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Aufgabe mit Lösung Ein um den Äquator kreisendes Ion im Magnetfeld

Ein Ion kreist um den Äquator im Magnetfeld der Erde
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Ein Ion kreist entlang des Äquators im Erdmagnetfeld.

Die Erde hat einen Radius von 6370 Kilometer. Das Magnetfeld am Äquator hat ungefähr einen Wert von \( 30 \, \mu\text{T} \) und ist nach Norden gerichtet. Du möchtest ein Ion mit der Masse \( 352 \, u \) und der Ladung \( e \) dazu bringen, die Erde am Äquator auf einer Höhe von 30 Kilometern zu umkreisen.

  1. In welche Richtung entlang des Äquators muss das Ion fliegen, damit es die Erde umkreist?
  2. Mit welcher Geschwindigkeit muss sich das Ion bewegen, damit es auf der Kreisbahn bleibt? Berücksichtige dabei auch die Gravitationskraft. Du kannst klassisch rechnen und ein homogenes Gravitationsfeld annehmen.
  3. Begründe, warum die Gravitationskraft auf das Ion nur eine geringe Rolle spielt.
  4. Die Erde ist außerdem elektrisch negativ geladen und hat ein mittleres homogenes Magnetfeld von \( 130 \, \frac{ \text V }{ \text m } \). Muss dieses E-Feld mitberücksichtigt werden?
Negativ geladene Erde mit einem homogenen E-Feld.
Lösungstipps

Überlege, welche Kräfte auf das Ion wirken und stelle eine Gleichung für das Kräftegleichgewicht auf. Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, musst du auf jeden Fall eine quadratische Gleichung lösen.

Lösungen

Lösung für (a)

Um die Bewegungsrichtung des Ions herauszufinden, benutze die Drei-Finger-Regel. Es geht hier um eine positive Ladung. Daher benutzt du dafür deine rechte Hand.

Drei-Finger-Regel für ein positiv geladenes Teilchen.
Magnetische Kraft zwingt das Ion auf eine Kreisbahn entlang des Äquators.
  • Das Magnetfeld \( B \) der Erde zeigt am Äquator nach Norden. Richte deinen Zeigefinger nach Norden.
  • Die Lorentzkraft \( F_{\text m} \) (magnetische Kraft) auf das Ion muss zur Erde hin zeigen, damit es um die Erde kreist. Richte deinen Mittelfinger zum Erdmittelpunkt hin.
  • Der ausgestreckte Daumen zeigt dir dann die Richtung, in die sich das Ion bewegen muss.

Damit muss das Ion nach Westen fliegen, damit es um den Äquator herum abgelenkt wird. Würde das Ion nach Osten fliegen, so würde es weg von der Erde abgelenkt werden.

Lösung für (b)

Damit das Ion auf einer stabilen Kreisbahn mit dem Radius (6370 Kilometer Erdradius + 30 Kilometer Höhe) bleibt, muss die Lorentzkraft:1$$ F_{\text m} ~=~ q \, v \, B $$und die als konstant angenommene Gravitationskraft2$$ F_{\text g} ~=~ m \, g $$genau der Zentripetalkraft 3$$ F_{\text z} ~=~ \frac{m}{r} \, v^2 $$entsprechen. Die Zentripetalkraft ist eine zum Erdmittelpunkt wirkende Kraft und verrät uns, wie wir eine stabile Kreisbahn mit dem Radius \(r\) und der Geschwindigkeit \( v \) eines Teilchens der Masse \( m \) bekommen. Die Rolle der Zentripetalkraft übernehmen hier wie Lorentzkraft und die Gravitationskraft, weil sie auch radial gerichtet sind.

Wir haben also eine Kräftegleichung,4\begin{align} F_{\text z} &~=~ F_{\text m} ~+~ F_{\text g} \\\\ \frac{m}{r} \, v^2 &~=~ q \, v \, B ~+~ m \, g \end{align}die wir nach der Geschwindigkeit \( v \) auflösen müssen. Hier hast du eine quadratische Gleichung, die du nicht eindeutig nach \(v\) auflösen kannst. Diese Gleichung hat zwei Lösungen als mögliche Geschwindigkeit. Die beiden Lösungen \( v_1 \) und \( v_2 \) bestimmen wir mit der pq-Formel.

Dazu bringen wir Gl. 4 in eine passende Form:5\begin{align} \frac{m}{r} \, v^2 ~-~ q \, v \, B ~-~ m \, g & ~=~ 0 \\\\ v^2 ~-~ \frac{r}{m} \, q \, v \, B ~-~ \frac{r}{\cancel m} \, \cancel{m} \, g & ~=~ 0 \\\\ v^2 ~-~ \frac{r \,q\, B}{m} \, v ~-~ r \, g & ~=~ 0 \end{align}

Wir haben im zweiten Schritt alles auf die linke Seite gebracht und im dritten Schritt die ganze Gleichung mit \( \frac{r}{m} \) multipliziert, um den Faktor vor dem \(v^2\) zu eliminieren. Jetzt haben wir den p-Wert \( - \frac{r \,q\, B}{m} \) und q-Wert \( - r \, g \) für die pq-Formel:6\begin{align} v_{1,2} & ~=~ -\frac{p}{2} ~\pm~ \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 ~-~ q } \\\\ v_{1,2} & ~=~ \frac{r \,q\, B}{2m} ~\pm~ \sqrt{ \left(\frac{r \,q\, B}{ 2m}\right)^2 ~+~ r \, g } \end{align}

Jetzt müssen wir nur noch die konkreten Werte richtig einsetzen, um \(v_1\) und \(v_2\) zu bestimmen.

  • Der Radius \(r \) entspricht dem Erdradius Plus der Höhe des Ions über der Erde: 7$$ r ~=~ 6370 \, \text{km} ~+~ 30 \, \text{km} ~=~ 6400 \cdot 10^3 \, \text{m} $$
  • Die Ladung \(q\) entspricht der Ladung des Ions:8$$ q ~=~ e ~=~ 1.60 \cdot 10^{-19} \, \text{C} $$
  • Die Masse \(m\) entspricht der Masse des Ions:9$$ m ~=~ 352 \, u ~=~ 352 ~\cdot~ 1.66 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} $$
  • Das Magnetfeld \( B \) entspricht dem konstanten Erdmagnetfeld am Äquator: 10$$ B ~=~ 30 \, \mu\text{T} ~=~ 30 \cdot 10^{-6} \, \text{T} $$
  • Die Fallbeschleunigung \( g \) beträgt auf der Erde:11$$ g ~=~ 9.8 \, \frac{\text m}{ \text{s}^2 } $$

Einsetzen all dieser Werte in 6 ergibt:12$$ v_{1,2} ~=~ 26 \,286\,966.05 \, \frac{\text m}{ \text s } ~\pm~ 26\,286 \,967 \frac{\text m}{ \text s } $$

Die erste Lösung der quadratischen Gleichung 5 bekommen wir, wenn wir die beiden Werte in 12 addieren:13\begin{align} v_1 &~=~ 52\,573\,933 \, \frac{\text m}{ \text s } \\\\ &~\approx~ 5.2 \cdot 10^7 \, \frac{\text m}{ \text s } \end{align}

Die zweite Lösung bekommen wir, wenn wir die beiden Werte in 12 subtrahieren:14$$ v_2 ~=~ -1.19 \, \frac{\text m}{ \text s } $$

Gl. 14 ist keine gültige Lösung. Das kannst du überprüfen, indem du 14 in 4 einsetzt. Gl. 13 ist dagegen eine gültige Lösung. Daher ist die gesuchte Geschwindigkeit:

15$$ v ~=~ 5.2 \cdot 10^7 \, \frac{\text m}{ \text s } $$
Lösung für (c)

Um zu begründen, warum die Gravitationskraft kaum eine Rolle spielt, kannst du dir das Verhältnis der Gravitationskraft \( F_{\text g} \) zur Lorentzkraft \( F_{\text m} \) anschauen:16$$ \frac{ F_{\text g} }{ F_{\text m} } ~=~ \frac{ m \, g }{ q \, v \, B } $$

Einsetzen der Werte (inklusive der ausgerechneten Geschwindigkeit 15), ergibt:17\begin{align} \frac{ F_{\text g} }{ F_{\text m} } &~=~ \frac{ 5.73\cdot 10^{-24}\, \text{N} }{ 2.5\cdot 10^{-16} \, \text{N} } \\\\ &~\approx~ 2 \cdot 10^{-6} \, \% \end{align}

Die Gravitationskraft macht also gerade mal 0.000002 % der Lorentzkraft aus und kann damit vernachlässigt werden.

Lösung für (d)

Um zu überprüfen, ob das elektrische Feld der Erde mitberücksichtigt werden muss, können wir analog zu vorherigen Teilaufgabe das Verhältnis der elektrischen Kraft \( F_{\text e} = e \, E \) auf das Ion zur Lorentzkraft berechnen:18$$ \frac{ F_{\text e} }{ F_{\text m} } ~=~ \frac{ e \, E }{ q \, v \, B } $$

Das elektrische Feld \( E ~=~ 130 \, \frac{ \text V }{ \text m } \) ist in der Aufgabe gegeben. Einsetzen ergibt:19\begin{align} \frac{ F_{\text e} }{ F_{\text m} } &~=~ \frac{ 2.08 \cdot 10^{-17} \, \text{N} }{ 2.5\cdot 10^{-16} \, \text{N} } \\\\ &~\approx~ 8.3 \, \% \end{align}

Die elektrische Kraft macht 8.3% der Lorentzkraft aus und kann für ein genaueres Ergebnis mitberücksichtigt werden.