Aufgabe mit Lösung Maschenregel & Knotenregel - Schaltung mit 6 Widerständen

Illustration bekommen

Linke Seite des Schaltkreises:
Die Spannung am Widerstand \(R_1\) ist nach der Skizze \(U_{\text q}\). Bei gegebenem Widerstand \(R_1\) kann der Strom durch den Widerstand \(R_1\) mit dem Ohm-Gesetz berechnet werden:

Die Spannung, die an beiden Widerständen \(R_2\) und \(R_3\) abfällt ist \(U_{\text q}\). Das kann leicht nachvollzogen werden, wenn die beiden in Reihe geschalteten Widerstände zusammengefasst werden \(R_2 + R_3\). Der Strom \(I_{23}\) durch die Widerstände \(R_2\) und \(R_3\) ist also:

Nach der Knotenregel muss der Strom \(I_{123}\) die Summe der eben berechneten Teilströme 1 und 2 sein:

Die Spannung am Widerstand \(R_1\) ist, wie bereits gesagt, die Quellspannung:

Da der Strom \(I_{23}\) bereits bestimmt wurde, kann mit seiner Hilfe die Spannung \(U_3\) am Widerstand \(R_3\) berechnet werden:

Analog auch die Spannung \(U_2\) am Widerstand \(R_2\). Durch diesen fließt auch der Strom \(I_{23}\):

Rechte Seite des Schaltkreises:
Um den Strom \(I_{456}\) zu bestimmen, werden die Widerstände auf der rechten Seite der Schaltung zusammengefasst. Die Widerstände \(R_5\) und \(R_6\) sind parallel geschaltet, folglich ist deren Gesamtwiderstand \(R_{56}\) die Summe der Reziprokwerte \(1/R_{56} = 1/R_5 + 1/R_6\), oder alternativ formuliert:7\[ R_{56} = \frac{R_5 \, R_6}{R_5 + R_6} = 442.1 \, \Omega \]

Der Widerstand \(R_{56}\) ist mit dem Widerstand \(R_4\) in Reihe geschaltet, folglich addieren sich die beiden Widerstände:8\[ R_{456} = \frac{R_5 \, R_6}{R_5 + R_6} + R_4 = 842.1 \, \Omega \]

Wie viel Spannung an dem zusammengefassten Widerstand 8 abfällt, ist nun bekannt, nämlich die Quellspannung. Daraus kann mit dem Ohm-Gesetz der Strom \(I_{456}\) durch diesen Widerstand bestimmt werden:

Da nun der Strom \(I_{456}\) durch den Widerstand \(R_4\) bekannt ist, kann die Spannung, die an diesem Widerstand abfällt, berechnet werden:

Die dritte Maschenregel besagt:11\[ U_{\text q} = U_4 + U_5 \]

Stelle 11 nach der unbekannten Spannung \(U_5\) um, und berechne:

Die vierte Masche ergibt:

Die Knotenregel \(I_{456} = I_5 + I_6\) ergibt:

hierbei ist \(U_5/R_5\) der Strom \(I_5\). Ebenfalls nach der Knotenregel und mit 14 folgt:

Der Quellstrom \(I_{\text q}\) ist nach der Knotenregel:

Damit ist die Quest vollständig gelöst - alle Ströme und Spannungen an den Widerständen wurden bestimmt!