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Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Aufgabe mit Lösung Entladen eines Kondensators von 900V auf 10V

RC-Schaltung - Kondensator wird entladen nach dem Betätigen des Schalters Visier mich an!Illustration bekommen
Betrachtete Schaltung zum Entladen des Kondensators.

Ein Kondensator der Kapazität \( C = 10 \, \mu\text{F} \) mit einem unbekannten vorgeschalteten Widerstand \(R\), ist auf \( U_0 = 900 \, \text{V} \) aufgeladen. Das Ziel ist es beim Entladen des Kondensators, dass das Entladen von \( 900 \, \text{V} \) auf \( 10 \, \text{V} \) innerhalb von \( 10 \, \text{s} \) passiert.

Wie groß muss dafür der Vorwiderstand \(R\) gewählt werden?

Lösungstipps

Benutze dafür den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator beim Entladevorgang:\[ U_{\text C}(t) = U_0 \, e^{-\frac{t}{R\,C}} \]

Lösungen

Lösung
U-t-Diagramm - Entladen des Kondensators.

Der Kondensator ist laut der Quest auf \( U_0 = 900 \, \text{V} \) geladen. Das Entladen des Kondensators passiert nicht ruckartig von \( 900 \, \text{V} \) auf \( 0 \, \text{V} \), sondern das Entladen dauert eine Zeit lang. Diese Entladedauer hängt von der Anfangsspannung \(U_0\), von der Kapazität \(C\) des Kondensators und von dem mit dem in Serie geschalteten Widerstand \(R\) ab. Die gemessene Spannung \(U_{\text C}(t)\) am Kondensator ist also zeitabhängig und hat den folgenden exponentiellen Zusammenhang:1\[ U_{\text C}(t) ~=~ U_0 \, e^{-\frac{t}{R\,C}} \]

Das Ziel ist es den Kondensator mit der Kapazität \( C = 10 \, \mu\text{F} \) von \( U_0 = 900 \, \text{V} \) auf \( U_{\text C}(t) = 10 \, \text{V} \) innerhalb von \( t = 10 \, \text{s} \) zu entladen. Dafür muss der Widerstand \(R\) passen gewählt werden. Also wird 1 nach dem Widerstand umgeformt!

Bringe dazu \(U_0\) auf die andere Seite der Gleichung:2\[ \frac{U_{\text C}(t)}{U_0} = e^{-\frac{t}{R\,C}} \]

Um die Exponentialfunktion aufzulösen, wird auf beiden Seiten der natürliche Logarithmus \( \ln() \) benutzt, da dieser die Umkrehfunktion der Exponentialfunktion ist:3\[ \ln\left(\frac{U_{\text C}(t)}{U_0}\right) = -\frac{t}{R\,C} \]

Jetzt nur noch nach \(R\) umstellen:

4\[ R = -\frac{t}{C \, \ln\left(\frac{U_{\text C}(t)}{U_0}\right)} \]

Einsetzen der gegebenen Größen ergibt:5\[ R = 222 \, \text{k}\Omega \]

Details zum Inhalt
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