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Aufgabe mit Lösung Maschenregel & Knotenregel - Schaltung mit 6 Widerständen

Die zu behandelnde elektrische Schaltung.

Bestimme alle elektrischen Ströme und Spannungen im Netzwerk mit sechs Widerständen \(R_1 = 2\,\text{k}\Omega\), \(R_2 = 30\,\Omega\), \(R_3 = 95\,\Omega\), \(R_4 = 400\,\Omega\), \(R_5 = 700\,\Omega\) und \(R_6 = 1.2\,\text{k}\Omega\) sowie der vorgegebenen Quellspannung \(U_{\text q} = 3 \, \text{V} \).

Lösungstipps

Benutze die Knoten- und Maschenregel. Es macht Sinn einige in Serie geschalteten oder parallel geschalteten Widerstände zusammenzufassen, um daraus neue Information zu gewinnen.

Lösung

Lösung anzeigen
Maschen und Knoten der Schaltung.

Linke Seite des Schaltkreises:
Die Spannung am Widerstand \(R_1\) ist nach der Skizze \(U_{\text q}\). Bei gegebenem Widerstand \(R_1\) kann der Strom durch den Widerstand \(R_1\) mit dem Ohm-Gesetz berechnet werden:

1\[ I_1 = \frac{U_{\text q}}{R_1} = 1.5 \, \text{mA} \]

Die Spannung, die an beiden Widerständen \(R_2\) und \(R_3\) abfällt ist \(U_{\text q}\). Das kann leicht nachvollzogen werden, wenn die beiden in Reihe geschalteten Widerstände zusammengefasst werden \(R_2 + R_3\). Der Strom \(I_{23}\) durch die Widerstände \(R_2\) und \(R_3\) ist also:

2\[ I_{23} = \frac{U_{\text q}}{R_2 + R_3} = 24 \, \text{mA} \]

Nach der Knotenregel muss der Strom \(I_{123}\) die Summe der eben berechneten Teilströme 1 und 2 sein:

3\[ I_{123} = I_1 + I_{23} = 25.5 \, \text{mA} \]

Die Spannung am Widerstand \(R_1\) ist, wie bereits gesagt, die Quellspannung:

4\[ U_1 = U_{\text q} = 3 \, \text{V} \]

Da der Strom \(I_{23}\) bereits bestimmt wurde, kann mit seiner Hilfe die Spannung \(U_3\) am Widerstand \(R_3\) berechnet werden:

5\[ U_3 = R_3 \, I_{23} = 2.28 \, \text{V} \]

Analog auch die Spannung \(U_2\) am Widerstand \(R_2\). Durch diesen fließt auch der Strom \(I_{23}\):

6\[ U_2 = R_2 \, I_{23} = 0.72 \, \text{V} \]

Rechte Seite des Schaltkreises:
Um den Strom \(I_{456}\) zu bestimmen, werden die Widerstände auf der rechten Seite der Schaltung zusammengefasst. Die Widerstände \(R_5\) und \(R_6\) sind parallel geschaltet, folglich ist deren Gesamtwiderstand \(R_{56}\) die Summe der Reziprokwerte \(1/R_{56} = 1/R_5 + 1/R_6\), oder alternativ formuliert:7\[ R_{56} = \frac{R_5 \, R_6}{R_5 + R_6} = 442.1 \, \Omega \]

Der Widerstand \(R_{56}\) ist mit dem Widerstand \(R_4\) in Reihe geschaltet, folglich addieren sich die beiden Widerstände:8\[ R_{456} = \frac{R_5 \, R_6}{R_5 + R_6} + R_4 = 842.1 \, \Omega \]

Wie viel Spannung an dem zusammengefassten Widerstand 8 abfällt, ist nun bekannt, nämlich die Quellspannung. Daraus kann mit dem Ohm-Gesetz der Strom \(I_{456}\) durch diesen Widerstand bestimmt werden:

9\[ I_{456} = \frac{U_{\text q}}{R_{456}} = 3.56 \, \text{mA} \]

Da nun der Strom \(I_{456}\) durch den Widerstand \(R_4\) bekannt ist, kann die Spannung, die an diesem Widerstand abfällt, berechnet werden:

10\[ U_4 = R_4 \, I_{456} = 1.424 \, \text{V} \]

Die dritte Maschenregel besagt:11\[ U_{\text q} = U_4 + U_5 \]

Stelle 11 nach der unbekannten Spannung \(U_5\) um, und berechne:

12\[ U_5 = U_{\text q} - U_4 = 1.576 \, \text{V} \]

Die vierte Masche ergibt:

13\[ U_6 = U_5 = 1.576 \, \text{V} \]

Die Knotenregel \(I_{456} = I_5 + I_6\) ergibt:

14\[ I_6 = I_{456} - \frac{U_5}{R_5} = 1.3 \, \text{mA} \]

hierbei ist \(U_5/R_5\) der Strom \(I_5\). Ebenfalls nach der Knotenregel und mit 14 folgt:

15\[ I_5 = I_{456} - I_6 = 2.26 \, \text{mA} \]

Der Quellstrom \(I_{\text q}\) ist nach der Knotenregel:

16\[ I_{\text q} = I_{123} + I_{456} = 29.06 \, \text{mA} \]

Damit ist die Quest vollständig gelöst - alle Ströme und Spannungen an den Widerständen wurden bestimmt!

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