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Aufgabe mit Lösung Relativer Fehler der Leistung für verschiedene Ansätze

Du möchtest am Widerstand \( R ~=~ 5 ~\pm~ 2\% \) die Leistung \( P \) messen. Dazu hast Du die Spannung \( x_{\text U} ~=~ 60 \, \text{V} \) mit einem Voltmeter und die Stromstärke \( x_{\text I} ~=~ 10 \, \text{A} \) mit einem Amperemeter gemessen.

Bestimme für folgende drei Ansätze den relativen Fehler \( f_x \):

  1. \( P ~=~ U \, I \)
  2. \( P ~=~ \frac{U^2}{R} \)
  3. \( P ~=~ I^2 \, R \)

Daten des Amperemeters: Messbereichsendwert \( x_{\text E} ~=~ 100 \, \text{A} \). Fehlerklasse: \( K_{\text E} ~=~ 1 \).

Daten des Voltmeters: Messbereichsendwert \( x_{\text E} ~=~ 100 \, \text{V} \). Fehlerklasse: \( K_{\text E} ~=~ 1 \).

Lösungstipps

Fehlerklasse berechnet sich folgendermaßen: \[ K_{\text E} ~=~ 100 * \frac{G}{x_{\text E}} \]

Lösung

Lösung zu (a)

Die Fehlerklasse eines Messgeräts berechnet sich folgendermaßen: 1 \[ K_{\text E} ~=~ 100 * \frac{G}{x_{\text E}} \] dabei ist \( G \) der größtmögliche Fehlerbetrag.

Stelle 1 nach \( G \) um: 2 \[ G ~=~ \frac{ K_{\text E} }{ 100 } \, x_{\text E} \]

Damit ist der größtmögliche Fehlerbetrag des Voltmeters: 3 \[ G ~=~ \frac{ 1 }{ 100 } \, 100 \, \text{V} ~=~ 1 \, \text{V} \]

Und analog für das Amperemeter: 4 \[ G ~=~ \frac{ 1 }{ 100 } \, 100 \, \text{A} ~=~ 1 \, \text{A} \]

Der angezeigte Spannungswert, sowie der Stromwert können um maximal \( F_{\text U} ~=~ \pm 1 \text{V} \) bzw. \( F_{\text I} ~=~ \pm 1 \text{A} \) abweichen.

Der relative Fehler des Spannungswerts berechnet sich aus: 5 \[ f_{\text U} ~=~ \frac{ F_{\text U} }{ x_{\text U} ~-~ F_{\text U}} ~*~ 100\% \]

Der größtmögliche relative Fehler ergibt sich, wenn Du \( F_{\text U} ~=~ +1 \text{V} \) einsetzt: 6 \[ f_{\text U} ~=~ \frac{ 1 \text{V} }{ 60 \text{V} ~-~ 1 \text{V}} ~*~ 100\% ~\approx~ 1.7 \% \]

Analog für den relativen Fehler der gemessenen Stromstärke (mit \( F_{\text I} ~=~ + 1 \text{A} \)): 7 \[ f_{\text I} ~=~ \frac{ 1 \text{A} }{ 10 \text{A} ~-~ 1 \text{A}} ~*~ 100\% ~\approx~ 11.1 \% \]

Der relative Fehler des Leistungswerts (berechnet mit der (a)-Formel) ist somit: 8 \[ f_{\text P} ~=~ f_{\text U} ~+~ f_{\text I} ~=~ 1,7 \% ~+~ 11,1 \% ~=~ 12.8 \% \]

Lösung zu (b)

In der Teilaufgabe (a) wurde der größtmögliche Fehler des Voltmeters (\(f_{\text U} ~=~ 1.7 \%\), siehe Gl. 6) berechnet. Außerdem ist der relative Fehler des gemessenen Widerstands laut der Aufgabe \( f_{\text R} ~=~ \pm 2 \% \). Damit ist der größtmögliche Fehler des Leistungswerts, berechnet mit der Formel (b): 9 \[ f_{\text P} ~=~ f_{\text U} ~+~ f_{\text U} ~-~ f_{\text R} ~=~ 1.7 \% ~+~ 1.7 \% ~-~ (-2\%) ~=~ 5.4 \% \]

Lösung zu (c)

In der Teilaufgabe (a) wurde der größtmögliche Fehler des Amperemeters (\(f_{\text I} ~=~ 11.1 \%\), siehe Gl. 7) berechnet. Außerdem ist der relative Fehler des gemessenen Widerstands laut der Aufgabe \( f_{\text R} ~=~ \pm 2 \% \). Damit ist der größtmögliche Fehler des Leistungswerts, berechnet mit der Formel (c): 10 \[ f_{\text P} ~=~ f_{\text I} ~+~ f_{\text I} ~+~ f_{\text R} ~=~ 11.1 \% ~+~ 11.1 \% ~+~ (+2\%) ~=~ 24.2 \% \]

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