Aufgabe mit Lösung Maschenregel & Knotenregel - Schaltung mit 6 Widerständen
Bestimme alle elektrischen Ströme und Spannungen im Netzwerk mit sechs Widerständen \(R_1 = 2\,\text{k}\Omega\), \(R_2 = 30\,\Omega\), \(R_3 = 95\,\Omega\), \(R_4 = 400\,\Omega\), \(R_5 = 700\,\Omega\) und \(R_6 = 1.2\,\text{k}\Omega\) sowie der vorgegebenen Quellspannung \(U_{\text q} = 3 \, \text{V} \).
Lösungstipps
Benutze die Knoten- und Maschenregel. Es macht Sinn einige in Serie geschalteten oder parallel geschalteten Widerstände zusammenzufassen, um daraus neue Information zu gewinnen.
Lösung
Lösung anzeigen
Linke Seite des Schaltkreises:
Die Spannung am Widerstand \(R_1\) ist nach der Skizze \(U_{\text q}\). Bei gegebenem Widerstand \(R_1\) kann der Strom durch den Widerstand \(R_1\) mit dem Ohm-Gesetz berechnet werden:
Die Spannung, die an beiden Widerständen \(R_2\) und \(R_3\) abfällt ist \(U_{\text q}\). Das kann leicht nachvollzogen werden, wenn die beiden in Reihe geschalteten Widerstände zusammengefasst werden \(R_2 + R_3\). Der Strom \(I_{23}\) durch die Widerstände \(R_2\) und \(R_3\) ist also:
Nach der Knotenregel muss der Strom \(I_{123}\) die Summe der eben berechneten Teilströme 1
und 2
sein:
Die Spannung am Widerstand \(R_1\) ist, wie bereits gesagt, die Quellspannung:
Da der Strom \(I_{23}\) bereits bestimmt wurde, kann mit seiner Hilfe die Spannung \(U_3\) am Widerstand \(R_3\) berechnet werden:
Analog auch die Spannung \(U_2\) am Widerstand \(R_2\). Durch diesen fließt auch der Strom \(I_{23}\):
Rechte Seite des Schaltkreises:
Um den Strom \(I_{456}\) zu bestimmen, werden die Widerstände auf der rechten Seite der Schaltung zusammengefasst. Die Widerstände \(R_5\) und \(R_6\) sind parallel geschaltet, folglich ist deren Gesamtwiderstand \(R_{56}\) die Summe der Reziprokwerte \(1/R_{56} = 1/R_5 + 1/R_6\), oder alternativ formuliert:7\[ R_{56} = \frac{R_5 \, R_6}{R_5 + R_6} = 442.1 \, \Omega \]
Der Widerstand \(R_{56}\) ist mit dem Widerstand \(R_4\) in Reihe geschaltet, folglich addieren sich die beiden Widerstände:8\[ R_{456} = \frac{R_5 \, R_6}{R_5 + R_6} + R_4 = 842.1 \, \Omega \]
Wie viel Spannung an dem zusammengefassten Widerstand 8
abfällt, ist nun bekannt, nämlich die Quellspannung. Daraus kann mit dem Ohm-Gesetz der Strom \(I_{456}\) durch diesen Widerstand bestimmt werden:
Da nun der Strom \(I_{456}\) durch den Widerstand \(R_4\) bekannt ist, kann die Spannung, die an diesem Widerstand abfällt, berechnet werden:
Die dritte Maschenregel besagt:11\[ U_{\text q} = U_4 + U_5 \]
Stelle 11
nach der unbekannten Spannung \(U_5\) um, und berechne:
Die vierte Masche ergibt:
Die Knotenregel \(I_{456} = I_5 + I_6\) ergibt:
hierbei ist \(U_5/R_5\) der Strom \(I_5\). Ebenfalls nach der Knotenregel und mit 14
folgt:
Der Quellstrom \(I_{\text q}\) ist nach der Knotenregel:
Damit ist die Quest vollständig gelöst - alle Ströme und Spannungen an den Widerständen wurden bestimmt!
