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Aufgabe mit Lösung Amplitude und Geschwindigkeit des NaCl im zeitabhängigen E-Feld

Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
NaCl (Natriumchlorid) mit einem variablen Abstand \(a(t)\).

Eine Natriumchloridlösung mit einer Ladungsträgerdichte von \( n = 10^{25} \, \text{1}/\text{m} \) befindet sich in einem elektrischen zeitabhängigen Feld mit der Amplitude \( E_0 = 4000 \, \text{V}/\text{m} \) und der Frequenz \( f = 40 \, \text{Hz} \). Der spezifische Widerstand der NaCl-Lösung ist \( \rho = 1 \, \Omega \text{m}\).

  1. Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit \(v_0\) der Auslenkung?
  2. Wie groß ist die maximale Auslenkung \(a_0\) zwischen Na und Cl?
Lösungstipps

Benutze das Ohm-Gesetz in differentieller Form:\[ j = \sigma \, E \]sowie den Zusammenhang zwischen der Stromdichte \(j\) und der Geschwindigkeit \(v\).

Lösung

Lösung zu (a) anzeigen

Um die Geschwindigkeit, mit der die Na und Cl-Ionen ausgelenkt werden, herauszufinden, muss der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem elektrischen Wechselfeld hergestellt werden. Dazu wird das Ohm-Gesetz in differentieller Form benutzt, der die elektrische Stromdichte \(j\) und das elektrische Feld \(E\) über die spezifische Konduktivität \(\sigma\) verknüpft:1\[ j = \sigma \, E \]

Nun wird die Stromdichte \(j\) mithilfe der Geschwindigkeit \(v\) und der Ladungsdichte \( n \, e \) ausgedrückt und die Konduktivität \(\sigma\) ist der reziproke spezifische Widerstand \( \rho \):2\[ n\,e\,v = \frac{1}{\rho} \, E \]

Da es sich um ein elektrisches Wechselfeld handelt, ist \(E\) nicht konstant, sondern zeitabhängig und periodisch mit der Kreisfrequenz \(\omega\):3\[ n\,e\,v = \frac{1}{\rho} \, E_0 \, \cos(\omega \, t) \]hierbei ist es egal, ob das Wechselfeld mittels Cosinus oder Sinus beschrieben wird.

Nun kann 3 nach der Geschwindigkeit umgestellt werden:4\[ v(t) = \frac{E_0}{\rho \, n \, e} \, \cos(\omega \, t) \]

Wie an 4 zu sehen ist, oszilliert die Geschwindigkeit. Die maximale Geschwindigkeit \(v_0\) ist die Amplitude der Oszillation, also der maximale Wert von 4. Und das ist genau der Wert, wenn der Cosinus maximal ist, sprich \( \cos(\omega t) = 1 \). Damit:

5\[ v_0 = \frac{E_0}{\rho \, n \, e} \]
6\[ v_0 = 2.5 \, \frac{\text{mm}}{\text s} \]
Lösung zu (b) anzeigen

Um die maximale Auslenkung zwischen der Na- und Cl-Ionen zu bestimmen, muss die in der Teilaufgabe (a) bestimmte Geschwindigkeitsfunktion 4 integriert werden:7\[ a(t) = \int v(t) \text{d}t \]

Einsetzen von 4 in 7 und Herausziehen des zeitunabhängigen Faktors \(v_0\):8\[ a(t) = \frac{E_0}{\rho \, n \, e} \, \int \cos(\omega \, t) \text{d}t \]

Die Integration ergibt also:9\[ a(t) = \frac{E_0}{\rho \, n \, e} \, \frac{1}{\omega} \, \sin(\omega \, t) \]

Die Amplitude, also die maximale Auslenkung ist, wenn der Sinus Eins ist:10\[ a_0 = \frac{E_0}{\rho \, n \, e} \, \frac{1}{\omega} \]

Bleibt nur noch die Kreisfrequenz \( \omega \) mit der Frequenz \(f\) zu ersetzen:

11\[ a_0 = \frac{E_0}{\rho \, n \, e} \, \frac{1}{2\pi \, f} \]
12\[ a_0 = 10 \, \mu\text{m} \]
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