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Aufgabe mit Lösung Bestimmte Kapazität eines Plattenkondensators realisieren

Plattenkodensator mit Flächen \( A \), Ladung \( Q \), Abstand \( d \), Spannung \( U \) und dem Dielektrikum zwischen den Platten.

Kondensatoren werden durch die Angabe der elektrischen Kapazität charakterisiert. Sie sagt Dir, wie gut ein Kondensator elektrische Ladung "speichern" kann. Das Ziel der modernen Technik ist es meistens: Möglichst kleine Kondensatoren mit möglichst großer Kapazität herzustellen, damit so ein Bauelement auch in Dein Handy hineinpasst.

Du willst einen Plattenkondensator haben, der eine Kapazität von \( C = 0.5 \, \text{nF} \) (Nano-Farad) hat. Die Fläche einer Kondensatorplatte ist vorgegeben auf \( A = 12 \, \text{cm}^2 \).

  1. Wie groß musst Du den Abstand \( d \) der Platten wählen, um diese Kapazität zu erreichen?
  2. Was kannst Du noch tun, um die vorgegebene Kapazität zu erreichen, wenn der Plattenabstand auf \( d = 1.5 \, \text{mm} \) festgelegt wird?
Lösungstipps

Dazu brauchst Du lediglich die Formel für die Kapazität eines Plattenkondensators.

Lösung

Lösung zu (a) anzeigen

Benutze:

Formel für die Kapazität eines Plattenkondensators1\[ C = \varepsilon_{\text r} \, \varepsilon_{\text 0} \, \frac{A}{d} \]

Unter der Annahme eines Vakuums (oder auch Luft für eine Näherung) beträgt die relative Permittivität \( \varepsilon_{\text r} \approx 1 \). Setze das ein und forme 1 nach dem gesuchten Plattenabstand \( d \) um:2\[ d = \varepsilon_{\text 0} \, \frac{A}{C} \]

Einsetzen der gegebenen Werte in 2, nämlich \( C = 0.5 \, \text{nF} = 0.5 \cdot 10^{-9} \, \text{F} \) und \( A = 12 \, \text{cm}^2 = 12 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2 \) sowie \( \varepsilon_{\text 0} = 8.8 \cdot 10^{-12} \, \frac{\text{As}}{\text{Vm}} \):3\[ d ~=~ 8.8 \cdot 10^{-12} \, \frac{\text{As}}{\text{Vm}} ~\cdot~ \frac{12 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2}{0.5 \cdot 10^{-9} \, \text{F}} ~=~ 2.1 \cdot 10^{-5} \, \text{m} ~=~ 0.021 \, \text{mm} \]

Wie Du am Ergebnis siehst: Die Platten müssen sehr nah beieinander liegen, um gerade noch so eine kleine Kapazität von \( C = 0.5 \, \text{nF} \) zu erreichen.

Lösung zu (b) anzeigen

Da der in (a) ermittelte Plattenabstand \( d = 0.021 \, \text{mm} \) unglaublich klein ist, lässt sich die gewünschte Kapazität auf einem alternativen Weg erreichen, ohne, dass der Abstand so klein gemacht werden muss. In dieser Aufgabe wollen wir zumindest einen Abstand von \( d = 1.5 \, \text{mm} \) haben.

Dazu musst Du, wenn Du Dir die Formel 1 anschaust, ein passendes Dielektrikum auswählen (also ein bestimmtes Material zwischen den Kondensatorplatten), welches mit der relativen Permittivität \( \varepsilon_{\text r} \) charakterisiert wird.

Forme 1 nach \( \varepsilon_{\text r} \) um:4\[ \varepsilon_{\text r} = \frac{C \, d}{\varepsilon_{\text 0} \, A} \]

Setze die gegebenen Werte ein (unteranderem den gewünschten Abstand \( d = 1.5 \, \text{mm} = 1.5 \cdot 10^{-3} \, \text{m} \)):5\[ \varepsilon_{\text r} ~=~ \frac{0.5 \cdot 10^{-9} \, \text{F} ~\cdot~ 1.5 \cdot 10^{-3} \, \text{m}}{8.8 \cdot 10^{-12} \, \frac{\text{As}}{\text{Vm}} ~\cdot~ 12 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2} ~\approx~ 89 \]

Diesen Wert hat ungefähr reines Wasser. Du müsstest also den Plattenkondensator ins reine Wasser eintauchen, um die gewünschte Kapazität von \( 0.5 \, \text{nF} \) mit Plattenabstand von \( 1.5 \, \text{mm} \) zu erreichen.

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