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  3. #354

Aufgabe mit Lösung Widerstand und Leistung eines Leiters mit einem variablen Querschnitt

Spannung am Draht mit einem Durchmesser, der in x-Richtung abnimmt.

An einem leitenden, \(1 \, \text{m}\) langen Draht liegt eine Spannung von \(12 \, \text{V} \) an. Der Querschnitt des Drahts ist jedoch nicht über die ganze Länge gleich, sondern nimmt von einem Ende zum anderen Ende ab. Der Durchmesser des größten Querschnitts ist \(d_1 = 2 \, \text{mm} \) und der Durchmesser des kleinsten Querschnitts ist \(d_2 = 1 \, \text{mm} \).

Der spezifische Widerstand des Drahts ist \( \rho = 8.7 \cdot 10^{-8} \, \Omega\text{m} \).

  1. Wie groß ist der Gesamtwiderstand \(R\) des Drahts?
  2. Wie groß ist die Gesamtleistung \(P\) des Drahts?
Lösungstipps

Teilaufgabe (a): Benutze den Zusammenhang zwischen dem Widerstand \(R\) und dem spezifischen Widerstand \(\rho\):\[ R = \rho \, \frac{L}{A(x)} \]hierbei ist die \(A(x)\) die variable Querschnittsfläche des Drahts, je nach Abstand \(x\). Betrachte dann ein infinitesimales Längenelement des Drahts in der obigen Gleichung. Finde \(A(x)\) heraus.

Teilaufgabe (b):

Berechne aus dem in der Teilaufgabe (a) gefundenen Widerstand den Strom und dann die elektrische Gesamtleistung, die am Draht umgesetzt wird.

Lösung

Lösung zu (a) anzeigen

Der elektrische Widerstand \(R\) hängt mit dem (gegebenen) spezifischen Widerstand \(\rho\) über den Geometriefaktor \(L/A\) zusammen:1\[ R = \rho \, \frac{L}{A} \]hierbei ist \(L\) die Länge des Drahts und \(A\) seine Querschnittsfläche. Nun, der Querschnitt ist aber nicht konstant, sondern davon abhängig, welche Stelle des Leiters betrachtet wird. Dazu wird die x-Achse entlang des Drahts gelegt. Dann ist der Querschnitt abhängig von \(x\) und damit auch \(R(x)\):2\[ R(x) = \rho \, \frac{L}{A(x)} \]

Gesucht ist aber nicht der Widerstand an einer bestimmten Stelle \(x\), sondern der Gesamtwiderstand \(R\) des Drahts. Dazu wird ein infinitesimales Drahtstück \( \text{d}x \) betrachtet, der den Widerstand \( \text{d}R \) zum Gesamtwiderstand beiträgt: 3\[ \text{d}R = \rho \, \frac{ \text{d}x }{A(x)} \]

Das Ziel ist es nun die Funktion \(A(x)\) zu bestimmen, weil sie noch unbekannt ist. Die Querschnittsfläche ist die Fläche eines Kreises, jedoch mit einem variablen Radius \(r(x)\):4\[ A(x) = \pi \, r(x)^2 \]

Gegeben ist aber nicht der Radius, sondern der Durchmesser. Deshalb wird 4 mit der Durchmesser-Funktion umgeschrieben:5\[ A(x) = \frac{\pi}{4} \, d(x)^2 \]

Der Durchmesser muss eine lineare Funktion sein, denn der Drahtdurchmesser nimmt gleichmäßig ab. Bei \(d(0)\) ist der Durchmesser \(d_1\) und \(d(L)\) ist das Ende des Drahts mit dem Durchmesser \(d_2\). Zwischen diesen Punkten ist die Durchmesser-Funktion eine Gerade! Sie hat die negative Steigung \( (d_1 - d_2) / L \):6\[ d(x) = d_1 - \frac{d_1 - d_2}{L} \, x \] \[ d(x) = d_1 + \frac{d_2 - d_1}{L} \, x \]

Damit ist \(d(x)\) bestimmt worden und kann jetzt in 5 eingesetzt werden:7\[ A(x) = \frac{\pi}{4} \, \left( d_1 + \frac{d_2 - d_1}{L} \, x \right)^2 \]

Mit der bestimmten Querschnittsflächenfunktion 7 ist die Gleichung 3 bereit zum Integrieren:8\[ R = \rho \, \int_{0}^{L} \frac{1}{A(x)} \ \text{d}x \]9\[ R = \frac{4\rho}{\pi} \, \int_{0}^{L} \left( d_1 + \frac{d_2 - d_1}{L} \, x \right)^{-2} \ \text{d}x \]

Um die Gleichung 9 etwas übersichtlicher zu halten, wird \( a:= (d_2 - d_1) / L \) gesetzt:10\[ R = \frac{4\rho}{\pi} \, \int_{0}^{L} \left( d_1 + a \, x \right)^{-2} \, \text{d}x \]

Die Integration ergibt:11\[ R = \frac{4\rho}{\pi} \, \left[ -\frac{1}{a} \, \left( d_1 + a \, x \right)^{-1} \right]^{L}_{0} \]

Einsetzen der Integrationsgrenzen ergibt:12\[ R = -\frac{4\rho}{\pi \, a} \, \left( \frac{1}{d_1 + a \, L} - \frac{1}{d_1} \right) \] \[ R = \frac{4\rho}{\pi \, a} \, \left( \frac{1}{d_1} - \frac{1}{d_1 + a \, L} \right) \]

Die Brüche in der Klammer auf den gleichen Nenner bringen:13\[ R = \frac{4\rho}{\pi \, a} \, \left( \frac{d_1 + a \, L}{d_1 (d_1 + a \, L)} - \frac{d_1}{d_1 (d_1 + a \, L)} \right) \] \[ R = \frac{4\rho}{\pi \, a} \, \left( \frac{a \, L}{d_1 (d_1 + a \, L)} \right) \] \[ R = \frac{4\rho}{\pi} \, \frac{L}{d_1^2 + d_1 \, a \, L} \] \[ R = \frac{4\rho \, L}{\pi} \, \left( d_1^2 + d_1 \, \frac{d_2 - d_1}{L} \, L \right)^{-1} \] \[ R = \frac{4\rho \, L}{\pi} \, \left( d_1 \, d_2 \right)^{-1} \]

14\[ R = \frac{4\rho \, L}{\pi} \, \frac{1}{d_1 \, d_2} \]
15\[ R = 0.55 \, \Omega \]
Lösung zu (b) anzeigen

Mithilfe des berechneten Gesamtwiderstands 15 kann die am Draht umgesetzte Gesamtleistung berechnet werden:

16\[ P = \frac{U^2}{R} \]
16\[ P = 261 \, \text{W} \]
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