wie lassen sich diese Einheiten auch alternativ schreiben?

Lösungen

Lösung

In der Formel für die Feinstrukturkonstante kommen vier Naturkonstanten inklusive der dimensionslosen Kreiszahl \(\pi \) vor:

  • Elektrische Feldkonstante:$$ \varepsilon_0 ~=~ 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } $$
  • Reduziertes Wirkungsquantum:$$ \hbar ~=~ 1.054 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} $$
  • Elementarladung:$$ e~=~ 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} $$
  • Lichtgeschwindigkeit:$$ c~=~ 3 \cdot 10^{8} \, \frac{ \text m }{ \text s } $$

Aus der Aufgabenstellung wissen wir, dass \(\alpha \) dimensionslos ist. Damit erwarten wir, dass auch ihr Kehrwert \( \frac{1}{\alpha} \) dimensionslos sein muss. Dieses Wissen kann uns helfen, festzustellen, ob wir uns verrechnet haben.

Die Formel für den Kehrwert der Feinstrukturkonstanten ist:$$ \frac{1}{\alpha} ~=~ 4\pi \, c \, \varepsilon_0 \, \frac{ \hbar }{ e^2 } $$

Um nicht mit Zahlen und Einheiten gleichzeitig herumhantieren zu müssen, können wir die folgende Strategie benutzen. Als erstes bestimmen wir den Zahlenwert von \( \frac{1}{\alpha} \)und erst dann seine Einheit.

Wir setzen also die Zahlenwerte der Naturkonstanten ein (ohne die Einheiten erstmal) und bestimmen damit erstmal nur den resultierenden Zahlenwert:\begin{align} \frac{1}{\alpha} &~=~ 4\pi \cdot 3 \cdot 10^{8} \cdot 8.854 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{ 1.054 \cdot 10^{-34} }{ (1.602 \cdot 10^{-19})^2 } \\\\ &~=~ 137 \end{align}

Als nächstes setzen wir in die Formel nicht die Zahlenwerte ein, sondern die dazugehörigen Einheiten:$$ \left[\frac{1}{\alpha}\right] ~=~ \frac{ \text m }{ \text s } \cdot \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } \cdot \frac{ \text{Js} }{ \text{C}^2 } $$

Hier eignet es sich die Einheit \( \text{C} \) (Coulomb) alternativ als \( \text{As} \) (Amperesekunde) zu schreiben. Außerdem können wir \( \text{m} \) (Meter) im Zähler und im Nenner einmal kürzen. Ebenso können wir \( \text{s} \) (Sekunde) im Zähler und Nenner einmal kürzen:\begin{align} \left[\frac{1}{\alpha}\right] &~=~ \frac{ \cancel{\text m} }{ \cancel{\text s} } \cdot \frac{ \text{As} }{ \text{V}\cancel{\text m} } \cdot \frac{ \text{J} \cancel{\text s} }{ \text{(As)}^2 } \\\\ &~=~ \frac{ \text{As} }{ \text{V} } \cdot \frac{ \text{J} }{ \text{(As)}^2 } \end{align}

Beim Vereinfachen der Einheiten, denk bloß nicht dran unüberlegt etwas zu kürzen, sonst gelangst du in eine Sackgasse. Amperesekunde \( \text{As} \) können wir auch einmal kürzen:\begin{align} \left[\frac{1}{\alpha}\right] &~=~ \frac{ \cancel{\text{As}} }{ \text{V} } \cdot \frac{ \text{J} }{ \text{(As)}^\cancel{2} } \\\\ &~=~ \frac{ \text{J} }{ \text{VAs} } \\\\ &~=~ \frac{ \text{J} }{ \text{J} } \\\\ &~=~ \text{dimensionslos} \end{align}

Dabei haben wir im vorletzten Schritt das Wissen ausgenutzt, dass die Einheit \( \text{VAs} \) das gleiche ist wie \( \text{J} \). Das ist eine wichtige alternative Einheit der Energie, die du auswendig können solltest.

Damit hat sich unsere Behauptung bestätigt. Die Feinstrukturkonstante ist dimensionslos:$$ \frac{1}{\alpha} ~=~ 137 $$