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Aufgabe mit Lösung Magnetfeld von einem halbkreisförmigen stromdurchflossenen Draht

Halbkreisförmiger stromdurchflossener dünner Draht

Ein dünner stromdurchflossener Draht in der x-y-Ebene verläuft entlang der x-Achse und macht dann eine halbkreisförmige Biegung mit dem Radius \(R\). Anschließend verläuft der Leiter weiter entlang der x-Achse.

  1. Wie groß ist das Magnetfeld \(B\) im Koordinatenursprung?
Lösungstipps

Benutze das Biot-Savart-Gesetz.

Lösung

Lösung zu (a) anzeigen
Biot-Savart-Gesetz für einen dünnen Leiter.

Das Magnetfeld von einem beliebig geformten dünnen Leiter, kann mit dem folgenden Biot-Savart-Gesetz berechnet werden:1\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{4\pi} \int_{S} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}|^3} \times \text{d}\boldsymbol{s} \]

Da nach der Aufgabenstellung das Magnetfeld im Koordinatenursprung gesucht ist, ist der Ortsvektor \( \boldsymbol{r} \) zum Feldpunkt, an dem das Magnetfeld berechnet werden soll, Null. Zur kürzeren Schreibweise wird der Betrag \(R := |\boldsymbol{R}| \) definiert:2\[ \boldsymbol{B}(0) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{4\pi} \int_{S} \frac{-\boldsymbol{R}}{R^3} \times \text{d}\boldsymbol{s} \]

In Zylinderkoordinaten kann der Ortsvektor \( \boldsymbol{R} \), der zum infinitesimalen Leiterelement \( \text{d}\boldsymbol{s} \) zeigt, mithilfe des Basisvektors \(\hat{\boldsymbol{r}}_{\perp}\) (dieser zeigt von der z-Achse radial nach außen) und dem Betrag \(R\) geschrieben werden:3\[ \boldsymbol{B}(0) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{4\pi} \int_{S} \frac{-R \, \hat{\boldsymbol{r}}_{\perp}}{R^3} \times \text{d}\boldsymbol{s} \]

Das Integral geht bei festgehaltenem Abstand \(R\) lediglich entlang der \(\varphi\)-Koordinate, weshalb der Betrag \(R\) aus dem Integral herausgezogen werden darf:4\[ \boldsymbol{B}(0) ~=~ -\frac{\mu_0 \, I}{4\pi \, R^2} \int_{S} \hat{\boldsymbol{r}}_{\perp} \times \text{d}\boldsymbol{s} \]

Das infinitesimale Element ist \( \text{d}\boldsymbol{s} = R\, \text{d}\varphi \, \hat{\boldsymbol{\varphi}} \), (wobei \(R\) vor dem \(\text{d}\varphi\) bekannterweise die Jacobi-Determinante ist). Hierbei ist \(\hat{\boldsymbol{\varphi}}\) der Basisvektor in Zylinderkoordinaten entlang der Koordinate \(\varphi\):5\[ \boldsymbol{B}(0) ~=~ -\frac{\mu_0 \, I}{4\pi \, R^2} \int_{S} \hat{\boldsymbol{r}}_{\perp} \times \hat{\boldsymbol{\varphi}} \, R\, \text{d}\varphi \]

Das Kreuzprodukt \( \hat{\boldsymbol{r}}_{\perp} \times \hat{\boldsymbol{\varphi}} \) von zwei Basisvektoren steht orthogonal auf den beiden und entsricht damit dem Basisvektor in die z-Richtung \( \hat{\boldsymbol{z}} \) in Zylinderkoordinaten:6\[ \boldsymbol{B}(0) ~=~ -\frac{\mu_0 \, I}{4\pi \, R} \int_{S} \hat{\boldsymbol{z}} \, \text{d}\varphi \]

Der Basisvektor \( \hat{\boldsymbol{z}} = (0,0,1) \) ist unabhängig von \(\varphi\) und wird aus dem Integral herausgezogen. Das Integral über die Koordinate \(\varphi\) verläuft auf einem Halbkreis, also von 0 bis \(\pi\):7\[ \boldsymbol{B}(0) ~=~ -\frac{\mu_0 \, I}{4\pi \, R} \, \hat{\boldsymbol{z}} \int^{\pi}_{0} \, \text{d}\varphi \]

Das Integral ergibt einfach \(\pi\). Damit ist das Magnetfeld im Koordinatenursprung:

8\[ \boldsymbol{B}(0) ~=~ -\frac{\mu_0 \, I}{4 \, R} \, \hat{\boldsymbol{z}} \]
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