Direkt zum Inhalt

Aufgabe mit Lösung Eine ins Magnetfeld fallende Leiterschleife

Eine Leiterschleife fällt ins Magnetfeld
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Eine ins Magnetfeld fallende Leiterschleife. Da sie sehr lang ist, ist ihr oberes Ende nicht relevant.

Eine sehr sehr lange, rechteckige Leiterschleife fällt die ganze Zeit senkrecht in ein konstantes Magnetfeld \( B ~=~ 2 \, \text{T} \) hinein, das in die Ebene hinein zeigt. Die Leiterschleife hat einen Widerstand \( R ~=~ 20 \, \Omega \) sowie eine Breite \( w ~=~ 10 \, \text{cm} \).

Da die Leiterschleife die ganze Zeit fällt, wird sie beschleunigt. Zu einem bestimmten Zeitpunkt \( t_1 \) hat die Leiterschleife eine Geschwindigkeit von \( v(t_1) ~=~ 2 \, \frac{\text m}{\text s} \) erreicht.

  1. Da sich der magnetische Fluss durch die Fläche der Spule ändert, entsteht ein Induktionsstrom \( I \) durch die Leiterschleife. In welche Richtung fließt der konventionelle Strom?
  2. Wie groß ist der Strom \( I(t_1) \) zum Zeitpunkt \( t_1 \)?
  3. Erfährt die Leiterschleife genau die Fallbeschleunigung \( g \)?
Lösungstipps

Wende die Lenz-Regel an, um die Stromrichtung herauszufinden. Um den konkreten Strom auszurechnen, benutze das Induktionsgesetz$$ U ~=~ - \frac{ \text{d} \Phi}{ \text{d}t } $$im Zusammenhang mit dem Ohm-Gesetz: \( U ~=~ R \, I \).

Lösungen

Lösung für (a)

Das Magnetfeld \( B \) zeigt in die Ebene hinein. Damit erhöht sich der magnetische Fluss durch die Fläche \(A\) der Leiterschleife in die Ebene hinein. Nach der Lenz-Regel versucht die Natur diese Erhöhung des magnetischen Flusses zu hemmen. Damit entsteht ein Induktionsstrom \( I \) durch die Leiterschleife. Die Stromrichtung muss so sein, dass das durch den Induktionsstrom entstehende Magnetfeld \( B_{\text{ind}} \) den steigenden magnetischen Fluss zu unterbinden versucht. Das induzierte Magnetfeld \( B_{\text{ind}} \) muss also aus der Ebene heraus zeigen.

Wende die Korkenzieherregel der rechten Hand an. Krümme deine Finger entlang der Leiterschleife so, dass der Daumen aus der Ebene heraus zeigt. Das ist nämlich die Richtung des induzierten Magnetfelds. Die gekrümmten Finger zeigen folglich gegen den Uhrzeigersinn. Da diese Finger die Stromrichtung anzeigen, muss der Induktionsstrom gegen den Uhrzeigersinn fließen.

Es entsteht ein Induktionsstrom gegen den Uhrzeigersinn.
Lösung für (b)

Um den induzierten Strom \( I \) zum Zeitpunkt \(t_1\) zu bestimmen, nutzen wir das Induktionsgesetz aus:1$$ U(t) ~=~ - \frac{ \text{d} \Phi}{ \text{d}t } $$

Dieses gibt uns den Zusammenhang zwischen der Induktionsspannung \( U(t) \) und der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses \( \Phi(t) \), die durch die Zeitableitung repräsentiert wird.

Da wir den Induktionsstrom \( I \) suchen, benutzen wir das Ohm-Gesetz \( U ~=~ R \, I \), um das Induktionsgesetz mithilfe des Stroms auszudrücken. Dazu setzen wir das Ohm-Gesetz für die Spannung ein:2$$ R \, I(t) ~=~ - \frac{ \text{d} \Phi}{ \text{d}t } $$und bringen \(R\) auf die rechte Seite:3$$ I(t) ~=~ - \frac{1}{R} \, \frac{ \text{d} \Phi}{ \text{d}t } $$

Jetzt müssen wir noch herausfinden, wie genau sich der magnetische Fluss \( \Phi \) zeitlich ändert. Den magnetischen Fluss können wir als \( \Phi(t) = B \, A(t) \) schreiben. Das Magnetfeld \( B \) in das die Leiterschleife fällt, ist nach der Aufgabenstellung konstant, also zeitunabhängig.

Die Fläche \(A(t)\), die der magnetische Fluss innerhalb der Leiterschleife durchdringt, nimmt mit der Zeit jedoch zu, weil die Leiterschleife ja fällt und damit mehr magnetischen Fluss das Schleifeninnere durchdringt.

Die vom Magnetfluss durchdrungene Fläche nimmt beim Fallen zu.

Wir können also das konstante Magnetfeld vor die Zeitableitung ziehen und nur die Zeitableitung der magnetisch durchdrungenen Fläche \(A(t)\) betrachten (siehe Illustration 2):4$$ I(t) ~=~ - \frac{B}{R} \, \frac{ \text{d} A}{ \text{d}t } $$

Die Fläche ist nicht konkret gegeben, aber wir können sie weiter in bekannte Größen 'aufspalten'. Wir wissen nämlich, dass die Schleife die Breite \( w \) hat. Außerdem bezeichnen wir die aktuelle Höhe der durchdrungenen Fläche als \( h(t) \). Die Breite \(w\) der Schleife bleibt beim Fallen natürlich gleich. Sie ist daher zeitunabhängig. Die aktuelle Höhe \( h(t) \) der Fläche nimmt jedoch mit der Zeit zu, weil die Leiterschleife ja fällt und damit die durchdrungene Fläche in der vertikalen Höhe größer wird. Das Produkt der Breite \( w \) und der Höhe \(h(t)\) ergibt die Rechteckfläche \(A(t)\). Das können wir in 4 einsetzen und dabei die konstante Breite \(w\) aus der Ableitung herausziehen:5$$ I(t) ~=~ - \frac{B \, w}{R} \, \frac{ \text{d} h(t)}{ \text{d}t } $$

Die Geschwindigkeit \( v(t) \) ist allgemein definiert als Zeitableitung des Wegs. Genau das haben wir auch in der Gleichung 5. Dort steht nämlich die Ableitung der Höhe (also des Wegs) nach der Zeit \(t\). Damit können wir die Zeitableitung mit der Geschwindigkeit \( v(t) \) ersetzen:6$$ I(t) ~=~ - \frac{B \, w}{R} \, v(t) $$

Mit dieser Formel können wir den Strom zum beliebigen Zeitpunkt ausrechnen, wenn wir die Geschwindigkeit \(v(t)\) zum gleichen Zeitpunkt kennen. In der Aufgabe kennen wir die Geschwindigkeit \( v(t_1) = 2 \, \frac{\text m}{\text s} \) zum Zeitpunkt \(t_1\). Damit können wir den Strom \( I(t_1) \) zu diesem Zeitpunkt \(t_1\) berechnen:

7$$ I(t_1) ~=~ - \frac{B \, w}{R} \, v(t_1) $$

Es gibt keine Unbekannten mehr. Jetzt müssen wir nur noch konkrete Werte einsetzen, um den Strom zu berechnen:8\begin{align} I(t_1) &~=~ - \frac{2 \, \text{T} ~\cdot~ 0.1 \, \text{m}}{ 20 \, \Omega } ~\cdot~ 2 \, \frac{\text m}{\text s} \\\\ &~=~ - 0.02 \, \text{A} \end{align}

Lösung für (c)

Beim Fallen wirkt auf die Leiterschleife folgende Fallkraft nach unten zur Erde hin:9$$ F_{\text g} ~=~ m \, g $$

Da im unteren horizontalen Stab der Leiterschleife ein Strom fließt und dieser sich in einem externen Magnetfeld \(B\) befindet, wirkt auf dieses Stück des Leiters eine Lorentzkraft. Wenn du die Drei-Finger-Regel der rechten Hand anwendest,

  • Daumen in Richtung des Stroms
  • Zeigefinger in die Ebene hinein
dann zeigt dir der Mittelfinger die Richtung der Lorentzkraft.
Drei-Finger-Regel der rechten Hand bestimmt die Lorentzkraft-Richtung.
Die Lorentzkraft zeigt genau entgegengesetzt zur Fallkraft, also nach oben. Damit wird die Leiterschleife, wie bei Luftreibung, beim Fallen abgebremst. Sie erfährt folglich eine reduzierte Fallbeschleunigung und nicht \( g \).
Lorentzkraft auf den unteren Leiterstab wirkt gegen die Fallkraft und bremst die Leiterschleife ab.