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Level 2
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Aufgabe mit Lösung Mittelwert und Standardabweichung einer Messung

Es wurden 10 folgende Messwerte aufgenommen:

\( i \)Messwert \( x_i \)
145.0
245.7
344.6
445.2
545.6
644.5
744.9
845.2
945.8
1044.7
  1. Wie groß ist der Mittelwert \( \bar{x} \) der Stichprobe?
  2. Wie groß ist die empirische Standardabweichung \( s \) der Stichprobe?
  3. Wie stark weicht der Mittelwert vom wahren Wert \( x \) ab, mit einer Sicherheit von 95%?
Lösungstipps
  1. Benutze dazu die Formel für den Mittelwert.
  2. Standardabweichung ist gegeben durch:\[ s ~=~ \sqrt{ \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)^2 } \]
  3. Benutze die sogenannte (Studentsche) t-Verteilung. Für Deinen Fall \( N = 10 \) ist \( t = 2.30 \). Berechne:\[ x ~=~ \bar{x} \pm \frac{s}{\sqrt N} \, t \]

Lösungen

Lösung für (a)

Mit der Formel für den Mittelwert:\[ \bar x ~=~ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \]bekommst Du durch Einsetzen der 10 Messwerte aus der Tabelle:\[ \bar x ~=~ \frac{1}{10} * (45.0 + 45.7 + 44.6 + 45.2 + 45.6 + 44.5 + 44.9 + 45.2 + 45.8 + 44.7) \]Eingetippt in den Taschenrechner, lautet der Mittelwert konkret \( \bar x ~=~ 45.12 \)

Lösung für (b)

Mit der Formel für Standardabweichung aus den Lösungstipps:\[ s ~=~ \sqrt{ \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)^2 } \] findest Du die empirische Standardabweichung der Stichprobe heraus. Benutze außerdem den in (a) berechneten Mittelwert und die Messwerte aus der Tabelle:\[ s ~=~ \sqrt{ \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10} (x_i - 45.12)^2 } \]

Eingegeben in den Taschenrechner:\[ s ~=~ 0.463 \]

Lösung für (c)

Um herauszufinden wie stark der in (a) berechnete Mittelwert vom wahren Wert abweicht; und zwar mit einer Sicherheit von 95%, benutzt Du den t-Wert aus der t-Verteilung, der für Deine Stichprobe angemessen ist. Das heißt: \( N = 10 \) und \( P = 95 \)%. Die t-Verteilung benutzt Du immer dann, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt ist. Die t-Verteilung ist also bei einer Stichprobe wie in dieser Aufgabe sinvoll.

Für Deinen Fall \( N = 10 \) und \( P = 95 \)% ist \( t = 2.30 \). Mit der Formel aus dem Hinweis:\[ x ~=~ \bar{x} \pm \frac{s}{\sqrt N} \, t \]findest Du heraus, wie stark der wahre Wert \( x \) vom Mittelwert \( \bar{x} \) abweicht:\[ x ~=~ 45.12 \pm \frac{0.463}{\sqrt{10}} * 2.30 \]also um \( \pm 0.337 \).

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