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Aufgabe mit Lösung Bewegter Draht auf einem Drahtbügel im Magnetfeld

Drahtbügel mit beweglichem Stab - Induktionsspannung aufgrund der Lorentzkraft.

Auf einem rechteckigen Drahtbügel der Breite \(b\) ist ein beweglicher Stab angebracht. Der ganze Aufbau befindet sich in einem homogenen Magnetfeld \(B\). Nun wird der Stab von einem Ende des Drahtbügels nach rechts mit einer konstanten Geschwindigkeit \(v\) bewegt. Aufgrund dieser Bewegung im Magnetfeld wirkt auf die positiven Ladungen im Stab die Lorentzkraft. Es bildet sich dadurch die Spannung \(U\) entlang des Stabs aus.

  1. Zeige, dass die durch die Lorentzkraft entstandene Spannung der Induktionsspannung entspricht.
  2. Berechne die mechanische Leistung \(P\) mithilfe des sich ausbildenden Induktionsstroms entlang des Stabs.
Lösungstipps

Teilaufgabe (a):
Benutze die Formel für die Lorentzkraft und das Induktionsgesetz.

Teilaufgabe (b):
Benutze die Definition der Leistung und drücke sie mithilfe derLorentzkraft für stromdurchflossene Leiter aus.

Lösung

Lösung zu (a) anzeigen

Aufgrund der Bewegung des Drahts mit einer konstanten Geschwindigkeit \(v\) (sei es die positive x-Richtung) im senkrechten Magnetfeld \(B\), wird eine magnetische Kraft auf die positiven Ladungsträger im Stab nach oben (sei es die positive y-Richtung) erzeugt:1\[ F_{\text y} = q \, v \, B \]

Dadurch entsteht oben am Stab ein positiver und unten am Stab ein negativer Ladungsüberschuss, was einem elektrischen Feld \(E\) entspricht (definitionsgemäß von + nach -). Die positiven Ladungsträger erfahren also eine elektrische Kraft in die entgegengesetzte Richtung zur magnetischen Kraft 1, also in die negative y-Richtung:1.1\[ F_{\text y} = - q \, E \]

Die Kräfte wirken solange, bis sich ein Kräftegleichgewicht einstellt:1.2\[ q \, v \, B = - q \, E \]

Die Ladung \(q\) des Ladungsträgers kürzt sich weg:1.3\[ E = - v \, B \]

Die aufgrund des E-Feldes entstandene elektrische Spannung ist die Spannung, die entlang des Stabs abfällt:1.4\[ U = \int E ~\text{d}r = E \, b \]

Einsetzen von 1.4 in 1.3 ergibt die Spannung an den Stabenden:1.5\[ U = - B \, v \, b \]

Um zu überprüfen, ob diese Spannung der Induktionsspannung entspricht, wird nun das Induktionsgesetz benutzt:2\[ U = - \frac{\partial \Phi}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial t} \int_A B ~\text{d}a \]

Da das Magnetfeld \(B\) zeitlich konstant ist, kann es aus dem Integral und vor die Zeitableitung herausgezogen werden. Und das Flächenintegral ist einfach die vom Drahtbügel und Stab eingeschlossene Fläche \(A\):2.1\[ U = - B \, \frac{\partial A}{\partial t} \]

Diese Fläche ist natürlich zeitabhängig, da sie durch die Stabbewegung nach rechts stets linear zunimmt:2.2\[ A(t) = s(t) \, b = v \, t \, b \]hierbei ist \(s(t) = v \, t \).

Einsetzen von 2.2 in 2.1 und anschließendes Differenzieren nach der Zeit ergibt die Induktionsspannung:2.3\[ U = - B \, v \, b \]

Die Spannung 2.3 entspricht genau der Spannung 1.5.Die Lorentzkraft und das Induktionsgesetz sind in diesem Experiment äquivalent.

Lösung zu (b) anzeigen

Aufgrund des sich ausgebildeten elektrischen Feldes \(E\), welches in die negative y-Richtung zeigt (zum unteren Ende des Stabs), fließt ein elektrischer Strom \(I\) entlang des Stabs. Die Lorentzkraft, welche nach der Drei-Finger-Regel in die positive x-Richtung zeigt - auf die Gesamtheit der positiven Ladungsträger im Stab, kann mithilfe des Stroms ausgedrückt werden:3\[ F_{\text x} = I \, b \, B \]denn \( I \, b = b \, Q / t = Q \, v_{\text y} \).

Die Leistung ist allgemein definiert als:4\[ P = \frac{\text{d}W}{\text{d}t} \]

Die verrichtete Arbeit \(W\) am Stab ist die Lorentzkraft 3 (diese zeigt in die Bewegungsrichtung des Stabs) multipliziert mit der Verschiebung \(s\) des Stabs (Kraft MAL Weg), wobei die Lorentzkraft zeitunabhängig ist:5\[ P = \frac{\text{d}}{\text{d}t} (F_{\text x} \, s ) = F_{\text x} \, \frac{\text{d}}{\text{d}t} s(t) \]

Mit linearer Zunahme von \( s(t) = v \, t \) und durch Einsetzen der Lorentzkraft 3 folgt:6\[ P = I \, b \, B \, \frac{\text{d}}{\text{d}t} v \, t \]

Die Differentiation ergibt:7\[ P = I \, b \, B \, v \]

Nun kann noch die in der Teilaufgabe (a) bestimmte Spannung 2.3 in 7 eingesetzt werden:

8\[ P = - I \, U \]
Die mechanische Leistung aufgrund der konstanten Stabbewegung entspricht der elektrischen Leistung.
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